数学理卷·2018届北京市海淀区57中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）x

数学理卷·2018届北京市海淀区57中高二上学期期中考试数学（理）试题（解析版）x

‎2016-2017学年度第一学期期中高二数学试卷 一、选择题 ‎1. 在直角坐标系中，在轴上截距为且倾斜角为的直线方程为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得，直线的斜率，再根据直线的截距得到直线过点（0，-1）‎ 根据直线方程的截距式可知所求的直线方程为，‎ 即，‎ 故选．‎ ‎2. 如果直线与直线互相垂直，则的值为（ ）．‎ A. B. C. ， D. ，，‎ ‎【答案】C ‎【解析】本题主要考查平面直线的位置关系．根据任意两条直线，‎ 的垂直判定定理：，将题目中的参数代入上式得到：‎ ‎，解得或．‎ 故本题正确答案为．‎ ‎3. 下列命题中错误的是（ ）．‎ A. 如果平面平面，那么平面内一定存在直线平行于平面 B. 如果平面不垂直于平面，那么平面内一定不存在直线垂直于平面 C. 如果平面平面，平面平面，，那么平面 D. 如果平面平面，那么平面内所有直线都垂直于平面 ‎【答案】D ‎【解析】由题意可知：、结合实物：教室的门面与地面垂直，门面的上棱对应的直线就与地面平行，故此命题成立；、假若平面内存在直线垂直于平面，根据面面垂直的判定定理可知两平面垂直，故此命题成立；、结合面面垂直的性质可以分别在、内作异于的直线垂直于交线，再由线面垂直的性质定理可知所作的垂线平行，进而得到线面平行再由线面平行的性质可知所作的直线与平行，又∵两条平行线中的一条垂直于平面那么另一条也垂直于平面，故命题成立；、举反例：教室内侧墙面与地面垂直，而侧墙面内有很多直线是不垂直与地面的，故此命题错误，故选.‎ ‎4. 已知圆与直线及都相切，圆心在直线上，则圆的方程为（ ）．‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：直线和的斜率均为1，所以两直线平行．‎ 因为圆与直线和都相切，所以两平行线直线和间的距离即为所求圆的直径，即，所以半径．‎ 因为圆心在直线上，则可设圆心为，‎ 圆与直线相切，所以圆心到直线的距离等于半径，即，‎ 解得，依题意可知，所以，则圆心为，‎ 所以圆方程为．故B正确．‎ 考点：1圆的方程；2直线与圆相切．‎ ‎【思路点睛】本题主要考查圆的方程，直线和圆相切的问题，难度一般．当圆与两条平行直线均相切时两平行直线间的距离即为圆的直径．再根据圆心在直线上可设出圆心坐标，根据圆心到两平行线中一条直线的距离即为半径列式计算可得圆心坐标，从而可得圆的标准方程．‎ ‎5. 若实数，满足则的最小值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】在坐标平面内画出题中的不等式组表示的平面区域(如图中的阴影部分所示)及直线x＋2y＝0，平移直线x＋2y＝0，当平移到经过该平面区域内的点(0,0)时，相应直线在y轴上的截距最小，此时x＋2y取得最小值，3x＋2y取得最小值，则z＝3x＋2y的最小值是30＋2×0＝1，选B.‎ ‎6. 已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由三视图知：几何体为三棱锥，如图：‎ 其中平面，平面，‎ ‎，‎ ‎∴几何体的体积 ‎．‎ 所以选项是正确的．‎ ‎7. 如图所示，在正方体中，点是平面内一点，且平面，则的最大值为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 正方体中，连接，，交于点，则点满足条件；‎ 证明如下，连接，交于点，连接，，‎ 则，且，‎ ‎∴四边形是平行四边形，‎ ‎∴，‎ 又平面，且平面，‎ ‎∴平面，‎ 同理，平面，‎ ‎∴当在直线上时，都满足，‎ ‎∴是最大值．