2018届高三数学一轮复习： 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

2018届高三数学一轮复习： 第3章 第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式

第五节　两角和与差的正弦、余弦和正切公式 ‎ [考纲传真]　1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式.2.会用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式.3.会用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系.4.能运用上述公式进行简单的三角恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆)．‎ ‎1．两角和与差的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin(α±β)＝sin αcos β±cos αsin β；‎ ‎(2)cos(α±β)＝cos αcos β∓sin αsin β；‎ ‎(3)tan(α±β)＝.‎ ‎2．二倍角的正弦、余弦、正切公式 ‎(1)sin 2α＝2sin αcos α；‎ ‎(2)cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；‎ ‎(3)tan 2α＝.‎ ‎3．有关公式的变形和逆用 ‎(1)公式T(α±β)的变形：‎ ‎①tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)；‎ ‎②tan α－tan β＝tan(α－β)(1＋tan αtan β)．‎ ‎(2)公式C2α的变形：‎ ‎①sin2α＝(1－cos 2α)；‎ ‎②cos2α＝(1＋cos 2α)．‎ ‎(3)公式的逆用：‎ ‎①1±sin 2α＝(sin α±cos α)2；‎ ‎②sin α±cos α＝sin.‎ ‎4．辅助角公式 asin α＋bcos α＝sin(α＋φ).‎ ‎1．(思考辨析)判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”)‎ ‎(1)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立．(　　)‎ ‎(2)在锐角△ABC中，sin Asin B和cos Acos B大小不确定．(　　)‎ ‎(3)公式tan(α＋β)＝可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立．(　　)‎ ‎(4)公式asin x＋bcos x＝sin(x＋φ)中φ的取值与a，b的值无关．(　　)‎ ‎[答案]　(1)√　(2)×　(3)×　(4)×‎ ‎2．(教材改编)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝(　　)‎ A．－　　 B.　‎ C.－　　 D. D　[sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin(20°＋10°)＝sin 30°＝，故选D.]‎ ‎3．(2016·全国卷Ⅲ)若tan θ＝－，则cos 2θ＝(　　)‎ A．－ B.－ C. D. D　[∵cos 2θ＝＝.‎ 又∵tan θ＝－，∴cos 2θ＝＝.]‎ ‎4．(2017·云南二次统一检测)函数 f(x)＝sin x＋cos x的最小值为_______．‎ ‎－2　[函数f(x)＝2sin的最小值是－2.]‎ ‎5．若锐角α，β满足(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，则α＋β＝________.‎ 　[由(1＋tan α)(1＋tan β)＝4，‎ 可得＝，即tan(α＋β)＝.‎ 又α＋β∈(0，π)，∴α＋β＝.]‎ 三角函数式的化简 ‎　(1)化简：＝________.‎ ‎(2)化简：.‎ ‎(1)2cos α　[原式＝＝2cos α.]‎ ‎(2)原式＝ ‎＝＝＝cos 2x.‎ ‎[规律方法]　1.三角函数式的化简要遵循“三看”原则 ‎(1)一看“角”，通过看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式．‎ ‎(2)二看“函数名称”，看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，最常见的是“切化弦”．‎ ‎(3)三看“结构特征”，分析结构特征，找到变形的方向．‎ ‎2．三角函数式化简的方法 弦切互化，异名化同名，异角化同角，降幂或升幂．‎ ‎[变式训练1]　化简：sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－cos 2α·cos 2β＝________.‎ 　[法一：原式＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－·(2cos2α－1)·(2cos2β－1)‎ ‎＝sin2α·sin2β＋cos2α·cos2β－(4cos2α·cos2β－2cos2α－2cos2β＋1)‎ ‎＝sin2α·sin2β－cos2α·cos2β＋cos2α＋cos2β－ ‎＝sin2α·sin2β＋cos2α·sin2β＋cos2β－ ‎＝sin2β＋cos2β－＝1－＝.‎ 法二：原式＝·＋·－cos 2α·cos 2β ‎＝(1＋cos 2α·cos 2β－cos 2α－cos 2β)＋(1＋cos 2α·cos 2β＋cos 2α＋cos 2β)－‎ eq f(1,2)cos 2α·cos 2β＝.]