数学文卷·2018届天津市第一中学高三上学期第二次月考（2017

数学文卷·2018届天津市第一中学高三上学期第二次月考（2017

天津一中 2017—2018 学年度高三年级二月考试卷 数学（文史类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共 150 分，考试用时 120 分 钟． 第Ⅰ卷 1 至 2 页，第Ⅱ卷 3 至 6 页． 答卷前，考生务必将自己的姓名填写在答题卡和答题纸上．答卷时，考生务必将答案涂写 在答题卡和答题纸上，答在试卷上的无效．考试结束后，将答题卡和答题纸交回． 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（共 60 分） 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号． 2．本卷共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分． 一、选择题：本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 ，则 （ ） A．{0,1,2} B．{1,2} C．{0} D．{0,1} 2. 是 的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分 又不必要条件 3.执行如图所示的程序框图，若输入 的值为 2，则输出的 值为（ ） }|{},{ 045210 2 <+−== xxxBA ，， )( BCA R ”“ 2>x ”“ 2 11 < x A n A．3 B．4 C．5 D．6 4.设 为空间两条不同的直线， 为空间两个不同的平面，给出下列命题： ①若 ，则 ； ②若 ，则 ； ③若 ，则 ； ④若 ，则 . 其中所有正确命题的序号是（ ） A．②④ B．③④ C.①② D．①③ 5.已知奇函数 在 上是增函数， ．若 ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C. D． 6.已知函数 当 时， ，则 的取值范 围是（ ） A． B． C. D． 7.设函数 ，若 在区间 上单调，且 ，则 的最小正周期为（ ） nm, βα， βα //,// mm βα // nmm //,//α α//n βα //,mm ⊥ βα ⊥ βαα //,⊥m β⊥m )(xf R )()( xxfxg = ).log( 152−= ga )(),( . 32 80 gcgb == cba ,, cba << abc << cab << acb <<    >+ ≤− = 13 1 121 xx xa xf a x ,log ,)( )( 21 xx ≠ 0 21 21 <− − xx xfxf )()( a ],( 3 10 ],[ 2 1 3 1 ），（ 2 10 ],[ 3 1 4 1 0>+= ωϕω ),sin()( xxf )(xf ],[ 26 ππ      −=     =      63 2 2 πππ fff )(xf A． B． C. D． 8.已知 均为正数，且 ，则 的最小值为（ ） A．6 B．7 C.8 D．9 第Ⅱ卷（共 90 分） 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题纸上． 2．本卷共 12 小题，共 110 分． 二、填空题（每题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上） 9.已知 是实数， 是纯虚数，则 ___________. 10.曲线 在点 处的切线 与两坐标轴围成的三角形的面积是__________. 11.如图是一个几何体的三视图，则该几何体的体积为_________. 12.圆心在直线 ，且与直线 相切于点 的圆的标准方程为 __________. 13.在 中，已知 ,若点 满足 ,且 ,则实数 的值为 ． 14.已知函数 若函数 有三个零点，则实数 2 π π2 π4 π ba, 02 =−− baab bba a 12 4 2 2 −+− a i ia + − 2 =a ( ) xxxf ln= )( 01，P l xy 4−= 01 =−+ yx )( 23 −，P ABC∆ 6021 =∠== AACAB ，, P ACABAP λ+= 1=⋅ CPBP λ ( )    < ≥− = ,, ,, 03 04 2 xx xxx xf bxxfxg +−= 3|)(|)( b 的取值范围为 ． 三、解答题 （本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.） 15.在 中，角 所对的边分别为 ，且 ，已知 , ， . （I）求 和 的值 （II）求 的值 16.某公司计划在甲、乙两个电视台做总时间不超过 300 分钟的广告，广告总费用不超过 9 万元．甲、乙电视台的广告收费标准分别为 500 元/分钟和 200 元/分钟．甲、乙两个电视台 为该公司所做的每分钟广告，能给公司带来的收益分别为 0.3 万元和 0.2 万元．设该公司在 甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟. （Ⅰ）用 列出满足条件的数学关系式，并画出相应的平面区域 （Ⅱ）该公司如何分配在甲、乙两个电视台做广告的时间使公司的收益最大，并求出最大收 益是多少 17. 