数学（文）卷·2018届广东省佛山一中高二下学期第一次段考（2017-03）

数学（文）卷·2018届广东省佛山一中高二下学期第一次段考（2017-03）

佛山市第一中学高二下学期第一次段考试题(文科数学)‎ 考试范围：选修1-2、1-1、必修2；考试时间：120分钟；命题人：张斌、叶棣萍 相关指数计算公式如下：‎ 一、选择题(本大题共12小题，共60分)‎ ‎1.函数f（x）=从x= 到x=2的平均变化率为（　　） A.2      B.      C.      D.‎ ‎2.以下四个命题：‎ ‎①在匀速传递的产品生产流水线上，质检员每10分钟从中抽取一件产品进行某项指标检测，这样的抽样是分层抽样；②若两个变量的线性相关性越强，则它们的相关系数的绝对值越接近于1；③在残差图中，残差点分布的带状区域的宽度越狭窄，其模型拟合的精度越高；④对分类变量X与Y的随机变量K2的观测值k来说，k越小，判断“X与Y有关系”的把握越大．其中真命题的序号为(　　)‎ A．① ④ B．② ④ C．① ③ D．② ③‎ ‎3.设点P是曲线上的任意一点，点P处切线的倾斜角为α，则角α的取值范围是（　　） A. B.[0，）∪[，π） C.  D.‎ ‎4 函数的定义域为，导函数在内的图象如图所示，则函数在内的极小值点有（　　）‎ A.4个 B.3个 C.2个 D.1个 ‎5.已知函数y＝f(x)对任意的x∈满足f′(x)cos x＋f(x)sin x＞0(其中f′(x)是函数f(x)的导函数)，则下列不等式成立的是(　　)‎ A.f ＜ f B .f ＜f C．f(0)＞2f D．f(0)＞f ‎6.若曲线表示椭圆，则k的取值范围是（　　） A.k＞1     B.k＜-1 C.-1＜k＜1     D.-1＜k＜0或0＜k＜1‎ ‎7．已知双曲线kx2－y2＝1的一条渐近线与直线l：2x＋y＋1＝0垂直，则此双曲线的离心率是(　　)‎ A. B. C. D. ‎8.设双曲线 (a＞0，b＞0)的离心率为，抛物线y2=20x的准线过双曲线的左焦点，则此双曲线的方程为(　　) A.  B.  C.  D.-‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示，图中的四边形是边长为2的正方形，其中正视图、侧视图中的两条虚线互相垂直，则该几何体的体积是（　　） A.      B.6      C.      D.5‎ ‎10.由变量x与y相对应的一组数据（3，y1），（5，y2），（7，y3），（12，y4），（13，y5）得到的线性回归方程为=x+20，则=（　） A.25     B.125     C.120     D.24‎ ‎11.观察（x2）′=2x，（x4）′=4x3，y=f（x ‎），由归纳推理可得：若定义在R上的函数f（x）满足f（-x）=f（x），记g（x）为f（x）的导函数，则=（　　） A. f（x）   B.   C.=   D.=‎ ‎12.已知函数,,若存在,使得,则的取值范围为( )‎ A. B. C. D. ‎ 二、填空题(本大题共4小题，共20.分)‎ ‎13.已知点F为抛物线的焦点，点A（2，m）在抛物线上，且,则抛物线的方程为 __ ___ ．‎ ‎14若函数.在上是单调增函数，则实数a 的范围是__________‎ ‎15. 已知一个长方体的长、宽、高分别是 ，，，则该长方体的外接球的表面积等于  ‎ ‎16.若函数f（x）满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x1，x2（x1≠x2），‎ ‎|f（x2）f（x1）|＜|x2x1|恒成立”，则称f（x）为完美函数．给出下列四个函数，其中是完美函数的是 ______ ． ①f（x）=； ②f（x）=|x|； ③f（x）=； ④f（x）=2x．‎ 三、解答题(本大题共6小题，共70.