2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二上学期期中数学试题（解析版）

‎2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二（上）期中数学试卷 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）圆（x﹣2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（　　）‎ A．（﹣2，3），1 B．（2，﹣3），3 C．（﹣2，3）， D．（2，﹣3），‎ ‎2．（5分）抛物线 x2=y的准线方程是（　　）‎ A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=0‎ ‎3．（5分）圆（x﹣1）2+y2=4上的点可以表示为（　　）‎ A．（﹣1+cos θ，sin θ ） B．（1+sin θ，cos θ ）‎ C．（﹣1+2cos θ，2sin θ ） D．（1+2cos θ，2sin θ ）‎ ‎4．（5分）已知曲线C的参数方程是（t为参数），点M（6，a）在曲线C上，则a的值为（　　）‎ A．9 B．6 C．﹣6 D．﹣9‎ ‎5．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎6．（5分）将双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形“，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形“的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎7．（5分）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1恰有三条公切 线，则ab的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．（5分）已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB方程为（　　）‎ A．4x+9y﹣13=0 B．4x+9y+13=0 C．9x+4y﹣13=0 D．9x+4y+13=0‎ ‎9．（5分）F1、F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且=（+），则点M到坐标原点O的距离是（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎10．（5分）设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎11．（5分）己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎12．（5分）已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2﹣y2=1的左、右焦点，点P为双曲线左支上任一点，自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是　 　．‎ ‎14．（5分）平面内有一长度为2的线段AB与一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围为　 　．‎ ‎15．（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为　 　．‎ ‎16．（5分）已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=　 　．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分，共70分）‎ ‎17．（10分）根据下列条件写出抛物线的标准方程：‎ ‎（1）焦点是F（3，0）；‎ ‎（2）准线方程是．‎ ‎18．（12分）如右图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．‎ ‎19．（12分）已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）圆C与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．‎ ‎20．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上且在第一象限，圆C与x相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为2．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若P（x，y）是圆C上的点，满足x+y﹣m≤0恒成立，求m的范围．‎ ‎21．（12分）已知椭圆的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）求证：2m2=4k2+3；‎ ‎（3）求|AB|的最大值．