2018届高三数学一轮复习： 热点探究课6 概率与统计中的高考热点问题

2018届高三数学一轮复习： 热点探究课6 概率与统计中的高考热点问题

热点探究课(六)　‎ 概率与统计中的高考热点问题 ‎[命题解读]　1.概率与统计是高考中相对独立的一个内容，处理问题的方式、方法体现了较高的思维含量．该类问题以应用题为载体，注重考查学生的应用意识及阅读理解能力、分类讨论与化归转化能力.2.概率问题的核心是概率计算，其中事件的互斥、对立、独立是概率计算的核心，排列组合是进行概率计算的工具，统计问题的核心是样本数据的获得及分析方法，重点是频率分布直方图、茎叶图和样本的数字特征，但近两年全国卷突出回归分析的考查.3.离散型随机变量的分布列及其均值的考查是历年高考的重点，难度多为中低档类题目，特别是与统计内容渗透，背景新颖，充分体现了概率与统计的工具性和交汇性．‎ 热点1　统计与统计案例 以实际生活中的事例为背景，通过对相关数据的统计分析、抽象概括，作出估计、判断，常与抽样方法、茎叶图、频率分布直方图、概率等知识交汇考查，考查学生的数据处理能力．‎ ‎　近几年出现各种食品问题，食品添加剂会引起血脂增高、血压增高、血糖增高等疾病．为了解“三高”疾病是否与性别有关，医院随机对入院的60人进行了问卷调查，得到了如下的列联表： ‎ ‎【导学号：01772430】‎ 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 总计 男 ‎6‎ ‎30‎ 女 总计 ‎36‎ ‎(1)请将如图的列联表补充完整；若用分层抽样的方法在患“三高”疾病的人群中抽9人，其中女性抽多少人？‎ ‎(2)为了研究“三高”疾病是否与性别有关，请计算出统计量K2的观测值k，并说明是否可以在犯错误的概率不超过0.005的前提下认为“三高”疾病与性别有关．‎ 下面的临界值表供参考：‎ P(K2≥k0)‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ k0‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.828‎ ‎(参考公式K2＝，其中n＝a＋b＋c＋d)‎ ‎[解]　(1)完善补充列联表如下：‎ 患“三高”疾病 不患“三高”疾病 总计 男 ‎24‎ ‎6‎ ‎30‎ 女 ‎12‎ ‎18‎ ‎30‎ 总计 ‎36‎ ‎24‎ ‎60‎ ‎4分 在患“三高”疾病人群中抽9人，则抽取比例为＝，‎ 所以女性应该抽取12×＝3(人).6分 ‎(2)根据2×2列联表，则K2的观测值 k＝＝10＞7.879.10分 所以在允许犯错误的概率不超过0.005的前提下认为是否患“三高”疾病与性别有关.12分 ‎[规律方法]　1.将抽样方法与独立性检验交汇，背景新颖，求解的关键是抓住统计图表特征，完善样本数据．‎ ‎2．(1)本题常见的错误是对独立性检验思想理解不深刻，作出无关错误判定．(2)进行独立性检验时，提出的假设是两者无关．‎ ‎[对点训练1]　柴静《穹顶之下》的播出，让大家对雾霾天气的危害有了更进一步的认识，对于雾霾天气的研究也渐渐活跃起来，某研究机构对春节燃放烟花爆竹的天数x与雾霾天数y进行统计分析，得出下表数据：‎ x ‎4‎ ‎5‎ ‎7‎ ‎8‎ y ‎2‎ ‎3‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎(1)请画出上表数据的散点图；‎ ‎(2)请根据上表提供的数据，用最小二乘法求出y关于x的线性回归方程＝x＋‎ ；‎ ‎(3)试根据(2)求出的线性回归方程，预测燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数．‎ ‎[解]　(1)散点图如图所示．‎ ‎4分 ‎(2)xiyi＝4×2＋5×3＋7×5＋8×6＝106，‎ ＝＝6，＝＝4，‎ x＝42＋52＋72＋82＝154，6分 则＝＝＝1，‎ ＝－＝4－6＝－2，‎ 故线性回归方程为＝x＋＝x－2.8分 ‎(3)由回归直线方程可以预测，燃放烟花爆竹的天数为9的雾霾天数为7.12分 热点2　常见概率模型的概率 几何概型、古典概型、相互独立事件与互斥事件的概率是高考的热点，几何概型主要以客观题进行考查，求解的关键在于找准测度(面积、体积或长度)；相互独立事件，互斥事件常作为解答题的一问考查，也是进一步求分布列、均值与方差的基础，求解该类问题要正确理解题意，准确判定概率模型，恰当选择概率公式．