2021届新高考版高考数学一轮复习教师用书：第四章第二讲 三角恒等变换
第二讲 三角恒等变换
1.[多选题]下列说法正确的是( )
A.两角和与差的正弦、余弦公式中的角 α,β 是任意的
B.存在实数 α,β,使等式 sin(α+β)=sin α+sin β 成立
C.公式 tan(α+β)=
tan훼 + tan훽
1 - tan훼tan훽可以变形为 tan α+tan β=tan(α+β)(1-tan αtan β),且对任意角 α,β 都成
立
D.存在实数 α,使 tan 2α=2tan α
2.[2015 新课标全国Ⅰ]sin 20°cos 10° - cos 160°sin 10°=( )
A. -
3
2 B.
3
2 C. -
1
2 D.
1
2
3.[2018 全国卷Ⅲ]若 sin α=
1
3,则 cos 2α=( )
A.
8
9 B.
7
9 C. - 7
9 D. -
8
9
4.[2019 全国卷Ⅱ]已知 α∈(0,
π
2),2sin 2α=cos 2α+1,则 sin α=( )
A.
1
5 B.
5
5 C.
3
3 D.
2 5
5
5.[2020 百校联考]tan 67.5° - tan 22.5°= .
6.[2018 全国卷Ⅱ]已知 sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,则 sin(α+β)= .
7.[2018 全国卷Ⅱ]已知 tan(α -
5π
4 )=
1
5,则 tan α= .
8.[2019 江苏高考]已知 tan훼
tan(훼 + π
4)
= -
2
3,则 sin(2α+
π
4)的值是 .
考法 1 三角函数式的化简求值
1 化简:
2cos2훼 - 1
2tan(π
4 - - 훼)sin2(π
4 + 훼)
= .
思路一 运用二倍角公式及诱导公式→化简即可
思路二 运用两角和(差)的正弦(切)公式→切化弦→化简即可
解法一 原式=
cos2훼
2tan(π
4 - 훼)cos2(π
4 - 훼)
=
cos2훼
2sin(π
4 - 훼)cos(π
4 - 훼)
=
cos2훼
sin(π
2 - 2훼)
=
cos2훼
cos2훼
=1.
解法二 原式=
cos2훼 - sin2훼
2 × 1 - tan훼
1 + tan훼(sin π
4cos훼 + cos π
4sin훼)2
=
(cos2훼 - sin2훼)(1 + tan훼)
(1 - tan훼)(cos훼 + sin훼)2
=
(cos2훼 - sin2훼)(1 + sin훼
cos훼)
(1 - sin훼
cos훼)(cos훼 + sin훼)2
=1.
解法一运用了“同化原则”,先根据角(π
4 - α)与角(π
4+α)互余的关系,将 sin(π
4+α)化成 cos(π
4 -
α),能减少角,再采用切化弦法,减少函数名,最后分母逆用二倍角公式,与分子化成同次,很容易得
出结果;而解法二是直接运用公式,运算量大,且易出错.
1.已知 α∈(0,π),化简:
(1 + sin훼 + cos훼)·(cos훼
2 - sin훼
2)
2 + 2cos훼 = .
考法 2 三角函数的求值
命题角度 1 给角求值
2(1)[2019 湖南四校联考]计算 sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°的结果为
A.
1
2 B. -
1
2 C.
2
2 D.
3
2
(2)[2019 安徽黄山三检](1+tan 20°)(1+tan 25°)= .
(1)利用诱导公式、两角和的余弦公式求解.(2)观察式子中所涉及的角之间的关系,即
20°+25°=45°,借助
tan 45°=tan(20°+25°)=1,利用两角和的正切公式及其变形求解即可;也可利用同角三角函数的基
本关系及辅助角公式进行求解.
(1)sin 133°cos 197°+cos 47°cos 73°= - sin 47°·cos 17°+cos 47°cos 73°= - sin 47°sin 73°+
cos 47°cos 73°=cos(47°+73°)=cos 120°= -
1
2.故选 B.
(2) 解法一 (配凑法)由题意知,(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°tan 25°.