‎ 故选项是正确的．‎ 点睛：这是立体中空间角的问题，点动，引起直线动，动直线形成动平面，因此这个题目先研究动点的轨迹，通过线面平行，先过点B做出和已知平面平行的平面，从而得到动点的轨迹是上面的对角线。再根据角的正切值，找出范围。‎ ‎8. 过直线上的一点作圆的两条切线，，当直线，关于对称时，它们之间的夹角为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】1. 过圆心M作直线y=x的垂线交与N点，过N点作圆的切线能够满足条件，不难求出夹角为60。‎ ‎2.明白N点后，用图象法解之也很方便 ‎9. 已知圆的方程，过作直线，与圆交于点，，且，关于直线对称，则直线的斜率等于（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设，， ‎ 因为直线、关于直线对称，故两直线斜率互为相反数，‎ 设直线方程的斜率为，则直线斜率为，‎ 所以，直线方程为：，‎ ‎ 整理得：， ‎ 所以： ，‎ 即：，，‎ 所以，同理，‎ 所以，‎ 故选．‎ ‎10. 满足，的三角形面积的最大值是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】本题考查用坐标法解决平面几何问题．‎ 以所在直线为轴，中点为坐标原点，建立平面直角坐标系，‎ 则点，．‎ 设点，则由条件得，‎ 化简得（其中），‎ ‎∴，‎ 从而的面积，‎ ‎∴所求的面积的最大值是，‎ 故选．‎ 点睛：这个题目非常好的考察了，圆的第二定义：动点到两定点的距离之比是定值，且次定值不是1‎ ‎，则动点的轨迹是一个圆，而这个圆是通过建系的方式求出的的轨迹方程。这个题目就是先通过以上定义求出Q点轨迹，再分析出最值位置。‎ 二、填空题 ‎11. 若直线与连接点和的线段有公共点，则实数的取值范围是__________．‎ ‎【答案】或 ‎【解析】画出图形，如图所示，‎ 结合图形，知：直线可化为，‎ ‎∵直线过点，‎ ‎∴，‎ 计算得出．‎ 又∵直线过点，‎ ‎∴，‎ 计算得出．‎ ‎∴的取值范围是或．‎ ‎12. 将半径为，圆心角为的扇形卷成圆锥的侧面，则圆锥的轴截面面积为_______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵扇形的弧长，‎ ‎∴圆锥的底面半径为，‎ ‎∴圆锥的高，‎ ‎∴圆锥的轴截面面积为．‎ 故答案是：．‎ ‎ ‎ ‎13. 经过点作圆的弦，使点为弦的中点，则弦所在直线方程为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心是，‎ 所以，‎ 则弦所在直线方程为，‎ 即．‎ ‎14. 已知直线与圆心为的圆相交于，两点，且为等边三角形，则实数__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：依题意可知，圆心到直线的距离等于，所以，解得．‎ 考点：直线与圆的位置关系．‎ ‎【思路点睛】直线与圆的相交弦问题，常常作出草图，分析性质然后求解比较简单．如本题，弦的两端点与圆心构成等边三角形，所以可知，圆心到直线的距离等于，然后利用点到直线的距离求出参数a的值即可．‎ ‎15. 一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为，则该三角形的斜边长为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据题意我们把一个等要直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，结合图形的对称性可知，该三角形的斜边的中线的长等于底面三角形的高，所以该三角形的斜边长为.