‎ ‎　近年来，某市为促进生活垃圾的分类处理，将生活垃圾分为厨余垃圾、可回收物和其他垃圾三类，并分别设置了相应的垃圾箱，为调查居民生活垃圾分类投放情况，现随机抽取了该市三类垃圾箱中总计1 000吨生活垃圾，数据统计如下(单位：吨)：‎ ‎“厨余垃圾”箱 ‎“可回收物”箱 ‎“其他垃圾”箱 厨余垃圾 ‎400‎ ‎100‎ ‎100‎ 可回收物 ‎30‎ ‎240‎ ‎30‎ 其他垃圾 ‎20‎ ‎20‎ ‎60‎ ‎(1)试估计厨余垃圾投放正确的概率；‎ ‎(2)试估计生活垃圾投放错误的概率．‎ ‎ 【导学号：01772431】‎ ‎[解]　(1)厨余垃圾投放正确的概率约为 ＝＝.‎ ‎(2)设生活垃圾投放错误为事件A，则事件表示生活垃圾投放正确．事件的概率约为“厨余垃圾”箱里厨余垃圾量、“可回收物”箱里可回收物量与“其他垃圾”箱里其他垃圾量的总和除以生活垃圾总量，即P()约为＝0.7，所以P(A)约为1－ 0.7＝0.3.‎ ‎[规律方法]　1.本题求解的关键是从图表中提炼数据信息，理解第(1)，第(2)问的含义．‎ ‎2．第(2)问可直接求解，也可间接求解，即求垃圾投放正确的概率，然后通过1－P()求解．‎ ‎[对点训练2‎ ‎]　现有4个人去参加某娱乐活动，该活动有甲、乙两个游戏可供参加者选择．为增加趣味性，约定：每个人通过掷一枚质地均匀的骰子决定自己去参加哪个游戏，掷出点数为1或2的人去参加甲游戏，掷出点数大于2的人去参加乙游戏．‎ ‎(1)求这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率；‎ ‎(2)求这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数的概率；‎ ‎(3)用X，Y分别表示这4个人中去参加甲、乙游戏的人数，记ξ＝|X－Y|，求随机变量ξ的分布列．‎ ‎[解]　依题意，这4个人中，每个人去参加甲游戏的概率为，去参加乙游戏的概率为.2分 设“这4个人中恰有i人去参加甲游戏”为事件Ai(i＝0,1,2,3,4)．则P(Ai)＝Ci4－i.4分 ‎(1)这4个人中恰有2人去参加甲游戏的概率 P(A2)＝C22＝.6分 ‎(2)设“这4个人中去参加甲游戏的人数大于去参加乙游戏的人数”为事件B，则B＝A3＋A4，且A3与A4互斥，7分 所以P(B)＝P(A3＋A4)＝P(A3)＋P(A4)‎ ‎ ＝C3·＋C4＝.8分 ‎(3)依题设，ξ的所有可能取值为0,2,4.‎ 且A1与A3互斥，A0与A4互斥．‎ 则P(ξ＝0)＝P(A2)＝，‎ P(ξ＝2)＝P(A1＋A3)＝P(A1)＋P(A3)‎ ‎ ＝C1·3＋C3×＝，‎ P(ξ＝4)＝P(A0＋A4)＝P(A0)＋P(A4)‎ ‎ ＝C4＋C4＝.10分 所以ξ的分布列是 ξ ‎0‎ ‎2‎ ‎4‎ P ‎12分 热点3　离散型随机变量的均值与方差(答题模板)‎ 离散型随机变量及其分布列、均值与方差及应用是高考的一大热点，每年均有解答题，属于中档题．复习中应强化应用题的理解与掌握，弄清随机变量的所有取值是正确列随机变量分布列和求均值与方差的关键，对概率的确定与转化是解题的基础，准确计算是解题的核心，在备考中应强化解答题的规范性训练．‎ ‎　(本小题满分12分)(2017·河北名校联考)甲、乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立．‎ ‎(1)求甲在4局以内(含4局)赢得比赛的概率；‎ ‎(2)记X为比赛决出胜负时的总局数，求X的分布列和均值(数学期望)．