‎ ‎22．（12分）已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．‎ ‎（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．‎ ‎　‎ ‎2017-2018学年吉林省长春外国语学校高二（上）期中数学试卷 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．（5分）圆（x﹣2）2+（y+3）2=2的圆心和半径分别是（　　）‎ A．（﹣2，3），1 B．（2，﹣3），3 C．（﹣2，3）， D．（2，﹣3），‎ ‎【分析】根据圆的标准方程，即可写出圆心坐标和半径．‎ ‎【解答】解：∵圆的标准方程为（x﹣2）2+（y+3）2=2 ‎ ‎∴圆的圆心坐标和半径长分别是（2，﹣3），‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查圆的标准方程，考查学生分析解决问题的能力，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎2．（5分）抛物线 x2=y的准线方程是（　　）‎ A．4x+1=0 B．4y+1=0 C．2x+1=0 D．2y+1=0‎ ‎【分析】先根据抛物线的标准方程得到焦点在y轴上以及2p=1，再直接代入即可求出其准线方程．‎ ‎【解答】解：因为抛物线的标准方程为：x2=y，焦点在y轴上；‎ 所以：2p=1，即p=，‎ 所以：=，‎ ‎∴准线方程 y=﹣，即4y+1=0．‎ 故选：B ‎【点评】‎ 本题主要考查抛物线的基本性质．解决抛物线的题目时，一定要先判断焦点所在位置．‎ ‎　‎ ‎3．（5分）圆（x﹣1）2+y2=4上的点可以表示为（　　）‎ A．（﹣1+cos θ，sin θ ） B．（1+sin θ，cos θ ）‎ C．（﹣1+2cos θ，2sin θ ） D．（1+2cos θ，2sin θ ）‎ ‎【分析】根据圆的参数方程进行判断．‎ ‎【解答】解：∵（x﹣1）2+y2=4，‎ ‎∴（）2+（）2=1，‎ 设，则x=1+2cosθ，y=2sinθ，‎ 故选D．‎ ‎【点评】本题考查了点与圆的位置关系，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎4．（5分）已知曲线C的参数方程是（t为参数），点M（6，a）在曲线C上，则a的值为（　　）‎ A．9 B．6 C．﹣6 D．﹣9‎ ‎【分析】曲线C的参数方程消去参数t，得曲线C的方程为2x2﹣9y+9=0，再由点M（6，a）在曲线C上，能求出a的值．‎ ‎【解答】解：∵曲线C的参数方程是（t为参数），‎ ‎∴消去参数t，得曲线C的方程为2x2﹣9y+9=0，‎ ‎∵点M（6，a）在曲线C上，∴2×36﹣9a+9=0，‎ 解得a=9．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】‎ 本题考查实数值的求法，考查参数方程、极坐标方程、直角坐标方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．（5分）椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，长轴长是短轴长的2倍，则m的值为（　　）‎ A． B． C．2 D．4‎ ‎【分析】椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，化为，可得a=1，b=．利用长轴长是短轴长的2倍，即可得出．‎ ‎【解答】解：椭圆x2+my2=1的焦点在x轴上，‎ ‎∴，‎ ‎∴a=1，b=．‎ ‎∵长轴长是短轴长的2倍，‎ ‎∴，‎ 解得m=4．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎6．（5分）将双曲线（a＞0，b＞0）的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点所组成的三角形叫做双曲线的“黄金三角形“，则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形“的面积为（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【分析】根据条件求出右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标，结合三角形的面积公式进行计算即可．‎ ‎【解答】解：根据题意，双曲线C：x2﹣y2=4的标准方程为：﹣=1，‎ 其中a==2，b==2，c==2，‎ 则该双曲线的右焦点、右顶点、虚轴的一个端点的坐标分别为（2，0）、（2，0）、（0，2），‎ 则双曲线C：x2﹣y2=4的“黄金三角形“的面积S=×（2﹣2）×2=2﹣2；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题主要考查双曲线的性质，理解双曲线的“黄金三角形”的定义并根据定义求出交点坐标是解决本题的关键．‎ ‎　‎ ‎7．