数学文卷·2018届河南省南阳市高三上学期期末考试（2018

数学文卷·2018届河南省南阳市高三上学期期末考试（2018

‎2017年秋期高中三年级期终质量评估 数学试题（文）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知（为虚数单位），则复数（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎3．已知双曲线的一条渐近线的方程是：，且该双曲线经过点，则双曲线的方程是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎4．设，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎5．从甲、乙等5名学生中随机选出2人，则甲被选中的概率为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎6．已知实数满足，则目标函数（ ）‎ A．， B．，‎ C．，无最小值 D．，无最小值 ‎7．如图，格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的外接球的表面积（ ）‎ A． B． C． D．4‎ ‎8．运行如图所示的程序框图，则输出结果为（ ）‎ A．2017 B．2016 C．1009 D．1008‎ ‎9．为得到的图象，只需要将的图象（ ）‎ A．向右平移个单位 B．向右平移个单位 C．向左平移个单位 D．向左平移个单位 ‎10．函数的大致图象为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．设数列的通项公式，若数列的前项积为，则使成立的最小正整数为（ ）‎ A．9 B．10 C．11 D．12‎ ‎12．抛物线的焦点为，过且倾斜角为60°的直线为，，若抛物线上存在一点，使关于直线对称，则（ ）‎ A．2 B．3 C．4 D．5‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．曲线在点处的切线方程为 ．‎ ‎14．已知点，，，若，则实数的值为 ．‎ ‎15．已知得三边长分别为3,5,7，则该三角形的外接圆半径等于 ．‎ ‎16．若不等式对任意正数恒成立，则实数的取值范围为 ．‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17． 等差数列中，已知，，且，，构成等比数列的前三项.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，求数列的前项和.‎ ‎18． 某二手车交易市场对某型号二手汽车的使用年数与销售价格 ‎（单位：万元/辆）进行整理，得到如下的对应数据：‎ 使用年数 ‎2‎ ‎4‎ ‎6‎ ‎8‎ ‎10‎ 售价 ‎16‎ ‎13‎ ‎9.5‎ ‎7‎ ‎4.5‎ ‎（1）试求关于的回归直线方程；（参考公式：，.）‎ ‎（2）已知每辆该型号汽车的收购价格为万元，根据（1）中所求的回归方程，预测为何值时，销售一辆该型号汽车所获得的利润最大？‎ ‎19． 如图，在三棱柱中，侧面为矩形，，，是的中点，与交于点，且平面.‎ ‎（1）证明：；‎ ‎（2）若，求三棱柱的高.‎ ‎20． 平面直角坐标系中，已知椭圆（）的左焦点为，离心率为，过点且垂直于长轴的弦长为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆相交于不同两点、，求面积的最大值． ‎ ‎21． 已知函数（其中为常数且）在处取得极值.‎ ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）若在上的最大值为1，求的值.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分．‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），在极坐标系（与直角坐标系取相同的长度单位，且以原点为极点，以轴非负半轴为极轴）中，圆的方程为．‎ ‎（1）求圆的直角坐标方程；‎ ‎（2）若点，设圆与直线交于点，求的最小值．‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知，，函数的最小值为．‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）证明：与不可能同时成立．‎ ‎2017秋期终高三数学试题参考答案（文）‎ 一、选择题 ‎1-5:ACDBB 6-10:CCDDC 11、12：CA 二、填空题 ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题 ‎17．解析（1）设等差数列的公差为，则由已知 ‎∴‎ 又解得或（舍去）‎ ‎∴，∴‎ 又，∴，∴‎ ‎（2）‎ ‎∴‎ 两式相减得 ‎ ‎ 则 ‎18．解：（1）由已知：,,,‎ ‎，；‎ 所以回归直线的方程为7‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 所以预测当时,销售利润取得最大值．‎ ‎19．解：（1）在矩形中，由平面几何知识可知 又 平面，∴，平面 平面平面，∴.‎ ‎（2）在矩形中，由平面几何知识可知，‎ ‎∵，∴，∴，‎ 设三棱柱的高为，即三棱锥的高为.‎ 又，由得 ‎,∴.‎ ‎20．解：（1）由题意可得， 令，可得，即有，‎ 又，所以，．‎ 所以椭圆的标准方程为；‎ ‎（2）设，，直线方程为，‎ 代入椭圆方程，整理得，‎ 则，所以．‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 当且仅当，即．（此时适合的条件）取得等号．‎ 则面积的最大值是．‎ ‎21．解：(1)因为，‎ 所以.‎ 因为函数f在处取得极值，‎ 所以.‎ 当时，，，‎ 随的变化情况如下表：‎ 所以的单调递增区间为和，‎ 单调递减区间为．‎ ‎(2)，‎ 令，解得.‎ 因为在处取得极值，所.‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减．‎ 所以在区间上的最大值为．‎ 令，解得.‎ 当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，‎ 所以最大值1在或处取得．‎ 而，‎ 所以，解得.‎ 当时，在区间上单调递增，在上单调递减，在上单调递增．‎ 所以最大值1在或处取得．‎ 而，‎ 所以，‎ 解得，与矛盾．‎ 当时，在区间上单调递增，在上单调递减，所以最大值1在处取得，而，矛盾．‎ 综上所述，或.‎ ‎22．解：（1）由得，化为直角坐标方程为 ‎（2）将的参数方程代入圆的直角坐标方程，得 （）‎ 由，故可设是方程（）的两根，‎ ‎∴‎ 又直线过点，故结合的几何意义得：‎ ‎∴的最小值为．‎ ‎23．解：（1）∵，，‎ ‎∴‎ ‎∴．‎ 由题设条件知，‎ ‎∴．‎ 证明：（2）∵，而，故.‎ 假设与同时成立．‎ 即与同时成立,‎ ‎∵，，则，，∴，这与矛盾，‎ 从而与不可能同时成立．‎