因为 tan 45°=tan(20°+25°)=
tan20 ° + tan25°
1 - tan20°tan25 °=1,(借助两角和的正切公式进行配凑)
所以 tan 20°+tan 25°=1 - tan 20°tan 25°.
所以(1+tan 20°)(1+tan 25°)=1+tan 20°+tan 25°+tan 20°·tan 25°=2.
解法二 (切化弦)原式=(1+
sin20 °
cos20 °)(1+
sin25 °
cos25 °)
=
(cos20 ° + sin20°)(cos25 ° + sin25°)
cos20 °·cos25 °
=
2cos25 °· 2cos20 °
cos20 °·cos25 °
=2.
2.(tan 10° - 3)
cos10 °
sin50 °= .
命题角度 2 给值求值
3 (1)已知 α 为锐角,β 为第二象限角,且 cos(α - β)=
1
2,sin(α+β)=
1
2,则 sin(3α - β)=
A. -
1
2 B.
1
2 C. -
3
2 D.
3
2
(2)[2019 山东临沂模拟]已知 sin α+cos α=
2 3
3 ,则 sin2(α -
π
4)= .
(1)根据已知角与所求角之间的关系,可以从两个角度求解:一是 3α - β=2α+(α - β),需先
利用 2α=(α+β)+(α - β)及 α 为锐角求出 2α 的值,进而求得结果;二是 3α - β=2(α - β)+(α+β),需先利
用倍角公式求出 cos 2(α - β)和 sin 2(α - β)的值,进而求得结果.
(2)根据所求目标式,将已知式化为一角一函数的形式,然后利用同角三角函数的基本关系求值
即可;或将已知式两边同时平方,求出 sin 2α 的值,再利用降幂公式求解即可.
(1)解法一 因为 α 为锐角,β 为第二象限角,cos(α - β)>0,sin(α+β)>0,
所以 α - β 为第四象限角,α+β 为第二象限角,(符号定象限)
因此 sin(α - β)= -
3
2 ,cos(α+β)= -
3
2 ,
所以 sin 2α=sin(α - β+α+β)= -
3
2 ×( -
3
2 )+
1
2×
1
2=1.
因为 α 为锐角,所以 2α=
π
2,
所以 sin(3α - β)=sin(2α+α - β)=cos(α - β)=
1
2,故选 B.(变换角求值)
解法二 同解法一可得,sin(α - β)= -
3
2 ,cos(α+β)= -
3
2 .
所以 cos 2(α - β)=2cos2(α - β) - 1=2×(1
2)2 - 1= -
1
2,
sin 2(α - β)=2sin(α - β)cos(α - β)=2×( - 3
2 )×
1
2= -
3
2 .
所以 sin(3α - β)
=sin[2(α - β)+(α+β)]
=sin 2(α - β)·cos(α+β)+cos 2(α - β)·sin(α+β)
=( -
3
2 )×( -
3
2 )+( -
1
2)×
1
2
=
1
2.故选 B.(变换角求值)
(2)解法一 由已知可得 sin α+cos α= 2( 2
2 sin α+
2
2 cos α)= 2cos(α -
π
4)=
2 3
3 ,(逆用两角差的余弦公式)
所以 cos(α -
π
4)=
2 3
3 2 = 6
3 .
故 sin2(α -
π
4)=1 - cos2(α -
π
4)=1 - ( 6
3 )2=
1
3.
解法二 将 sin α+cos α=
2 3
3 两边同时平方,得 sin2α+2sin αcos α+cos2α=
4
3,即 sin 2α=
1
3.
所以 sin2(α -
π
4)=
1 - cos(2훼 - π
2)
2 = 1 - sin2훼
2 =
1 - 1
3
2 = 1
3.
3.(1)若 α∈(0,π),且 3sin α+2cos α=2,则 tan
훼
2=( )
A.
3
2 B.
3
4 C.
2 3
3 D.
4 3
3
(2)已知 cos(
π
4+x)=
3
5,若17
12π
0,所以 0<2α<
π
2,
又 β 为锐角,所以 -
π
2<2α - β<
π
2,(判断角的取值范围)
又 sin(2α - β)=
3
2 ,所以 2α - β=
π
3.