（5分）已知圆C1：（x﹣a）2+（y+2）2=4与圆C2：（x+b）2+（y+2）2=1恰有三条公切 线，则ab的最大值为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】根据两圆外切得出（a+b）2=9，再利用基本不等式得出ab的最大值．‎ ‎【解答】解：圆C1的圆心为（a，﹣2），半径为2，圆C2的圆心为（﹣b，﹣2），半径为1，‎ ‎∵两圆有三条公切线，∴两圆外切，‎ ‎∴|a+b|=3，‎ ‎∴a2+b2=9﹣2ab≥2ab，‎ ‎∴ab≤，‎ 故选C．‎ ‎【点评】本题考查了圆与圆的位置关系，基本不等式，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎8．（5分）已知一直线与椭圆4x2+9y2=36相交于A、B两点，弦AB的中点坐标为M（1，1），则直线AB方程为（　　）‎ A．4x+9y﹣13=0 B．4x+9y+13=0 C．9x+4y﹣13=0 D．9x+4y+13=0‎ ‎【分析】根据题意 设出直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理及弦AB的中点坐标为M（1，1），求出斜率，即可求得直线AB的方程．‎ ‎【解答】解：根据题意，设直线方程AB为y=k（x﹣1）+1，‎ 设A、B的横坐标分别为x1、x2，且AB的中点坐标为M（1，1），‎ 则有（x1+x2）=1，即x1+x2=2，‎ 将直线AB的方程代入椭圆方程4x2+9y2=36中，‎ 整理得（9k2+4）x2+18k（1﹣k）x+9（1﹣k）2﹣36=0，‎ 有x1+x2=﹣，‎ 设则有﹣=2，解可得k=﹣，‎ 则直线AB方程为y=﹣（x﹣1）+1，变形可得4x+9y﹣13=0；‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系，考查弦中点问题，解题的关键是直线方程代入椭圆方程，利用韦达定理求解．‎ ‎　‎ ‎9．（5分）F1、F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，线段PF2与y轴的交点为M，且=（+），则点M到坐标原点O的距离是（　　）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【分析】画出图形，利用椭圆的简单性质判断M的位置，求解即可．‎ ‎【解答】解：F1、F2分别是椭圆x2+2y2=1的左、右焦点，点P在椭圆上，‎ 线段PF2与y轴的交点为M，且=（+），如图：‎ x2+2y2=1，可得a=1，b=，c=，‎ 可知OM∥F1P，|F1P|=，‎ 则点M到坐标原点O的距离是：．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，向量的应用．考查转化思想以及计算能力．‎ ‎　‎ ‎10．（5分）设双曲线的﹣个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】先设出双曲线方程，则F，B的坐标可得，根据直线FB与渐近线y=垂直，得出其斜率的乘积为﹣1，进而求得b和a，c的关系式，进而根据双曲线方程a，b和c的关系进而求得a和c的等式，则双曲线的离心率可得．‎ ‎【解答】解：设双曲线方程为，‎ 则F（c，0），B（0，b）‎ 直线FB：bx+cy﹣bc=0与渐近线y=垂直，‎ 所以，即b2=ac 所以c2﹣a2=ac，即e2﹣e﹣1=0，‎ 所以或（舍去）‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的焦点、虚轴、渐近线、离心率，考查了两条直线垂直的条件，考查了方程思想．‎ ‎　‎ ‎11．（5分）己知直线l1：4x﹣3y+6=0和直线l2：x=﹣1，抛物线y2=4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是（　　）‎ A．2 B．3 C． D．‎ ‎【分析】由x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，推导出点P到直线l1：4x﹣3y+‎ ‎6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值．‎ ‎【解答】解：∵x=﹣1是抛物线y2=4x的准线，‎ ‎∴P到x=﹣1的距离等于PF，‎ ‎∵抛物线y2=4x的焦点F（1，0）‎ ‎∴过P作4x﹣3y+6=0垂线，和抛物线的交点就是P，‎ ‎∴点P到直线l1：4x﹣3y+6=0的距离和到直线l2：x=﹣1的距离之和的最小值 就是F（1，0）到直线4x﹣3y+6=0距离，‎ ‎∴最小值==2．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查抛物线性质的应用，是中档题，解题时要熟练掌握抛物线的性质，注意等价转化思想的合理运用．‎ ‎　‎ ‎12．（5分）已知O为坐标原点，设F1，F2分别是双曲线x2﹣y2=1的左、右焦点，点P为双曲线左支上任一点，自点F1作∠F1PF2的平分线的垂线，垂足为H，则|OH|=（　　）‎ A．1 B．2 C．4 D．‎ ‎【分析】由题设条件推导出PQ=PF2，由双曲线性质推导出PF2﹣PQ=QF2=2a，由中位线定理推导出QF2=2a=2OH=2，由此求解OH．