‎ ‎[规范解答]　用A表示“甲在4局以内(含4局)赢得比赛”，Ak表示“第k局甲获胜”，Bk表示“第k局乙获胜”，P(Ak)＝，P(Bk)＝，k＝1,2,3,4,5.2分 ‎(1)P(A)＝P(A‎1A2)＋P(B‎1A2A3)＋P(A1B‎2A3A4)＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)‎ ‎＝2＋2＋2＝.4分 ‎(2)X的可能取值为2,3,4,5，5分 P(X＝2)＝P(A‎1A2)＋P(B1B2)‎ ‎＝P(A1)P(A2)＋P(B1)P(B2)‎ ‎＝2＋2＝，7分 P(X＝3)＝P(B‎1A2A3)＋P(A1B2B3)＝‎ P(B1)P(A2)P(A3)＋P(A1)P(B2)P(B3)＝‎ 2＋2＝，8分 P(X＝4)＝P(A1B‎2A3A4)＋P(B‎1A2B3B4)＝‎ P(A1)P(B2)P(A3)P(A4)＋P(B1)P(A2)P(B3)P(B4)＝‎ 2＋2＝，10分 P(X＝5)＝1－P(X＝2)－P(X＝3)－P(X＝4)＝.‎ 故X的分布列为 X ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ P ‎11分 E(X)＝2×＋3×＋4×＋5×＝.12分 ‎[答题模板]　求离散型随机变量的均值和方差问题的一般步骤：‎ 第一步：确定随机变量的所有可能值．‎ 第二步：求第一个可能值所对应的概率．‎ 第三步：列出离散型随机变量的分布列．‎ 第四步：求均值和方差．‎ 第五步：反思回顾．查看关键点、易错点和答题规范．‎ ‎[温馨提示]　1.(1)求解的关键在于理解“甲在4局以内”赢得比赛的含义，进而将事件转化为“三个互斥事件”的概率和．‎ ‎(2)第(2)问中利用对立事件求P(X＝5)的概率．‎ ‎2．步骤要规范，善于进行文字符号转化．‎ 如第(1)问，引进字母表示事件，或用文字叙述正确，得2分；把事件拆分成A＝A1A2＋B1A2A3＋A1B2A3A4，就得2分，计算概率值正确，得1分．第(2)问求出X的四个值的概率，每对一个得1分，列出随机变量X的分布列得1分．‎ ‎3．解题过程中计算准确，是得满分的根本保证．‎ 如第(1)问、第(2)问中概率值的计算要正确，否则不得分，分布列中计算四个概率的和是否为1，若和不为1，就有概率值出现错误了，不得分．‎ 图1‎ ‎[对点训练3]　某网站用“10分制”调查一社区人们的治安满意度．现从调查人群中随机抽取16名，如图1茎叶图记录了他们的治安满意度分数(以小数点前的一位数字为茎，小数点后的一位数字为叶)．‎ ‎(1)若治安满意度不低于9.5分，则称该人的治安满意度为“极安全”．求从这16人中随机选取3人，至多有1人是“极安全”的概率；‎ ‎(2)以这16人的样本数据来估计整个社区的总体数据，若从该社区(人数很多)中任选3人，记X表示抽到“极安全”的人数，求X的分布列、均值与方差．‎ ‎ 【导学号：01772432】‎ ‎[解]　(1)设Ai表示所取3人中有i个人是“极安全”，且i＝0,1,2,3.至多有1人是“极安全”记为事件A，则A＝A0＋A1，2分 所以P(A)＝P(A0)＋P(A1)＝＋＝.4分 ‎(2)由茎叶图可知，16人中任取1人是“极安全”的概率 P＝＝，依题意，X～B，‎ 则P(X＝k)＝Ck3－k，k＝0,1,2,3.6分 所以P(X＝0)＝3＝，‎ P(X＝1)＝C××2＝，‎ P(X＝2)＝C×2×＝，P(X＝3)＝3＝.8分 X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎10分 E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ 或E(X)＝np＝.‎ D(X)＝np(1－p)＝3××＝.12分 热点4　概率与统计的综合应用 概率与统计作为考查考生应用意识的重要载体，已成为近几年高考的一大亮点和热点．主要依托点是统计图表，正确认识和使用这些图表是解决问题的关键，复习时要在这些图表上下功夫，把这些统计图表的含义弄清楚，在此基础上掌握好样本特征数的计数方法、各类概率的计算方法及均值与方差的运算．‎ ‎　(2017·济南调研)2016年底，某城市地铁交通建设项目已经基本完成，为了解市民对该项目的满意度，分别从不同地铁站点随机抽取若干市民对该项目进行评分(满分100分)，绘制如下频率分布直方图，并将分数从低到高分为四个等级：‎ 满意度评分 低于 ‎60分 ‎60分 到79分 ‎80分 到89分 不低 于90分 满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意 已知满意度等级为基本满意的有680人．