解法二 同解法一得,cos β=
13
14,sin α=
21
7 .
因为 α,β 为锐角,所以 α - β∈( -
π
2,π
2),
所以 sin(α - β)=sin αcos β - cos αsin β=
21
7 ×
13
14 ― 2 7
7 ×
3 3
14 = 21
14 .(求两角差的正弦值)
所以 sin(α - β)>0,故 α - β∈(0,π
2),(判断两角差的取值范围)
故 cos(α - β)= 1 - sin2(훼 - 훽) = 1 - ( 21
14 )2 = 5 7
14 ,(利用同角三角函数的基本关系求值,注意判断符号)
所以 cos(2α - β)=cos[α+(α - β)]=cos αcos(α - β) - sin α·sin(α - β)=
2 7
7 ×
5 7
14 ― 21
7 ×
21
14 = 1
2.
又 α∈(0,π
2),所以 2α - β=α+(α - β)∈(0,π),
所以 2α - β=
π
3.
解后反思
利用三角函数值求角时,要尽量把角的取值范围转化到某个函数的单调区间内,这样就不会产生
多解.如解法一中,因为
2α - β∈( -
π
2,π
2),显然正弦函数在该区间内单调递增,所以一个正弦值只对应一个角.若求该角的余
弦值,则一个余弦值对应两个角,容易产生多解.解法二中,2α - β∈(0,π),余弦函数在该区间内单调
递减,所以一个余弦值只对应一个角.此外,在求解过程中还需要利用三角函数的符号不断缩小
角的范围,如解法一中利用 cos 2α 的符号,得 2α∈(0,π
2);解法二中利用 sin(α - β)的符号,得 α - β∈(0,
π
2).
5.(1)[2019 山西吕梁模拟]已知 α∈(0,
π
2),β∈(0,
π
2),tan α=
cos2훽
1 - sin2훽,则( )
A.α+β=
π
2 B.α - β=
π
4 C.α+β=
π
4 D.α+2β=
π
2
(2)[2019 黑龙江大庆二模]已知 α,β 为锐角,且(1 - 3tan α)·(1 - 3tan β)=4,则 α+β= .
易错 不会缩小角的范围而致误
5[2019 安徽六安二模]若 sin 2α=
5
5 ,sin(β - α)=
10
10 ,且 α∈[
π
4,π],β∈[π,
3π
2 ],则 α+β 的值是
A.
7π
4 B.
9π
4 C.
5π
4 或7π
4 D.
5π
4 或9π
4
因为 α∈[π
4,π],所以 2α∈[π
2,2π],
又 sin 2α=
5
5 ,所以 2α∈(π
2,π),α∈(π
4,π
2).
所以 cos 2α= - 1 - sin22훼= -
2 5
5 .(根据 sin 2α>0 缩小角 2α,α 的范围)
因为 β∈[π,3π
2 ],
所以 α+β∈(5
4π,2π),β - α∈(π
2,5π
4 ).
又 sin(β - α)=
10
10 >0,所以 β - α∈(π
2,π),(根据 sin(β - α)>0 缩小角 β - α 的范围)
所以 cos(β - α)= - 1 - sin2(훽 - 훼)= -
3 10
10 .
所以 cos(α+β)=cos[2α+(β - α)]
=cos 2αcos(β - α) - sin 2αsin(β - α)(利用两角和的余弦公式化简)
= -
2 5
5 ×( -
3 10
10 ) -
5
5 ×
10
10
=
2
2 .
又 α+β∈(5π
4 ,2π),所以 α+β=
7π
4 .
A
素养探源
核心素养 考查途径 素养水平
逻辑推理 找出已知角与所求角之间的关系,根据不等式的性质推出角的范围,由三角函数值的正负缩
小角的范围.
二
数学运算 同角三角函数基本关系的运用,两角和与差的三角函数值的求解. 一
易错警示
本题的易错点是不能根据题设条件缩小角 2α,α 及 β - α 的取值范围,导致求 cos(α+β)时出现两
解而造成失误.利用三角函数值求角时,要充分结合条件,对角的范围精准定位后,再选取合适的
三角函数进行求值,最后确定角的具体取值.