‎ ‎【解答】解：∵F1，F2是双曲线x2﹣y2=1的左右焦点，‎ 延长F1H交PF2于Q，‎ ‎∵PA是∠F1PF2的角平分线，∴PQ=PF1，‎ ‎∵P在双曲线上，∴PF2﹣PF1=2a，‎ ‎∴PF2﹣PQ=QF2=2a，‎ ‎∵O是F1F2中点，H是F1Q中点，‎ ‎∴OH是F2F1Q的中位线，∴QF2=2a=2OH，‎ ‎∴a=1，OH=1‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的简单性质的应用，是中档题，解题时要认真审题，要熟练掌握双曲线的性质．‎ ‎　‎ 二、填空题：（本题共4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13．（5分）经过原点，圆心在x轴的负半轴上，半径等于2的圆的方程是　（x+2）2+y2=4　．‎ ‎【分析】根据题意，设圆的标准方程为（x﹣a）2+y2=4（a＜0），将原点的坐标代入得到关于a的等式，解出a=﹣2，即可得出所求圆的方程．‎ ‎【解答】解：设圆的圆心为（a，0）（a＜0），‎ 由圆的半径为2，可得圆的方程为（x﹣a）2+y2=4，‎ 又∵原点O（0，0）在圆上，‎ ‎∴（0﹣a）2+02=4，得a2=4，解得a=﹣2（舍正）‎ 由此可得圆的方程为（x+2）2+y2=4．‎ 故答案为：（x+2）2+y2=4‎ ‎【点评】本题已知圆满足的条件，求圆的标准方程．着重考查了圆的标准方程、点与圆的位置关系等知识，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎14．（5分）平面内有一长度为2的线段AB与一动点P，若满足|PA|+|PB|=8，则|PA|的取值范围为　[3，5]　．‎ ‎【分析】根据题意有AB|=2且动点P满足|PA|+|PB|‎ ‎=8，利用椭圆的定义，可知动点P的轨迹是以A，B为左，右焦点，定长2a=8的椭圆，利用P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值，即可求出|PA|的最大值和最小值．‎ ‎【解答】解：根据题意，|AB|=2且动点P满足|PA|+|PB|=8，‎ 则动点P的轨迹是以A，B为焦点，定长2a=8的椭圆 ‎ ‎∵2c=2，∴c=1，‎ ‎∴2a=8，∴a=4 ‎ ‎∵P为椭圆长轴端点时，|PA|分别取最大，最小值 ‎ ‎∴|PA|≥a﹣c=4﹣1=3，|PA|≤a+c=4+1=5 ‎ ‎∴|PA|的取值范围是：3≤|PA|≤5；‎ 故答案为：[3，5]‎ ‎【点评】本题考查椭圆的几何性质以及椭圆定义的运用，解题的关键是分析动点的轨迹是椭圆．‎ ‎　‎ ‎15．（5分）已知抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，且被双曲线解得的线段长为6，则双曲线的渐近线方程为　y=±x　．‎ ‎【分析】先求出双曲线的左焦点坐标，再利用抛物线y2=8x的准线被双曲线解得的线段长为6，可得=6，借助于c2=a2+b2，求出a，b，即可求出双曲线的渐近线方程．‎ ‎【解答】解：由抛物线y2=8x，可得=2，故其准线方程为x=﹣2，‎ ‎∵抛物线y2=8x的准线过双曲线的左焦点，‎ ‎∴c=2．‎ ‎∵抛物线y2=8x的准线被双曲线解得的线段长为6，‎ ‎∴=6，‎ ‎∵c2=a2+b2，‎ ‎∴a=1，b=，‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为y=±x．‎ 故答案为：y=±x．‎ ‎【点评】熟练掌握双曲线、抛物线的标准方程及其性质是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎16．（5分）已知抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，且C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，并且，那么m=　　．‎ ‎【分析】先由抛物线的定义p的意义可求出a，根据C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称可设出直线AB的方程，把直线AB的方程与抛物线的方程联立，根据根与系数的关系即可得出直线AB的方程，再根据线段AB关于直线y=x+m对称性即可求出m的值．‎ ‎【解答】解：∵抛物线C：y=ax2（a＞0）的焦点到准线的距离为，‎ ‎∴，解得a=2．‎ ‎∴抛物线C的方程为：y=2x2（a＞0）．‎ ‎∵抛物线C上的两点A（x1，y1），B（x2，y2）关于直线y=x+m对称，‎ ‎∴可设直线AB的方程为y=﹣x+t．‎ 联立，消去y得2x2+x﹣t=0，‎ ‎∵直线AB与抛物线相较于不同两点，∴△=1+4t＞0．‎ 据根与系数的关系得，，，由已知，∴t=1．‎ 于是直线AB的方程为y=﹣x+1，‎ 设线段AB的中点为M（xM，yM），则=，‎ ‎∴yM==．‎ 把M代入直线y=x+m得，解得m=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】熟练掌握抛物线的定义p的意义、直线（或线段）关于直线的对称性、中点坐标公式是解题的关键．