2013湖南卷（文）数学试题
2013·湖南卷(文科数学)
1． 复数z＝i·(1＋i)(i为虚数单位)在复平面上对应的点位于( )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
1．B [解析] z＝i·(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，在复平面上对应点坐标为(－1，1)，位于第二象限，选B.
2． “1
0)
ln 4(<4)
g(x)＝x2－4x＋4
1
0
4
可知它们有2个交点，选C.
7． 已知正方体的棱长为1，其俯视图是一个面积为1的正方形，侧视图是一个面积为的矩形，则该正方体的正视图的面积等于( )
A. B．1
C. D.
7．D [解析] 由题可知，其俯视图恰好是正方形，而侧视图和正视图则应该都是正方体的对角面，故面积为，选D.
8． 已知，是单位向量，＝0.若向量满足|－－|＝1，则||的最大值为( )
A.－1 B.
C.＋1 D.＋2
8．C [解析] 由题可知·＝0，则⊥，又||＝||＝1，且|－－|＝1，不妨令＝(x，y)，＝(1，0)，＝(0，1)，则(x－1)2＋(y－1)2＝1.又||＝，故根据几何关系可知||max＝＋1＝1＋，选C.
9． 已知事件“在矩形ABCD的边CD上随机取一点P，使△APB的最大边是AB”发生的概率为，则＝( )
A. B.
C. D.
9．D [解析] 依题可知，E，F是CD上的四等分点，P只能在线段EF上，则BF＝AB，不妨设CD＝AB＝a，BC＝b，则有b2＋＝a2，即b2＝a2，故＝，选D.
10． 已知集合U＝{2，3，6，8}，A＝{2，3}，B＝{2，6，8}，则(∁UA)∩B＝________．
10．{6，8} [解析] 由已知得∁UA＝{6，8}，又B＝{2，6，8}，所以(∁UA)∩B＝{6，8}．
11． 在平面直角坐标系xOy中，若直线l1：(s为参数)和直线l2：(t为参数)平行，则常数a的值为________．
11．4 [解析] l1：即x－2y－1＝0，l2：即2x－ay－a＝0.由两直线平行，得＝≠，解得a＝4.
12． 执行如图1－1所示的程序框图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为________．
图1－1
12．9 [解析] 根据程序框图所给流程依次可得，a＝1，b＝2→a＝3→a＝5→a＝7→a＝9，满足条件，输出a＝9.
13． 若变量x，y满足约束条件则x＋y的最大值为________．
13．6 [解析] 根据题意，画出x，y满足的可行域，如图，
可知在点B(4，2)处x＋y取最大值为6.
14． 设F1，F2是双曲线C：－＝1(a>0，b>0)的两个焦点．若在C上存在一点P，使PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，则C的离心率为________．
14.＋1 [解析] 如图，因PF1⊥PF2，且∠PF1F2＝30°，故|PF2|＝|F1F2|＝c，则|PF1|＝c，又由双曲线定义可得|PF1|－|PF2|＝2a，即c－c＝2a，故＝＝＋1.
15．， 对于E＝{a1，a2，…，a100}的子集X＝{ai1，ai2，…，aik}，定义X的“
特征数列”为x1，x2，…，x100，其中xi1＝xi2＝…＝xik＝1，其余项均为0.例如：子集{a2，a3}的“特征数列”为0，1，1，0，0，…，0.
(1)子集{a1，a3，a5}的“特征数列”的前3项和等于________；
(2)若E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99；E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98，则P∩Q的元素个数为________．
15．2 17 [解析] (1)由特征数列的定义可知，子集{a1，a3，a5}的“特征数列”为1，0，1，0，1，0…，0，故可知前三项和为2.
(2)根据“E的子集P的“特征数列”p1，p2，…，p100满足p1＝1，pi＋pi＋1＝1，1≤i≤99”可知子集P的“特征数列”为1，0，1，0，…，1，0.即奇数项为1，偶数项为0.根据“E的子集Q的“特征数列”q1，q2，…，q100满足q1＝1，qj＋qj＋1＋qj＋2＝1，1≤j≤98”可知子集Q的“特征数列为1，0，0，1，0，0，…，0，1.即项数除以3后的余数为1的项为1，其余项为0，则P∩Q的元素为项数除以6余数为1的项，可知有a1，a7，a13，…，a97，共17项．
16． 已知函数f(x)＝cos x·cos.
(1)求f的值；
(2)求使f(x)<成立的x的取值集合．
16．解：(1)f＝cos·cos＝－cos·cos＝－2＝－.
(2)f(x)＝cos x·cosx－
＝cos x·cos x＋sin x
＝cos2x＋sinx cos x
＝(1＋cos 2x)＋sin 2x
＝cos2x－＋.
f(x)<⇔cos2x－＋<，即cos2x－<0.于是2kπ＋<2x－<2kπ＋，k∈，解得kπ＋0；当x>0时，f′(x)<0，
所以f(x)的单调递增区间为(－∞，0)，单调递减区间为(0，＋∞)．
(2)证明：当x<1时，由于>0，ex>0，故f(x)>0；
同理，当x>1时，f(x)<0.
当f(x1)＝f(x2)(x1≠x2)时，不妨设x1
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