如图，边长为 的正方形 与梯形 所在的平面互相垂直，其中 的中点. （Ⅰ）证明: 平面 （Ⅱ）求二面角 的正切值 （Ⅲ）求 与平面 所成角的余弦值 ABC∆ CBA ,, cba ,, ca > 2=⋅ BCBA 3 1=Bcos 3=b a c )cos( CB − x y yx, 2 ADEF ABCD ,,// BCABCDAB ⊥ MODFAEABBCCD ,==== ，12 1 EC //OM ABCD EABD −− BF ADEF 18. 已知数列 的前 项和为 ， （Ⅰ）求数列 的通项公式 （II）设 ， 为 的前 项和，求 19. 已知数列 中， （I）求证：数列 是等比数列 （II）求数列 的通项公式 （III）设 ，若 ，使 成立，求实数 的取值范围. 20.已知函数 ，其中 为自然对数的底数， ②（I）若 ，函数 ①求函数 的单调区间 ②若函数 的值域为 ,求实数 的取值范围 （II）若存在实数 ,使得 ，且 ，求证： }{ na n nS 22 −= nn aS }{ na       += 为偶数 为奇数 na n n nn a b n n n 2 22 2 )( log nT }{ nb n nT2 }{ na )(,, 23242 1121 ≥=+== −+ naaaaa nnn }{ nn aa −+1 }{ na 132 2 21 11 + +++=−= nn n nnn bb a bb a bb aSab , ∗∈∃ Nn mmSn 34 2 −≥ m ( ) 1−−= axexf x e Ra ∈ ea = xexg )()( −= 2 )()()( xgxfxh −=  > ≤= mxxg mxxfxF ),( ),()( R m ],[, 2021 ∈xx )()( 21 xfxf = 121 ≥− || xx eeae −≤≤− 21 参考答案 一、选择题 1-5: DACBCA 6-8: ADB 二、填空题 9. 10. 11. 2 1 2 1 3 24 π+ 12. 13.1 或 14. 三、解答题 15. （I） ； （II） 【解析】 试题分析：（I）利用向量的数量积，化简 得 ，故 ，再 结合余弦定理 ，可求得 ；（II）由于三边都已经知 道，故由余弦定理可以求出 ，进而求得 ，再利用两角差的余弦公 式，可求得 . 试题解析： （I）由 得： ，又 ，所以 . 由余弦定理，得 ，又 ，所以 . 解 ，得 或 .因为 . （II）在 中， . 由正弦定理，得 ，又因为 ，所以 为锐角， 因此 . 于是 16. 解：（I）设该公司在甲、乙两个电视台做广告的时间分别为 分钟和 分钟，则 ， 841 22 =++− )()( yx 4 1− ],(, 04 16 −−∞− ）（ 23 == ca , 27 23 2=⋅ BCBA 2=Bcacos 6=ac Bacbca cos2222 +=+ 23 == ca , CB cos,cos CB sin,sin 27 23=− )cos( CB 2=⋅ BCBA 2=Bcacos 3 1=Bcos 6=ac Bacbca cos2222 +=+ 3=b 1322922 =×+=+ ca  =+ = 13 6 22 ca ac 32 == ca , 23 == ca , 23 ==∴> caca ,, ABC∆ 3 22 3 111 22 =−=−= )(cossin BB 9 24 3 22 3 2 =×== Bb cC sinsin cba >= C 9 7 9 2411 22 =−=−= )(sincos CC 27 23 9 24 3 22 9 7 3 1 =×+×=+=− cBCBCB sinsincoscos)cos( x y x y 满足的数学关系式为 该二次元不等式组等价于 做出二元一次不等式组所表示的平面区域 （II）设公司的收益为 元，则目标函数为： 考虑 ，将它变形为 . 这是斜率为 ，随 变化的一族平行直线，当截距 最大，即 最大. 又因为 满足约束条件，所以由图可知， 当直线 经过可行域上的点 时，截距 最大，即 最大. 解方程组 得 , 代入目标函数得 . 答：该公司在甲电视台做 100 分钟广告，在乙电视台做 200 分钟广告使公司的收益最大，最 大收益是 70 万元. 17.      ≥ ≥ ≤+ ≤+ , , , , 0 0 90000200500 300 y x yx yx      ≥ ≥ ≤+ ≤+ , , , , 0 0 90025 300 y x yx yx z yxz 20003000 += yxz 20003000 += zxy 2000 1 2 3 +−= 2 3− z z2000 1 z yx, zxy 2000 1 2 3 +−= A z2000 1 z  =+ =+ ，90025 300 yy yx , )( 200100，A 70000020020001003000 =×+×=minz 解（I） 分别为 的中点 平面 平面 平面 （II）取 中点 ，连接 , 又 为二面角 的平面角 又 （III） ∵平面 平面 ，平面 平面 平面 平面 的余弦值即为所求 在 中， 与平面 所成角的余弦值为 18.解（1） 又 ∴数列 是以 2 为首项，公比为 2 的等比数列 （2）由（1）知 MO, ECEA, ACOM //∴ ⊄OM ABCD ⊂AC ABCD //OM∴ ABCD AB H EHDH, DBDA = ABDH ⊥∴ EBEA = ABEH ⊥∴ EHD∠∴ EABD −− 1=DH 2==∠∴ DH EDEHDtan ∠=∠== RtBCDBCDC ，1 2=∴ BD 22 == ABAD ， ⊥ADEF ABCD ADEF ⊂= BDADABCD , ABCD ⊥∴ BD ABCD BFD∠∴ BDFRt∆ 62 ==∠=∠ BFDFRtBDF ,, 3 6 6 2 ===∠∴ BF DFBFDcos BF∴ ⊥ADEF 3 6 222 11 −=≥ −− nn aSn , 11 22 −− −=−= nnnnn aaSSa 12 −= nn aa 221 11 −== aSn , 21 =a }{ na      +=⇒       += − 为偶数 为奇数 为偶数 为奇数 nn nnb nn n nnb n n n n n 1 2 2 2 n2 1 2 2 2 2 )()( log 所以 设 ， 则 ， 两式相减得 ， 整理得 ，所以 . 