‎ ‎　‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．（本题共6小题，其中17题10分，18-22题每小题10分，共70分）‎ ‎17．（10分）根据下列条件写出抛物线的标准方程：‎ ‎（1）焦点是F（3，0）；‎ ‎（2）准线方程是．‎ ‎【分析】（1）根据题意，分析可得要求抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=3，由抛物线标准方程的形式分析可得答案；‎ ‎（2）根据题意，分析可得要求抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=，由抛物线标准方程的形式分析可得答案．‎ ‎【解答】解：（1）根据题意，抛物线的焦点是F（3，0）；‎ 则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=3，‎ 设抛物线的方程为y2=2px 则抛物线的方程为：y2=12x；‎ ‎（2）根据题意，抛物线的准线方程是，‎ 则抛物线的焦点在x轴正半轴上，且=，‎ 设抛物线的方程为y2=2px 则抛物线的方程为：y2=x．‎ ‎【点评】本题考查抛物线的标准方程，注意由抛物线的焦点坐标或准线方程设出抛物线的方程．‎ ‎　‎ ‎18．（12分）如右图抛物线顶点在原点，圆（x﹣2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，‎ ‎（Ⅰ）求抛物线的方程；‎ ‎（Ⅱ）一直线的斜率等于2，且过抛物线焦点，它依次截抛物线和圆于A、B、C、D四点，求|AB|+|CD|的值．‎ ‎【分析】（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），由已知得p=4．即可得抛物线的方程．‎ ‎（Ⅱ）依题意直线AB的方程为y=2x﹣4‎ 设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2﹣6x+4=0，‎ ‎|AD|=x1+x2+p=6+4=10．可得|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|=10﹣4=6．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）设抛物线方程为y2=2px（p＞0），‎ ‎∵圆（x﹣2）2+y2=22的圆心恰是抛物线的焦点，∴p=4．‎ ‎∴抛物线的方程为：y2=8x；‎ ‎（Ⅱ）依题意直线AB的方程为y=2x﹣4‎ 设A（x1，y1），D（x2，y2），则，得x2﹣6x+4=0，‎ ‎∴x1+x2=6，|AD|=x1+x2+p=6+4=10．‎ ‎|AB|+|CD|=|AD|﹣|CB|=10﹣4=6．‎ ‎【点评】本题考查了抛物线的方程、性质，直线与抛物线的位置关系，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）已知圆C的方程：x2+y2﹣2x﹣4y+m=0‎ ‎（1）求m的取值范围；‎ ‎（2）圆C与直线x+2y﹣4=0相交于M，N两点，且OM⊥ON（O为坐标原点），求m的值．‎ ‎【分析】（1）由方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0配方为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m．由于此方程表示圆，可得5﹣m＞0，解出即可；‎ ‎（2）设M（x1，y1），N（x2，y2）．与圆的方程联立可得△＞0及根与系数关系，再利OM⊥ON得y1y2+x1x2=0，即可解出m．‎ ‎【解答】解：（1）方程x2+y2﹣2x﹣4y+m=0，‎ 可化为（x﹣1）2+（y﹣2）2=5﹣m，‎ ‎∵此方程表示圆，‎ ‎∴5﹣m＞0，即m＜5．…（4分）‎ ‎（2）‎ 消去x得（4﹣2y）2+y2﹣2×（4﹣2y）﹣4y+m=0，‎ 化简得5y2﹣16y+m+8=0．‎ ‎∵△=4（24﹣5m）＞0，∴，‎ 设M（x1，y1），N（x2，y2），‎ 则，由OM⊥ON得y1y2+x1x2=0，‎ 即y1y2+（4﹣2y1）（4﹣2y2）=0，‎ ‎∴16﹣8（y1+y2）+5y1y2=0．‎ 将①②两式代入上式得16﹣8×+5×=0，‎ 解之得符合．…（12分）‎ ‎【点评】本题考查了直线与圆相交问题转化为方程联立得到△＞0及根与系数关系、向量垂直与数量积的关系等基础知识与基本技能方法，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）已知圆C的圆心在直线3x﹣y=0上且在第一象限，圆C与x相切，且被直线x﹣y=0截得的弦长为2．‎ ‎（1）求圆C的方程；‎ ‎（2）若P（x，y）是圆C上的点，满足x+y﹣m≤0恒成立，求m的范围．