2020届高三数学下学期教学质量检测试题 文（含解析）

2020届高三数学下学期教学质量检测试题 文（含解析）

安徽省亳州市2019届高三下学期教学质量检测 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】集合，， }，所以，故选A.‎ ‎2. 复数的实部与虚部相等，则实数（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得： ，‎ 结合题意可知： ，解得： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎3. 已知，，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，，所以，...........................‎ ‎．故选C.‎ ‎4. 已知公差不为的等差数列满足成等比数列，为数列的前项和，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】设等差数列的公差为d,首项为a1，‎ 14‎ 所以a3=a1+2d,a4=a1+3d.‎ 因为a1、a3、a4成等比数列，‎ 所以(a1+2d)2=a1(a1+3d),解得：a1=−4d.‎ 所以，‎ 本题选择A选项.‎ ‎5. 如果执行如图的程序框图，且输入，，则输出的（ ）‎ A. 6 B. 24 C. 120 D. 720‎ ‎【答案】B ‎【解析】第一次循环，可得，第二次循环，可得，‎ 第三次循环，可得，退出循环体，输出.‎ 故选B.‎ ‎6. 如图，网格线上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某空间几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】该几何体由一个三棱柱和一个正方体拼接而成，故所求几何体的表面积为，故选A.‎ 14‎ ‎7. 已知双曲线的焦点到渐近线的距离为，则双曲线的渐近线方程为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】双曲线 的焦点 到渐近线： ，即 的距离为： .‎ 据此可知双曲线的方程为： ，双曲线的渐近线方程为 .‎ 本题选择C选项.‎ 点睛：双曲线的渐近线方程为，而双曲线的渐近线方程为(即)，应注意其区别与联系.‎ ‎8. 已知平面平面，直线均不在平面内，且，则（ ）‎ A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 ‎【答案】C ‎【解析】对于A,若m⊥β,m⊥n,则n∥β或n⊂β，‎ 又直线m,n均不在平面α、β内,∴n∥β，故A正确，C错误；‎ 对于B,若n∥β,则β内存在无数条平行直线l,使得l∥n，‎ ‎∵m⊥n，∴l⊥m，根据线面垂直的定义可知m与β不一定垂直，故B错误；‎ 对于D,若n⊥β,m⊥β,则m∥n，与条件m⊥n矛盾，故D错误。‎ ‎9. 已知满足约束条件，目标函数的最大值是2，则实数（ ）‎ A. B. 1 C. D. 4‎ ‎【答案】A ‎【解析】当 时,画出可行域如下图三角形ABC边界及内部,目标函数,写成直线的斜截式有 ,当 有最大值时,这条直线的纵截距最小,,所以目标函数在A点取得最大值.联立 ,求得 ,符合;‎ 14‎ 当 时,画出可行域,红色区域,由于可行域是一个向轴负方向敞开的图形,所以不能取到最大值,不合题意,综上所述, ,选A.‎ ‎10. 在《增删算法统宗》中有这样一则故事：“三百七十八里关，初行健步不为难；次日脚痛减一半，六朝才得其关，”意思是某人要走三百七十八里的路程，第一天脚步轻快有力，走了一段路程，第二天脚痛，走的路程是第一天的一半，以后每天走的路程都是前一天的一半，走了六天才走完这段路程，则下列说法错误的是（ ）‎ A. 此人第二天走了九十六里路 B. 此人第一天走的路程比后五天走的路程多六里 C. 此人第三天走的路程占全程的 D. 此人后三天共走了42里路 ‎【答案】C ‎【解析】依题意，设第一天走了里路，则，解得，故，，，，；因为，故C错误，故选C.‎ ‎11. 12.若过点与曲线相切的直线有两条，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设切点为(),,所以切线方程为:‎ 14‎ ‎,代入,得,即这个关于的方程有两个解.化简方程为,即,令(),,,在上单调递增,在上单调递减,,g(1)=0,所以,所以.选B.‎ ‎【点睛】‎ 对于曲线切点问题,一定要看清楚是在那个点,还是过那个点,如果不知道切点,需要自己设切点.通过求导求出切线方程,再代入过的那一定点.