283
1.ABD 易知 ABD 正确,对于 C,只有当 α,β,α+β 都不等于 kπ+ π
2(k∈Z)时,公式才成立,C 错误,选
ABD.
2.D 原式=sin 20°cos 10°+cos 20°sin 10°=sin(20°+10°)=1
2.故选 D.
3.B cos 2α=1 - 2sin2α=1 - 2×(1
3)2=7
9.故选 B.
4.B 因为 2sin 2α=cos 2α+1,所以 4sin αcos α=2cos2α.
因为 α∈(0,π
2),所以 cos α>0,sin α>0,所以 2sin α=cos α,所以 4sin 2α=cos2α.又 sin2α+cos2α=1,所以
sin2α+4sin2α=1,即 5sin2α=1,即 sin2α=1
5.
又 sin α>0,所以 sin α=
5
5 .故选 B.
5.2 由 tan α - tan β=tan(α - β)(1+tan αtan β) 得 tan 67.5° - tan 22.5°=tan 45°(1+tan 67.5°tan
22.5°)=1×2=2.
6. - 1
2 ∵sin α+cos β=1,cos α+sin β=0,
∴sin2α+cos2β+2sin αcos β=1 ①,
cos2α+sin2β+2cos αsin β=0 ②,
①②两式相加可得 sin2α+cos2α+sin2β+cos2β+2(sin αcos β+cos αsin β)=1,∴sin(α+β)= - 1
2.
7.3
2 解法一 因为 tan(α - 5π
4 )=1
5,所以
tan훼 - tan5π
4
1 + tan훼tan5π
4
= 1
5,即 tan훼 - 1
1 + tan훼 = 1
5,解得 tan α=3
2.
解法二 因为 tan(α - 5π
4 )=1
5,所以 tan α=tan[(α - 5π
4 )+5π
4 ]=
tan(훼 - 5π
4 ) + tan5π
4
1 - tan(훼 - 5π
4 )tan5π
4
=
1
5 + 1
1 - 1
5 × 1
= 3
2.
8.
2
10 解法一 tan훼
tan훼 + 1
1 - tan훼
= tan훼(1 - tan훼)
tan훼 + 1 = - 2
3,解得 tan α=2 或 tan α= - 1
3.
当 tan α=2 时,sin 2α= 2sin훼cos훼
sin2훼 + cos2훼 = 2tan훼
tan2훼 + 1 = 4
5,
cos 2α= cos2훼 - sin2훼
sin2훼 + cos2훼 = 1 - tan2훼
tan2훼 + 1= - 3
5,此时 sin 2α+cos 2α=1
5.
同理当 tan α= - 1
3时,sin 2α= - 3
5,cos 2α=4
5,此时 sin 2α+cos 2α=1
5.
所以 sin(2α+π
4)=
2
2 (sin 2α+cos 2α)=
2
10.
解法二 tan훼
tan(훼 + π
4)
=
sin훼cos(훼 + π
4)
cos훼sin(훼 + π
4)
= - 2
3,则 sin αcos(α+π
4)= - 2
3cos αsin(α+π
4),又 2
2 =sin[(α+π
4) - α]=sin(α+π
4)cos
α - cos(α+π
4)sin α=5
3sin(α+π
4)cos α, 则 sin(α+π
4)cos α=3 2
10 , 则 sin(2α+π
4)=sin[(α+π
4)+α]=sin(α+π
4)cos
α+cos(α+π
4)sin α=1
3sin(α+π
4)cos α=1
3 × 3 2
10 = 2
10.
1.cos α 原式=
(2cos2훼
2 + 2sin훼
2cos훼
2)·(cos훼
2 - sin훼
2)
4cos2훼
2
.
因为 α∈(0,π),所以 cos훼
2>0,
所以原式=
(2cos2훼
2 + 2sin훼
2cos훼
2)·(cos훼
2 - sin훼
2)
2cos훼
2
=(cos훼
2+sin훼
2)·(cos훼
2 - sin훼
2)=cos2훼
2 - sin2훼
2=cos α.