19.（I）证明： ， . ， ， . ∴数列 是首项、公比均为 2 的等比数列 （II）解： 是等比数列，首项为 2，通项 ， 故 ，当 时， 符合上式， ∴数列 的通项公式为 （III）解： ， nn bbbbT 23212 ++++=      +++++      +−−++−+−= −12531 22 6 2 4 2 2 12 1 12 1 5 1 3 1 3 1 1 1 2 1 n n nn      ++++++= −12531 22 6 2 4 2 2 12 n n n n  12531 22 6 2 4 2 2 −++++= n nA  12753 2 22 6 2 4 2 22 + − ++++= n nA  1212753 22 2 2 2 2 2 2 214 3 +− −++++= nn nA  1229 86 9 16 −× +−= n nA 1229 86 9 16 122 ++ × +−= − n nnT nn )( 232 11 ≥=+ −+ naaa nnn ))(( 22 11 ≥−=−∴ −+ naaaa nnnn 0212 ≠=− aa )( 201 ≥≠−∴ − naa nn )( 22 1 1 ≥=− −∴ − + naa aa nn nn }{ nn aa −+1 }{ nn aa −+1 n nn aa 21 =−+ )()()( 123121 −−++−+−+= nnn aaaaaaaa  nn 22222 121 =++++= −  1=n 1 1 2=a }{ na n na 2= 1212 −=−== n nn n n aba , 12 1 12 1 1212 2 11 1 − − − = −− =∴ ++ + nnnn n nn n bb a ))((       − − − ++      − − − +      − − − = + 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 12 1 13221 nnnS  故 若 ,使 成立，由已知，有 ，解得 ，所 以 的取值范围为 20.解：（1）当 时， . ① . 由 得 ，由 得 . 所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 . ② 当 时， ，所以 在区间 上单调递减； 当 时， ，所以 在区间 上单调递增. 在 上单调递减，值域为 , 因为 的值域为 ，所以 ， 即 . 由①可知当 时， ，故 不成立. 因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且 所以当 时， 恒成立，因此 . 当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以函数 在 上的值域为 ，即 . 在 上单调递减，值域为 . 因为 的值域为 ，所以 ，即 . 12 11 1 − −= +nnS ∗∈∃ Nn mmSn 34 2 −≥ 134 2 <− mm 14 1 <<− m m      − 14 1 , ea = ( ) 1−−= exexf x 212 −=−−=−= xx exhxexgxfxh )(',)()()( 0>)(' xh 2ln>x 0<)(' xh 2lnx 0>)(' xf )(xf ),( +∞1 xexg )()( −= 2 ),( +∞m ))(,( me−−∞ 2 )(xF R meemem )−≤−− 21 012 ≤−− mem ）（∗ 0−−= )()( hmemh m ）（∗ )(mh )ln,( 20 ),(ln 12 03100 <−== ehh )(,)( 10 ≤≤ m 0≤)(mh 10 ≤≤ m 2 1>m )(xf ),( 1−∞ ),( m1 1−−= exexf x)( ),( m−∞ )),([ +∞1f ),[ +∞−1 xexg )()( −= 2 ),( +∞m ))(,( me−−∞ 2 ( )xF R me)( −≤− 21 2 11 −≤< em 综合 1°,2°可知，实数 的取值范围是 . （2） . 若 时， ，此时 在 上单调递增. 由 可得 ，与 相矛盾， 同样不能有 . 不妨设 ，则有 . 因为 在 上单调递减，在 上单调递增，且 ， 所以当 时， . 由 ，且 ，可得 故 . 又 在 单调递减，且 ，所以 ， 所以 ，同理 . 即 解得 ， 所以 . m ],[ 2 10 −e aexf x −=)(' 0≤a 0>)(' xf ( )xf R ( ) ( )21 xfxf = 21 xx = 121 ≥− || xx ),[ln, +∞∈ axx 21 20 21 ≤<≤ xx 20 21 ≤<<≤ xax ln ( )xf )ln,( ax1 ),(ln 2xa ( ) ( )21 xfxf = 21 xxx ≤≤ ( ) ( ) )( 21 xfxfxf =≤ 20 21 ≤<≤ xx 121 ≥− || xx ],[ 211 xx∈ )()()( 211 xfxff =≤ ( )xf ]ln,( a−∞ ax ln<≤ 10 ( ) ( )01 fxf ≤ ( ) ( )01 ff ≤ ( ) ( )21 ff ≤  −−≤−− ≤−− ，221 01 2 aeae ae , 11 2 −−≤≤− eeae eeae −≤≤− 21