‎ ‎12. 已知函数的定义域为，且满足下列三个条件：‎ ‎①对任意的，当时，都有；‎ ‎②；‎ ‎③是偶函数；‎ 若，，，则的大小关系正确的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由①得在上单调递增；由得②，故是周期为8的的周期函数，所以，；再由③可知的图像关于直线对称，所以，.结合在上单调递增可知，，即.故选B.‎ 点睛：本题主要考查了函数的单调性，周期性和对称性，当比较大小的自变量不在一个单调区间时，要根据已知条件转化到同一个单调区间.‎ 由可知函数周期为8；‎ 由是偶函数知函数关于对称；‎ 由对任意的，当时，都有，得在上单调递增.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 已知函数，若，则__________．‎ 14‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由函数的解析式可知函数 是奇函数，则： .‎ ‎14. 学校艺术节对同一类的四项参赛作品，只评一项一等奖，在评奖揭晓前，甲、乙、丙、丁四位同学对四项参赛作品预测如下：‎ 甲说：“是或作品获得一等奖”‎ 乙说：“作品获得一等奖”‎ 丙说：“两项作品未获得一等奖”‎ 丁说：“是作品获得一等奖”‎ 若这四位同学中有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】若A为一等奖，则甲，丙，丁的说法均错误，故不满足题意，‎ 若B为一等奖，则乙，丙说法正确，甲，丁的说法错误，故满足题意，‎ 若C为一等奖，则甲，丙，丁的说法均正确，故不满足题意，‎ 若D为一等奖，则只有甲的说法正确，故不合题意，‎ 故若这四位同学中只有两位说的话是对的，则获得一等奖的作品是B 故答案为：B ‎15. 已知椭圆的右焦点到双曲线：的渐近线的距离小于，则双曲线的离心率的取值范围是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】椭圆的右焦点为，由条件可得，‎ 即，所以，从而得，进而解得离心率的取值范围是.‎ ‎16. 已知等差数列的公差为正数，，，为常数，则__________．‎ ‎【答案】2n-1‎ ‎【解析】由题设, , 即，可得两式相减得，由于，所以，‎ 14‎ 由题设,，可得，由知,.‎ 因为是等差数列，所以令，解得，故,由此可得是首项为1,公差为4的等差数列,，是首项为3,公差为4的等差数列，所以.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，角所对的边分别为，，且.‎ ‎（1）求角的值；‎ ‎（2）若，求的面积.‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由正弦定理将条件转化为，套用余弦定理即可求解；‎ ‎（2）由正弦定理得，进而讨论是否为0求解即可.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ）由正弦定理及可得，‎ 又由余弦定理，得，所以； ‎ ‎（Ⅱ）由正弦定理及可得，从而有，‎ 当时，，，当时，有，.‎ ‎.综上，的面积是.‎ ‎18. 某职称晋级评定机构对参加某次专业技术考试的100人的成绩进行了统计，绘制了频率分布直方图（如图所示），规定80分及以上者晋级成功，否则晋级失败（满分为100分）．‎ ‎ ‎ 14‎ ‎（1）求图中的值；‎ ‎（2）估计该次考试的平均分（同一组中的数据用该组的区间中点值代表）；‎ ‎（3）根据已知条件完成下面列联表，并判断能否有85%的把握认为“晋级成功”与性别有关？ ‎ ‎（参考公式：，其中）‎ ‎0．40‎ ‎0．25‎ ‎0．15‎ ‎0．10‎ ‎0．05‎ ‎0．025‎ ‎0．780‎ ‎1．323‎ ‎2．072‎ ‎2．706‎ ‎3．841‎ ‎5．024‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）74；(Ⅲ)见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据频率分布直方图矩形面积和为1可求出；‎ ‎（2）根据每个小矩形的中点乘以面积求和即可；‎ ‎（3）套用的计算公式求值，查表下结论即可.‎ 试题解析：‎ ‎(Ⅰ)由频率分布直方图各小长方形面积总和为1，可知 ‎，故. ‎ ‎(Ⅱ) 由频率分布直方图知各小组依次是，‎ 其中点分别为对应的频率分别为，‎ 故可估计平均分 ‎（分） ‎ ‎(Ⅲ)由频率分布直方图知，晋级成功的频率为，‎ 故晋级成功的人数为（人），故填表如下 14‎ 晋级成功 晋级失败 合计 男 ‎16‎ ‎34‎ ‎50‎ 女 ‎9‎ ‎41‎ ‎50‎ 合计 ‎25‎ ‎75‎ ‎100‎ 假设“晋级成功”与性别无关，‎ 根据上表数据代入公式可得，‎ 所以有超过85%的把握认为“晋级成功”与性别有关.