分)‎ ‎17. （本小题满分12分）设a，b∈R，函数，‎ g（x）=ex（e为自然对数的底数），且函数f（x）的图象与函数g（x）的图象在x=0处有公共的切线． （Ⅰ）求b的值； （Ⅱ）讨论函数f（x）的单调性； ‎ ‎18. （本小题满分12分）已知函数f(x)＝ax2＋x－xln x.‎ ‎(1)若a＝0，求函数f(x)在定义域上的单调区间，及在上的最值 ‎(2)若f(1)＝2，且在定义域内f(x)≥bx2＋2x恒成立，求实数b的取值范围 ‎[]‎ ‎[]‎ ‎ 19. （本小题满分10分） 2014年山东省第二十三届运动会将在济宁召开，为调查我市某校高中生是否愿意提供志愿者服务，用简单随机抽样方法从该校调查了50人，结果如下： (I)用分层抽样的方法在愿意提供志愿者服务的学生中抽取6人，其中男生抽取多少人？ (II)在(I)中抽取的6人中任选2人，求恰有一名女生的概率； (III)你能否有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关？ 下面的临界值表供参考： 独立性检验统计量，其中n=a+b+c+d． ‎ ‎20. （本小题满分12分）如图：直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°，AA1‎ ‎=AC=BC=2，D为AB中点． (1)求证：BC1∥平面A1CD； (2) 求证：AB1⊥A1C； (3)求C1到平面A1CD的距离． ‎ ‎21. （本小题满分12分）已知椭圆+=1（a＞b＞0）的左焦点为F（-1，0），且椭圆上的点到点F的距离最小值为1． （1）求椭圆的方程； （2）已知经过点F的直线l与椭圆交于不同的两点A、B，且|AB|=，求直线l的方程． ‎ ‎22.（本小题满分12分）‎ 已知函数,．‎ ‎（Ⅰ）若曲线在点处的切线斜率为，求实数的值；‎ ‎（Ⅱ）当时，证明：.‎ 佛山市第一中学高二文科数学下学期第一次段考试题答案 一、选择题（共12个小题，每小题5分，满分60分）‎ ‎ 1.B    2.D    3.B    4. D    5.  A  6.D    7.A    8.C    9.A    10.C    11.D    12.B    二、填空题（共4个小题，每小题5分，满分 20分）‎ ‎13. 14. (－∞，2] 1516.① ③ 三、解答题（共6 小题，满分 70分）‎ ‎17.（本小题10分）（Ⅰ）f'（x）=x2+2ax+b，g'（x）=ex， 由f'（0）=b=g'（0）=1，得b=1． …………4分 （Ⅱ）f'（x）=x2+2ax+1=（x+a）2+1-a2， …5分 当a2≤1时，即-1≤a≤1时，f'（x）≥0，从而函数f（x）在定义域内单调递增， …6分 当a2＞1时，，此时 ‎ 若，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增； 若，f'（x）＜0，则函数f（x）单调递减； 若时，f'（x）＞0，则函数f（x）单调递增． …………9分 综上：当a2≤1时，函数f（x）单调递增区间为R 当a2＞1时, 函数f（x）单调递减区间 函数f（x）单调递增区间为和 …10分 18.（本小题12分）解：(1)当a＝0时，f(x)＝x－xln x，函数定义域为(0，＋∞)． … 1分 f′(x)＝－ln x，由－ln x＝0，得x＝1. … 2分 当x∈(0,1)时，f′(x)＞0，f(x)的增区间是(0,1)；‎ 当x∈(1，＋∞)时，f′(x)＜0，f(x)的减区间是(1，＋∞)．‎ ‎∵,, ‎ 函数f(x)在上的最小值为0，最大值为1 ……… … 5分 ‎(2)由f(1)＝2，得a＋1＝2，∴a＝1， ……… … 6分 ‎∴f(x)＝x2＋x－xln x，‎ 由f(x)≥bx2＋2x，得(1－b)x－1≥ln x.‎ ‎∵x＞0，∴b≤1－－恒成立． … 9分 令g(x)＝1－－，可得g′(x)＝， ………10分 ‎∴g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，‎ ‎∴g(x)min＝g(1)＝0，∴实数b的取值范围是(－∞，0]． …… 12分 19.