数学理卷·2019届四川省广安市高二上学期期末考试（2018-01）

数学理卷·2019届四川省广安市高二上学期期末考试（2018-01）

广安市2017年秋高二期末试题 数学(理工类)‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.对变量有观测数据，得散点图(1)；对变量有观测数据(，得散点图(2)，由这两个散点图可以判断( )‎ A.变量与正相关，与正相关 B.变量与正相关，与负相关 C.变量与负相关，与正相关 D.变量与负相关，与负相关 ‎2.若圆关于直线对称，则的值为( )‎ A. B.1 C.3 D.‎ ‎3.下列命题中的真命题是( )‎ A.，使得 B.，‎ C.， D.，‎ ‎4.广安市某学校高一年级8个班参加合唱比赛的得分如茎叶图所示，则这组数据的中位数和平均数分别是 A.和 B.和92 C.91和 D.92和92‎ ‎5.直线的倾斜角的范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.已知，，若，，且平面，则实数分别为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.如图，矩形中，点为边的中点，若在矩形内部随机取一个点，则点取自内部的概率等于( )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.方程表示的曲线是( )‎ A.两条直线 B.两条射线 C.两条线段 D.一条直线和一条射线 ‎9.某高中在校学生2000人，为了响应“阳光体育运动”号召，学校举行了跑步和登山比赛活动，每人都参加而且只参加了其中一项比赛，各年级参与比赛人数情况如下表：‎ 高一年级 高二年级 高三年级 跑步 登山 其中，全校参与登山的人数占总人数的，为了了解学生对本次活动的满意程度，从中抽取一个200人的样本进行调查，则高二年级参与跑步的学生中应抽取( )‎ A.36人 B.60人 C.24人 D.30人 ‎10.若：直线与双曲线只有一个公共点，：直线与双曲线相切，则是的( )‎ A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 ‎11.已知是椭圆的两个焦点，满足的点总 在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.到两互相垂直的异面直线的距离相等的点，在过其中一条直线且平行于另一条直线的平面内的轨迹是( )‎ A.直线 B.椭圆 C.抛物线 D.双曲线 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13.四进制数化为十进制数为 .‎ ‎14.动圆过点，且与直线相切，则动圆的圆心的轨迹方程为 .‎ ‎15.执行如图所示的程序框图，如果输入的是5，那么输出的是 .‎ ‎16.下列命题中，所有正确命题的序号是 .‎ ‎①若，分别是平面的法向量，则；‎ ‎②若，分别是平面，的法向量，则；‎ ‎③若是平面的法向量，与共面，则；‎ ‎④若两个平面的法向量不垂直，则这两个平面一定不垂直.‎ 三、解答题 ‎ ‎（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17.已知直线的方程为.‎ ‎(1)若直线与平行， 且过点，求直线的方程；‎ ‎(2)若直线与垂直，且与两坐标轴围成的三角形面积为4，求直线的方程.‎ ‎18.分别抛掷两颗骰子各一次，观察向上的点数，求：‎ ‎(1)两数之和为5的概率；‎ ‎(2)以第一次向上的点数为横坐标，第二次向上的点数为纵坐标的点在圆内部的概率.‎ ‎19.设：实数满足，：实数满足.‎ ‎(1)若，且为真，求实数的取值范围；‎ ‎(2)若其中且是的充分不必要条件，求实数的取值范围.‎ ‎20.如图所示，在棱长为2的正方体中，分别为和的中点.‎ ‎(1)求证：平面；‎ ‎(2)在棱上是否存在一点，使得二面角的大小为，若存在，求出的长；若不存在，请说明理由.‎ ‎21.已知椭圆的离心率为，右焦点为，斜率为1的直线与椭圆交于两点，以为底边作等腰三角形，顶点为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)为椭圆上任意一点，若，求的最大值和最小值.‎ ‎(3)求的面积.‎ ‎22.已知动点，都在曲线(为参数)上，对应参数分别为与，为的中点.‎ ‎(1)求曲线的普通方程；‎ ‎(2)将到坐标原点的距离表示为的函数，并判断的轨迹是否过坐标原点.‎ ‎23.已知，，，证明：‎ ‎(1)；‎ ‎(2).‎ 广安市2017年秋高二期末试题参考答案及评分标准 数学(理工类)‎ 一、选择题 ‎1-5:CBCAB 6-10:BCDAB 11、12：CD 二、填空题 ‎13.27 14. 15.120 16.①②③④ ‎ 三、解答题 ‎17.解：(1)由直线与平行，可设的方程为，‎ 以，代入，得，即得，‎ ‎∴直线的方程为.‎ ‎(2)由直线与垂直，可设的方程为，‎ 令，得，令，得，‎ 故三角形面积为，‎ ‎∴得，即，‎ ‎∴直线的方程为或.‎ ‎18.解：将一颗骰子先后抛掷2次，此问题中含有36个等可能基本事件.‎ ‎(1)记“两数之和为5“为事件，则事件中含有4个基本事件：，，，，所以.‎ ‎∴两数之和为5的概率为.‎ ‎(2)基本事件总数为36，点在圆的内部记为事件，则包含8个事件中所含基本事件：，，，，，，，，所以，‎ ‎∴点在圆内部的概率为.‎ ‎19.解：(1)由得，‎ 当时，，即为真时实数的取值范围是，‎ 由，得，得，‎ 即为真时实数的取值范围是，‎ 若为真，则真且真，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎(2)若是的充分不必要条件，则，‎ ‎∴，‎ 由，，‎ ‎∴，且，‎ ‎∴实数的取值范围是.‎ ‎20.(1)证明：如图所示，分别以所在的直线为轴，轴，轴建立空间直角坐标系，由已知得，，，，，，，，‎ ‎∵平面的一个法向量是，‎ 又∵，‎ ‎∴，‎ ‎∴，而平面，‎ ‎∴平面.‎ ‎(2)解：设点，‎ 平面的一个法向量为，‎ 则，∵，，‎ ‎∴，取，则，，∴‎ ‎，‎ 平面的一个法向量，‎ 依题意知，或，‎ ‎∴，即，解得或(舍)，‎ ‎∵，‎ ‎∴在棱上存在一点，当的长为时，二面角的大小为.‎ ‎21.解：(1)由已知得，，‎ 解得，又，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎(2)设则直线的方程为，‎ 由，得①‎ ‎，的最大值为1和最小值为.‎ ‎(3)设直线的方程为，‎ 由，得①‎ 设的坐标分别为，，中点为，‎ 则，，‎ 因为是等腰的底边，所以，‎ 所以的斜率，‎ 解得，此时方程①为，‎ 解得，，所以，，‎ 所以，此时，点到直线的距离 ‎，所以的面积.‎ ‎22.解：(1)曲线的直角坐标方程：.‎ ‎(2)依题意有，，因此，的轨迹的参数方程为(为参数，)，‎ 点到坐标原点的距离，当时，，‎ 故的轨迹过坐标原点.‎ ‎23.解：(1)由柯西不等式得：‎ ‎.‎ ‎(2)由及得 ‎，‎ ‎∴.‎