‎ ‎19. 如图所示，四棱锥，已知平面平面，．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若，求三棱锥的体积．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用题意证得平面．．‎ ‎(2)，由（I）知，三棱锥的高，．‎ 试题解析：‎ ‎ 证明：中，‎ 由，‎ 解得，从而 ‎．‎ 平面平面，平面平面，‎ 14‎ 平面．又平面．‎ ‎（II）‎ 中边上的高长为．‎ ‎，‎ 由（I）知，三棱锥底面上的高长为，‎ ‎．‎ 点睛：求三棱锥的体积时要注意三棱锥的每个面都可以作为底面，例如三棱锥的三条侧棱两两垂直，我们就选择其中的一个侧面作为底面，另一条侧棱作为高来求体积．‎ ‎20. 已知分别是椭圆的长轴与短轴的一个端点，是椭圆左、右焦点，以点为圆心为半径的圆与以点为圆心为半径的圆的交点在椭圆上，且．‎ ‎（I）求椭圆的方程；‎ ‎（II）若直线与轴不垂直，它与的另外一个交点为是点关于轴的对称点，试判断直线是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意列出方程组求得，椭圆的方程为．‎ ‎(2)设出直线MN的方程，联立直线与椭圆的方程，整理可得直线过定点．‎ 试题解析：‎ ‎（I）由题意得：，‎ 解得：，‎ 椭圆的方程为．‎ ‎（II）依题意，设直线方程为：，‎ 则，且．联立，‎ 得，‎ 14‎ ‎，‎ 又直线的方程为，‎ 即 而，‎ 直线的方程为，‎ 故直线地定点．‎ ‎21. 已知函数，曲线在点处的切线与直线垂直（其中为自然对数的底数）．‎ ‎（I）求的解析式及单调递减区间；‎ ‎（II）是否存在常数，使得对于定义域内的任意恒成立？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（Ⅰ）函数的单调减区间为和；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)利用切线的斜率求得 即可确定函数的解析式，然后结合函数的导函数和定义域即可确定函数的单调递减区间为和, 函数的的单调增区间为.‎ ‎(2)问题等价于，分别讨论 和 两种情况可得： .‎ 试题解析：‎ ‎（1），，‎ 由题意有：即：，‎ ‎，由 或，‎ 函数的单调递减区间为和 由 ，函数的的单调增区间为.‎ ‎（2）要恒成立，即 ‎ 14‎ ‎①当时，，则要：恒成立，‎ 令，则，‎ 再令，则，所以在单调递减，‎ ‎，，在单调递增，‎ ‎，‎ ‎②当时，，则要恒成立，‎ 由①可知，当时，，在单调递增，‎ 当时，，，‎ 在单调递增，，‎ 综合①，②可知：，即存在常数满足题意.‎ 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22. 选修4-5：坐标系与参数方程 已知直线的参数方程是（是参数），圆的极坐标方程为．‎ ‎（1）求圆心的直角坐标；‎ ‎（2）由直线上的点向圆引切线，求切线长的最小值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析: (1)由 ,将极坐标方程转化为直角坐标方程; (2)求出直线上的点与圆心之间的距离, 由勾股定理求出切线长,再求出最小值.‎ ‎（Ⅰ）∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴圆的直角坐标方程为，即 ‎∴圆心的直角坐标为. ‎ ‎（Ⅱ）直线上的点向圆引切线，则切线长为 ‎，‎ ‎∴直线上的点向圆引的切线长的最小值为. ‎ 14‎ ‎23. 选修4-5：不等式选讲 已知，函数的最小值为．‎ ‎（I）求证：；‎ ‎（II）若恒成立，求实数的最大值．‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据绝对值定义将函数化为分段函数形式，并求出最小值，再根据最小值为1，得结论，(2)先利用变量分离，将不等式恒成立问题转化为对应函数最值问题：的最小值，再利用1的代换及基本不等式求最值，即得实数的最大值.‎ 试题解析：（Ⅰ）法一：，‎ ‎∵且，‎ ‎∴，当时取等号，即的最小值为，‎ ‎∴，. ‎ 法二：∵，‎ ‎∴，‎ 显然在上单调递减，在上单调递增，‎ ‎∴的最小值为， ‎ ‎∴，. ‎ ‎（Ⅱ）∵恒成立，‎ ‎∴恒成立， ‎ ‎ ‎ 当时，取得最小值，‎ ‎∴，即实数的最大值为.‎ ‎ ‎ 14‎ 14‎