‎ ‎【分析】（1）由圆心在直线x﹣3y=0上，设出圆心坐标，再根据圆与y轴相切，得到圆心到y轴的距离即圆心横坐标的绝对值等于圆的半径，表示出半径r，然后过圆心作出弦的垂线，根据垂径定理得到垂足为弦的中点，利用点到直线的距离公式求出圆心到直线y=x的距离d，由弦长的一半，圆的半径r及表示出的d利用勾股定理列出关于t的方程，求出方程的解得到t的值，从而得到圆心坐标和半径，根据圆心和半径写出圆的方程即可；‎ ‎（2）由题知，m≥（x+y）max．利用圆的参数方程，结合辅助角公式化简，即可得出结论．‎ ‎【解答】解：（1）设圆心为（3t，t），半径为r=|3t|，‎ 则圆心到直线y=x的距离 ，‎ 而 =r2﹣d2，‎ ‎∴9t2﹣2t2=7，‎ ‎∴t=±1，‎ ‎∴（x﹣3）2+（y﹣1）2=9或（x+3）2+（y+1）2=9．‎ ‎∴圆心在第一象限的圆是（x﹣3）2+（y﹣1）2=9；‎ ‎（2）由题知，m≥（x+y）max．‎ 设x=1+3cosθ，y=3+3sinθ，‎ 则x+y=（1+3cosθ）+（3+3sinθ）=6sin（θ+）+3+‎ ‎∴6sin（θ+）=1时，（x+y）max=9+‎ ‎∴m≥9+．‎ ‎【点评】本题综合考查了垂径定理，勾股定理及点到直线的距离公式，考查圆的参数方程．根据题意设出圆心坐标，找出圆的半径是解本题的关键．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）已知椭圆的离心率为，它的一个焦点到短轴顶点的距离为2，动直线l：y=kx+m交椭圆E于A、B两点，设直线OA、OB的斜率都存在，且．‎ ‎（1）求椭圆E的方程；‎ ‎（2）求证：2m2=4k2+3；‎ ‎（3）求|AB|的最大值．‎ ‎【分析】（1）由题意可得：，a=2，a2=b2+c2，解出即可得出．‎ ‎（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），直线方程与椭圆方程联立化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，由．可得=﹣，可得3x1•x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，化为：（3+4k2）x1•x2+4km（x1+x2）+4m2=0，把根与系数的关系代入即可证明．‎ ‎（3）由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，可得k∈R．|AB|==，即可得出．‎ ‎【解答】（1）解：由题意可得：，a=2，a2=b2+c2，解得a=2，c=1，b2=3．‎ ‎∴椭圆E的方程为=1．‎ ‎（2）证明：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 联立，化为：（3+4k2）x2+8kmx+4m2﹣12=0，‎ ‎△＞0，∴x1+x2=，x1•x2=，‎ ‎∵．‎ ‎∴=﹣，即3x1•x2+4y1y2=0，‎ ‎∴3x1•x2+4（kx1+m）（kx2+m）=0，‎ 化为：（3+4k2）x1•x2+4km（x1+x2）+4m2=0，‎ ‎∴（3+4k2）+4km•+4m2=0，‎ 化为：2m2=4k2+3．‎ ‎（3）解：由（2）可得：△=64k2m2﹣4（3+4k2）（4m2﹣12）＞0，‎ 化为：4k2+3＞m2，∴4k2+3，∴k∈R．‎ ‎|AB|=‎ ‎=‎ ‎=‎ ‎==∈．‎ 当且仅当k=0时，|AB|的最大值2．‎ ‎【点评】本题考查了椭圆的定义及其标准方程、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系、弦长公式、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于难题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）已知直线l：y=kx+1（k≠0）与椭圆3x2+y2=a相交于A、B两个不同的点，记l与y轴的交点为C．‎ ‎（Ⅰ）若k=1，且|AB|=，求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）若=2，求△AOB面积的最大值，及此时椭圆的方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）若k=1，联立直线和椭圆方程，结合相交弦的弦长公式以及|AB|=，即可求实数a的值；‎ ‎（Ⅱ）根据=2关系，结合一元二次方程根与系数之间的关系，以及基本不等式进行求解即可．‎ ‎【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎（Ⅰ）由得4x2+2x+1﹣a=0，‎ 则x1+x2=，x1x2=，‎ 则|AB|==，解得a=2．‎ ‎（Ⅱ）由，得（3+k2）x2+2kx+1﹣a=0，‎ 则x1+x2=﹣，x1x2=，‎ 由=2得（﹣x1，1﹣y1）=2（x2，y2﹣1），‎ 解得x1=﹣2x2，代入上式得：‎ x1+x2=﹣x2=﹣，则x2=，‎ ‎==，‎ 当且仅当k2=3时取等号，此时x2=，x1x2=﹣2x22=﹣2×，‎ 又x1x2==，‎ 则=﹣，解得a=5．‎ 所以，△AOB面积的最大值为，此时椭圆的方程为3x2+y2=5．‎ ‎【点评】本题主要考查椭圆方程的求解，利用直线方程和椭圆方程构造方程组，转化为根与系数之间的关系是解决本题的关键．‎ ‎　‎