‎ 三角函数式的求值 ‎☞角度1　给角求值 ‎　(1)＝(　　)‎ A. B. C. D. ‎(2)sin 50°(1＋tan 10°)＝________.‎ ‎(1)C　(2)1　[(1)原式＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)sin 50°(1＋tan 10°)‎ ‎＝sin 50° ‎＝sin 50°× ‎＝sin 50°× ‎＝＝＝＝1.]‎ ‎☞角度2　给值求值 ‎　(1)(2016·全国卷Ⅱ)若cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ A. B. C．－ D.－ ‎(2)(2016·安徽十校联考)已知α为锐角，且7sin α＝2cos 2α，则sin＝‎ ‎(　　)‎ A. B. C. D. ‎(1)D　(2)A　[(1)∵cos＝，‎ ‎∴sin 2α＝cos＝cos 2＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ ‎(2)由7sin α＝2cos 2α得7sin α＝2(1－2sin2α)，即4sin2α＋7sin α－2＝0，∴sin α＝－2(舍去)或sin α＝.∵α为锐角，∴cos α＝，∴sin＝×＋×＝，故选A.]‎ ‎☞角度3　给值求角 ‎　(2014·全国卷Ⅰ)设α∈，β∈，且tan α＝，则 ‎(　　)‎ A．3α－β＝ B.2α－β＝ C．3α＋β＝ D.2α＋β＝ B　[法一：由tan α＝得＝，‎ 即sin αcos β＝cos α＋cos αsin β，‎ ‎∴sin(α－β)＝cos α＝sin.‎ ‎∵α∈，β∈，‎ ‎∴α－β∈，－α∈，‎ 由sin(α－β)＝sin，得α－β＝－α，‎ ‎∴2α－β＝.‎ 法二：tan α＝＝ ‎＝ ‎＝cot ‎＝tan ‎＝tan，‎ ‎∴α＝kπ＋，k∈Z，‎ ‎∴2α－β＝2kπ＋，k∈Z.‎ 当k＝0时，满足2α－β＝，故选B.]‎ ‎[规律方法]　1.“给角求值”中一般所给出的角都是非特殊角，应仔细观察非特殊角与特殊角之间的关系，结合公式将非特殊角的三角函数转化为特殊角的三角函数求解．‎ ‎2．“给值求值”：给出某些角的三角函数式的值，求另外一些角的三角函数值，解题关键在于“变角”，使其角相同或具有某种关系．‎ ‎3．“给值求角”：实质是转化为“给值求值”，先求角的某一函数值，再求角的范围，最后确定角.‎ 三角变换的简单应用 ‎　已知函数f(x)＝sin2x－sin2，x∈R.‎ ‎ 【导学号：01772124】‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期；‎ ‎(2)求f(x)在区间上的最大值和最小值．‎ ‎[解]　(1)由已知，有 f(x)＝－ ‎＝－cos 2x ‎＝sin 2x－cos 2x＝sin.‎ 所以f(x)的最小正周期T＝＝π.5分 ‎(2)因为f(x)在区间上是减函数，‎ 在区间上是增函数，‎ 且f＝－，f＝－，f＝，‎ 所以f(x)在区间上的最大值为，最小值为－.12分 ‎[规律方法]　1.进行三角恒等变换要抓住：变角、变函数名称、变结构，尤其是角之间的关系；注意公式的逆用和变形使用．‎ ‎2．把形如y＝asin x＋bcos x化为y＝sin(x＋φ)，可进一步研究函数的周期、单调性、最值与对称性．‎ ‎[变式训练2]　(1)(2016·山东高考)函数f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)的最小正周期是(　　)‎ A. B.π C. D.2π ‎(2)(2014·全国卷Ⅱ)函数f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x的最大值为________．‎ ‎(1)B　(2)1　[(1)法一：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)‎ ‎＝4 ‎＝4sincos ＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.‎ 法二：∵f(x)＝(sin x＋cos x)(cos x－sin x)‎ ‎＝3sin xcos x＋cos2x－sin2x－sin xcos x ‎＝sin 2x＋cos 2x ‎＝2sin，‎ ‎∴T＝＝π.故选B.‎ ‎(2)f(x)＝sin(x＋φ)－2sin φcos x ‎＝sin xcos φ＋cos xsin φ－2sin φcos x ‎＝sin xcos φ－cos xsin φ＝sin(x－φ)．‎ ‎∴f(x)max＝1.]‎ ‎ [思想与方法]‎ ‎　三角恒等变换的三种变换角度 ‎(1)变角：设法沟通所求角与已知角之间的关系．常用的拆角、拼角方法是：2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β，β＝－，＝－.‎ ‎(2)变名：尽可能减少函数名称，其方法是“弦切互化”，“升幂与降幂”“‎1”‎的代换等．‎ ‎(3)变式：对式子变形要尽可能有理化、整式化、降低次数等．‎ ‎[易错与防范]‎ ‎1．三角函数是定义域到值域的多对一的映射，时刻关注角的范围是防止增解的有效措施．求角的某一三角函数值时，应选择在该范围内是单调函数，若已知正切函数值，则选正切函数；否则，若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为，选正弦较好．‎ ‎2．计算形如y＝sin(ωx＋φ)，x∈[a，b]形式的函数最值时，不要将ωx＋φ 的范围和x的范围混淆．‎