2. - 2 解法一 原式=(tan 10° - tan 60°)cos10°
sin50°
=(sin10°
cos10° ― sin60°
cos60°)cos10°
sin50°
= sin( - 50°)
cos10°cos60°·cos10°
sin50°
= - 2.
解法二 原式=(sin10°
cos10° ― 3)cos10°
sin50°
=sin10° - 3cos10°
cos10° × cos10°
sin50°
=
2(1
2sin10° -
3
2 cos10°)
sin50°
=2sin(10° - 60°)
sin50°
= - 2.
【审题指导】 注意到 10°,50°与特殊角 60°的关系:10°+50°=60°.同时 3=tan 60°,考虑利用特殊
值化切为弦.也可直接将 tan 10°化为sin10°
cos10°,然后通分变为sin10° - 3cos10°
cos10° ,再考虑用引入辅助角的方法
求解.
3.(1)A 解法一 由已知得 cos α=1 -
3
2 sin α.
代入 sin2α+cos2α=1,得 sin2α+(1 -
3
2 sin α)2=1,
整理得7
4sin2α - 3sin α=0,解得 sin α=0 或 sin α=4 3
7 .
因为 α∈(0,π),所以 sin α=4 3
7 ,故 cos α=1 -
3
2 × 4 3
7 = 1
7.
所以 tan 훼
2 = sin훼
1 + cos훼 =
4 3
7
1 + 1
7
= 3
2 .
解法二 因为 sin α=2sin 훼
2·cos 훼
2 ,cos α=1 - 2sin2훼
2,
所以 3sin α+2cos α=2 可以化为 2 3sin 훼
2·cos 훼
2+2(1 - 2sin2훼
2)=2,化简可得 2 3sin 훼
2·cos 훼
2=4sin2훼
2
①.
因为 α∈(0,π),所以훼
2∈(0,π
2),所以 sin 훼
2≠0.
所以①式可化为 2 3cos 훼
2=4sin 훼
2,即 tan 훼
2 = 3
2 .
(2) - 28
75 解法一 由17
12π0,所以 α - 2β∈( - π
2,π
2).
又 cos(α - 2β)=sin[(α - 2β)+π
2],且 α - 2β+π
2∈(0,π),α∈(0,π
2),
所以 α - 2β+π
2=α 或 α - 2β+π
2=π - α.
当 α - 2β+π
2=α 时,β=π
4,此时 1 - sin 2β=0,已知等式无意义,不符合题意,舍去;
当 α - 2β+π
2=π - α 时,α - β=π
4.故选 B.
解法二 tan α= cos2훽
1 - sin2훽 = cos2훽 - sin2훽
cos2훽 + sin2훽 - 2sin훽cos훽= (cos훽 + sin훽)(cos훽 - sin훽)
(cos훽 - sin훽)2 = cos훽 + sin훽
cos훽 - sin훽 = 1 + tan훽
1 - tan훽 =tan(π
4+β).
因为 α∈(0,π
2),β∈(0,π
2),
所以 α=π
4+β,即 α - β=π
4.故选 B.
解法三 不妨令 β= π
12,则由已知等式可求得 tan α=
3
2
1 - 1
2
= 3,又 α 为锐角,所以 α=π
3.则 α+β=π
3 + π
12
= 5π
12,故可排除 A,C.
当 β → 0 时,sin 2β → 0,cos 2β →1,所以 tan α= cos2훽
1 - sin2훽→1,因为 α∈(0,π
2),所以 α → π
4,所以 α+2β → π
4,
故可排除 D.
综上可知,选 B.
(2)2π
3 将(1 - 3tan α)(1 - 3tan β)=4 展开, 得 - 3(tan α+tan β)=3(1-tan α·tan β), 即 tan훼 + tan훽
1 - tan훼tan훽
=tan(α+β)= - 3,由于 α,β 为锐角,所以 0<α+β<π,故 α+β=2π
3 .