‎ ‎(1)若市民的满意度评分相互独立，以满意度样本估计全市市民满意度．现从全市市民中随机抽取4人，求至少有2人非常满意的概率；‎ ‎(2)在等级为不满意市民中，老年人占.现从该等级市民中按年龄分层抽取15人了解不满意的原因，并从中选取3人担任整改督导员，记X为老年督导员的人数，求X的分布列及数学期望E(X)；‎ ‎(3)相关部门对项目进行验收，验收的硬性指标是：市民对该项目的满意指数不低于0.8，否则该项目需进行整改，根据你所学的统计知识，判断该项目能否通过验收，并说明理由. ‎ 【导学号：01772433】‎ 图2‎ ‎[解]　(1)由频率分布直方图可知 则10×(0.035＋a＋0.020＋0.014＋0.004＋0.002)＝1，所以a＝0.025，‎ 所以市民非常满意的概率为0.025×10＝.2分 又市民的满意度评分相互独立，‎ 故所求事件的概率P＝1－C04－C13＝1－＝.4分 ‎(2)按年龄分层抽样抽取15人进行座谈，则老年市民抽15×＝5人，‎ 从15人中选取3名整改督导员的所有可能情况为C，‎ 由题知X的可能取值为0,1,2,3，‎ P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，‎ P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝，6分 X分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝1.8分 ‎(3)由频率分布直方图，得 ‎(45×0.002＋55×0.004＋65×0.014＋75×0.02＋85×0.035＋95×0.025)×10＝80.7，‎ 所以估计市民满意度程度的平均得分为80.7.‎ 因此市民满意度指数为＝0.807＞0.8，‎ 所以该项目能够通过验收.12分 ‎[规律方法]　1.本题将频率分布直方图结合古典概型与均值，立意新颖、构思巧妙．考查学生的识图能力和数据处理能力．‎ ‎2．求解时注意两点：‎ ‎(1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率；‎ ‎(2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成，活用公式，本题X服从超几何分布，利用其概率公式代入计算．‎ ‎[对点训练4]　某市教育局为了了解高三学生体育达标情况，对全市高三学生进行了体能测试，经分析，全市学生体能测试成绩X服从正态分布N(80，σ2)(满分为100分)，已知P(X＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，现从该市高三学生中随机抽取三位同学．‎ ‎(1)求抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[80,85)，[85,95)，[95,100]各有一位同学的概率；‎ ‎(2)记抽到的三位同学该次体能测试成绩在区间[75,85]的人数为ξ，求随机变量ξ的分布列和均值．‎ ‎[解]　(1)由X～N(80，σ2)，知P(x≤80)＝.2分 又P(x＜75)＝0.3，P(X≥95)＝0.1，‎ 则P(80≤x＜85)＝P(75≤x≤80)＝P(x≤80)－P(x＜75)＝‎0.2.3‎分 P(85≤x＜95)＝P(x＞85)－P(x≥95)＝P(x＜75)－P(x≥95)＝‎0.2.4‎分 故所求事件的概率P＝0.2×0.2×0.1·A＝‎0.024.5‎分 ‎(2)P(75≤X≤85)＝1－2P(X＜75)＝0.4，‎ 所以ξ服从二项分布B(3,0.4)，6分 P(ξ＝0)＝0.63＝0.216，‎ P(ξ＝1)＝C×0.4×0.62＝0.432，‎ P(ξ＝2)＝C×0.42×0.6＝0.288，‎ P(ξ＝3)＝0.43＝0.064，8分 所以随机变量ξ的分布列为 ξ ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P ‎0.216‎ ‎0.432‎ ‎0.288‎ ‎0.064‎ E(ξ)＝3×0.4＝‎1.2.12‎分