（本题10分）解：(I)由题意，男生抽取6×=4人，女生抽取6×=2人；2分 (II)在(I)中抽取的6人中任选2人，4名男生分别是A、B、C、D，2名男生分别是E、F，可能抽的结果有（AB），(AC)，(AD)，(AE)，(AF)，(BC)，(BD)，(BE)，(BF)，(CD)，(CE)，(CF)，(DE)，(DF)，(EF)，共15种 ……… 5分 恰有一名女生(AE)，(AF)， (BE)，(BF)，(CE)，(CF)，(DE)，(DF)，共8种 …… 6分 恰有一名女生概率P==； ………7‎ ‎(III)假设高中生是否愿意提供志愿者服务与性别无关 ……… 8分 ‎ ‎ ‎ K2==8.333＞6.635， ……… 11分 所以有99%的把握认为该校高中生是否愿意提供志愿者服务与性别有关． ……… 12分 20.（本小题10分）(1)证明：连接AC1交A1C于O点，连接DO，则O为AC1的中点， 1分 ∵D为AB中点，∴DO∥BC1， 又∵DO⊂平面A1CD，BC1⊄平面A1CD， ∴BC1∥平面A1CD． ……… 4分 ‎ (2)证明：∵直三棱柱ABC-A1B1C1中，∠ACB=90°， ∴B1C1⊥平面A1ACC1， ∵A1C⊂平面A1ACC1， ∴A1C⊥B1C1， ……… 6分 连接AC1，∵AC1⊥A1C，A1C 与B1C1，相交于C1‎ ‎∴A1C⊥平面AB1C1． AB1在平面AB1C1上 所以AB1⊥A1C ……… 8分 (3)解：过点作DE⊥AC于E, ∵平面ACB⊥平面A1ACC1，平面ACB平面A1ACC1=AC,‎ DE⊥平面A1ACC1， DE=BC=1 ‎ AD= ,CD= ……… 9分 ‎ ‎= ……… 10分 ‎∴h=2 ‎ ‎ h= ……… 11分 ‎∴到平面CD的距离为 ……… 12分 ‎ 21.（本小题12分）解：（1）由题意可得c=1， ……… 1分 椭圆上的点到点F的距离最小值为1，即为a-c=1， ……… 2分 解得a=2，b==， ……… 3分 即有椭圆方程为+=1； ……… 4分 （2）当直线的斜率不存在时，可得方程为x=-1， 代入椭圆方程，解得y=±，则|AB|=3不成立； ……… 5分 设直线AB的方程为y=k（x+1）， 代入椭圆方程，可得（3+4k2）x2+8k2x+4k2-12=0， ……… 7分 设A（x1，y1），B（x2，y2）， 即有x1+x2=-，x1x2=， ……… 9分 则|AB|=• =•=， ……… 11分 即为=，解得k=±1， 则直线l的方程为y=±（x+1）．……… 12分 22. （本小题12分）（Ⅰ）解：因为，‎ 所以.……………………………………………………………1分 因为曲线在点处的切线斜率为，‎ 所以，解得.…………………………………………………2分 ‎（Ⅱ）证法一：因为,，‎ 所以等价于．‎ 当时，．‎ 要证，只需证明.………………4分 设，则.‎ 设，则．‎ 所以函数在上单调递增．…………………6分 因为，，‎ 所以函数在上有唯一零点，且.…8分 因为，所以，即.………………9分 当时，；当时，，‎ 所以当时，取得最小值.………………………………………10分 所以.‎ 综上可知，当时，. ……………………………………12分 思路2：先证明．……………………………………………5分 设，则．‎ 因为当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．‎ 所以．所以（当且仅当时取等号）．…7分 所以要证明， 只需证明．…8分 下面证明．‎ 设，则．‎ 当时，，当时，，‎ 所以当时，函数单调递减，当时，函数单调递增．‎ 所以．‎ 所以（当且仅当时取等号）．……………………………10分 由于取等号的条件不同， 所以．‎ 综上可知，当时，. ……………………………………12分