‎ 考点：1.棱柱的结构特征；2.空间想象力.‎ ‎16. 如图所示是一个几何体的三视图，则这个几何体外接球的表面积为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由三视图知：几何体是三棱锥，如图三棱锥，‎ 其中平面，四边形为边长为的正方形，，‎ 外接球的球心为的中点，‎ ‎∴外接球的半径，‎ ‎∴外接球的表面积．‎ 因此，本题正确答案是：．‎ ‎17. 已知点是直线上一动点，，是圆的两条切线，、是切点，若四边形的最小面积是，则的值为__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】圆的圆心为，半径为，‎ 由圆的性质可知，四边形的面积，‎ 又四边形的最小面积是，‎ 所以的最小值为为切线长）‎ 所以得最小值为，圆心到直线的距离为为的最小值，‎ 即，‎ 因为，所以.‎ 点睛：本题主要考查了直线与圆的位置关系的应用，其中解答中涉及到点到直线的距离公式、圆的切线长公式，圆的性质和四边形的性质等知识点的综合应用，着重考查了学生分析问题和解答问题的能力，以及推理与运算能力，本题的解答中把四边形的面积转化为，再确定的面积的最小值是解答的关键.‎ ‎18. 已知圆，直线，下面四个命题：‎ ‎①对任意实数与，直线和圆相切．‎ ‎②对任意实数与，直线和圆有公共点．‎ ‎③对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切．‎ ‎④对任意实数，必存在实数，使得直线与圆相切．‎ 其中真命题的代号是__________（写出所有真命题的代号）‎ ‎【答案】②④‎ ‎【解析】圆心到直线的距离为：‎ ‎（其中）．即.‎ 故②④正确 点睛：本题考查学生的观察能力和分析能力，圆心是动的，直线也是动的，直接根据直线与圆的位置关系的判断方法，计算圆心到直线的距离得到关于角的三角函数｜，发现这个函数值总是小于1的，小于半径。从而得到分析结果。‎ 三、解答题 ‎19. 已知点，圆．‎ ‎（）设，求过点且与圆相切的直线方程．‎ ‎（）设，直线过点且被圆截得的弦长为，求直线的方程．‎ ‎（）设，直线过点，求被圆截得的线段的最短长度，并求此时的方程．‎ ‎【答案】（1）切线方程为或；（2）直线的方程为或；（3）方程为即.‎ ‎【解析】试题分析：（1）已知直线上一点，设出直线方程，点斜式，再根据直线和圆的位置关系，，解得，求得方程。（2）根据垂径定理，即圆心到直线的距离为，得到结果。（3）首先要分析出来线段最短时直线和圆的位置关系：，故当时，，再根据垂径定理得到直线的斜率。‎ ‎（）解：如图所示，此时，‎ 设切线为或，‎ 验证知与题意相符；‎ 当切线为，即时，‎ 圆心到切线的距离 ‎，解得，‎ 所以，切线方程为或．‎ ‎（）如图所示，此时，‎ 设直线为或（舍），‎ 设弦的中点为，则，，‎ 所以，即圆心到直线的距离为，‎ 于是，解得或，‎ 所以，直线的方程为或．‎ ‎（）如图所示，此时，‎ 设所截得的线段为，圆心到直线的距离为，则 ‎，‎ 即，因为直线过点，‎ 所以圆心到直线的距离为 ‎，故当时，，‎ 此时，因为，所以，‎ 故直线方程为，即．‎ ‎20. 三棱柱，侧棱与底面垂直，，，，分别是，的中点．‎ ‎（）求证：平面．‎ ‎（）求证：平面平面．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）欲证MN||平面BCC1B1，根据直线与平面平行的判定定理可知只需证MN与平面BCC1B1内一直线平行即可，而连接BC1，AC1．根据中位线定理可知MN||BC1，又MN⊄平面BCC1B1满足定理所需条件；（2）证明MN⊥BC1，MN⊥AC1，即可证明MN⊥平面ABC1，从而证明平面MAC1⊥平面ABC1．‎ ‎（）连接，．‎ 在中，∵，是，的中点，‎ ‎∴，‎ 又∵平面，‎ ‎∴平面．‎ ‎（）∵三棱柱中，侧棱与底面垂直，‎ ‎∴四边形是正方形，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ 连接，，则≌，‎ ‎∴，‎ ‎∵是的中点，‎ ‎∴，‎ ‎∵，‎ ‎∴平面，‎ ‎∵平面，‎ ‎∴平面平面．‎ 点睛：判断或证明线面平行的常用方法有：①利用线面平行的定义（无公共点）；②利用线面平行的判定定理（a⊂α，b⊄α，a∥b⇒a∥α）；③利用面面平行的性质定理（α∥β，a⊂α⇒a∥β）；④利用面面平行的性质（α∥β，a⊄α，a⊄，a∥α⇒a∥β）．‎ 第二问正面面垂直即先找线线垂直。‎ ‎21. 已知圆，，求证：‎ ‎（）不论取何值，圆心在同一条直线上．‎ ‎（）与平行的直线被圆所截得的线段长与无关．‎ ‎【答案】（1）；（2）圆心到该直线的距离：.‎ ‎【解析】试题分析：（1）将圆的方程化为标准方程，可得圆心坐标，再消去参数，即可得到结论；‎ ‎（2）设出与直线ℓ平行的直线的方程：x﹣3y+n=0，利用点到直线的距离公式表示出圆心到此直线的距离整理后发现不含有参数m故可得结论．‎ ‎（）配方得：，‎ 设圆心为，所以，‎ 消去得：，‎ 故不论为何值，圆心在直线上．‎ ‎（）设与直线平行的直线为：，‎ 所以圆心到该直线的距离：‎ ‎，‎ 即与无关，所以线段长与无关．‎ ‎22. 如图所示，正方形与直角梯形所在平面互相垂直，，，．‎ ‎（I）求证：平面．‎ ‎（II）求证：平面．‎ ‎（III）求四面体的体积．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）见解析（3）‎ ‎【解析】试题分析：（1）欲证AC⊥平面BDE，只需证明AC垂直平面BDE中的两条相交直线即可，因为AC与BD是正方形ABCD的对角线，所以AC⊥BD，再正DE垂直AC所在的平面，得到AC垂直DE，而BD，DE是平面BDE中的两条相交直线，问题得证．‎ ‎（3）四面体BDEF可以看做以△DEF为底面，以点B为顶点的三棱锥，底面三角形DEF的底边DE=2，高DA=2，三棱锥的高为AB，长度等于2，再代入三棱锥的体积公式即可．‎ ‎（）因为平面平面，，‎ 即，所以平面，‎ 因为平面，所以，‎ 因为是正方形，所以，，所以平面．‎ ‎（）设，取中点，连接、，如下图：‎ 所以平行且等于，‎ 因为，，‎ 所以平行且等于，从而四边形是平行四边形，‎ ‎，因为平面，平面，所以平面，‎ 即平面．‎ ‎（），，‎ 因此四面体的体积．‎ 点睛：本题主要考查了在空间几何体中证明线面垂直，线面平行，计算三棱锥的体积，综合考查了学生的识图能力，空间想象力，计算能力．证线面垂直先证线线垂直，正线面平行先证线线平行。‎ ‎23. 已知直线与圆相交于、两点，且满足．‎ ‎（）求圆的方程．‎ ‎（）若，，为轴上两点，点在圆上，过作与垂直的直线与圆交于另一点，连，求四边形的面积的取值范围．‎ ‎【答案】（1）圆的方程为：；（2）四边形的面积的取值范围是.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由垂径定理得到，，即．从而得到圆的方程。（2）首先设点到直线的距离为．根据图形中的几何关系得到：，再求出函数的值域即可。‎ ‎（）由题设可知，点到直线的距离，‎ 再由垂径定理知，，即．‎ 故圆的方程为：．‎ ‎（）延长，交圆于点，连结，‎ 则的面积就等于四边形的面积．‎ 连结，易知，的面积就等于面积的，‎ 即有（为的面积）．‎ 可设点到直线的距离为，显然有．‎ 且，‎ 显然，，故四边形的面积的取值范围是．‎ ‎ ‎