2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）

‎2019-2020学年山西省高二上学期期末考试数学（理）试题 一、单选题 ‎1．命题“，”的否定是（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎【答案】C ‎【解析】否定命题的结论，同时把存在量词改为全称量词．‎ ‎【详解】‎ 命题“，”的否定是“，”．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题的否定，命题的否定除结论否定外，存在量词与全称量词需互换．‎ ‎2．设直线的方向向量为，平面的法向量为，则使成立的是（ ）‎ A．，‎ B．，‎ C．，‎ D．，‎ ‎【答案】B ‎【解析】验证哪个选项中直线的方向向量与平面的法向量平行，则直线与平面垂直．‎ ‎【详解】‎ 计算，A,C,D中都是=0，只有B中且，即，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用向量法判断直线与平面垂直．直线的方向向量与平面的法向量平行时，直线与平面垂直，直线的方向向量与平面的法向量垂直时，如果直线不在平面内，则直线与平面平行．‎ ‎3．已知直线过点，且在轴上的截距为，则直线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】截距为3，说明直线过点(0,3)，由此求得直线斜率，由斜截式写出直线方程并整理为一般式．‎ ‎【详解】‎ 由题意，直线l过点(0,3)，∴其斜率为，直线方程为y=-2x+3，即2x+y-3=0，‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程，求直线方程可先求出直线斜率，然后由斜截式或点斜式写出直线方程，再化为一般式．‎ ‎4．刘徽注《九章商功》曰:“当今大司农斛圆径一尺三寸五分五厘，深一尺，积一千四百四十一寸十分之三.王莽铜斛于今尺为深九寸五分五厘，径一尺三寸六分八厘七毫.以徽术计之，于今斛为容九斗七升四合有奇.”其中的“斛、斗、升”都是中国古代量器名，也是容量单位，并且形状各异，常见的斗叫“方斗”，“方斗”的形状是一种上大下小的正四棱台（两个底面都是正方形的四棱台）,如果一个方斗的三视图如图所示，则其容积为（ ）‎ 正视图 侧视图 俯视图 A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由三视图观察尺寸，由棱台体积公式计算体积．‎ ‎【详解】‎ 由三视图，棱台体积为．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查棱台的体积，掌握台体体积公式是解题基础．‎ ‎5．抛物线的准线经过双曲线的左焦点，则抛物线的焦点坐标为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】求出双曲线的左焦点坐标，从而求得抛物线的参数p，得抛物线焦点坐标．‎ ‎【详解】‎ 双曲线中，，∴双曲线的左焦点为，右焦点就是抛物线的焦点．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求抛物线的焦点坐标，考查双曲线的几何性质．属于基础题．‎ ‎6．设，则“”是“直线与直线平行”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】先求出两直线平行时的a值，然后再根据充分必要条件的概念判断．‎ ‎【详解】‎ 直线与直线平行，则，，‎ 时，两直线方程分别为，平行，‎ 时，两直线方程分别为，平行，‎ ‎∴直线与直线平行的充要条件是，‎ 则“”是“直线与直线平行”的充分不必要条件．‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查充分必要条件的判断，判断充分必要条件一种是证明两个命题的真假，一种是求出命题成立的参数范围，利用集合的包含关系判断充分必要条件．‎ ‎7．设，是两条不同的直线，、、是三个不同的平面，下面四个命题中正确的是（ ）‎ A．若，，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，，则 ‎【答案】D ‎【解析】根据面面垂直的性质判断A，B，由线面平行的性质判断C，由面面平行的性质判断D．‎ ‎【详解】‎ 若，，与也可以垂直，如正方体有公共点的三个面，A错；‎ 若，，但不与的交线垂直时，不与垂直，还可以平行，B错；‎ 若，， m与n可能异面，可能平行，C错；‎ 若，，，则，这是面面平行的性质定理，D正确．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查空间线面间的位置关系，掌握面面垂直的性质定理，线面平行的性质定理，面面平行的性质定理是解题基础．‎ ‎8．正方体中，异面直线和所成角为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可得异面直线所成的角，在三角形中求解即可．‎ ‎【详解】‎ 正方体中，，∴是异面直线和所成的角，而是正三角形，∴，∴异面直线和所成的角是．‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查异面直线所成的角，解题时需先作出这个角（必须证明），然后解三角形得结论．‎ ‎9．若圆：关于直线对称，，则与间的距离是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由圆心在直线l上求得m，然后由平行间距离公式求得距离．‎ ‎【详解】‎ 由题意，圆关于直线对称，则，，即l方程为，‎ 所求距离为．‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查两平行线间的距离，解题时需由圆关于直线对称，即直线过圆心求出参数m，再则平行间距离公式计算．‎ ‎10．《九章算术》中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌臑.在鳌臑中，平面，，，鳌臑的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】四个面都是直角三角形，由得，然后证明，这样PC中点O，就是外接球球心，易求得其半径，得面积．‎ ‎【详解】‎ 四棱锥的四个面都是直角三角形，‎ ‎∵，∴，又平面，∴AB是PB在平面ABC上的射影，，∴，取PC中点O，则O是外接球球心．‎ 由得，又，则，，‎ 所以球表面积为．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上．‎ ‎11．已知椭圆：的左顶点为，上顶点为，右焦点为，，则椭圆的离心率为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】表示出各点坐标，由得出的等式，变形后可求离心率．‎ ‎【详解】‎ 由题意，则，‎ ‎∴，，，‎ ‎∴（舍去）．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的离心率，解题关键是找到一个关于的等量关系．本题中由已知可得．‎ ‎12．已知双曲线的左、右焦点分别为，，离心率为，过左焦点引渐近线的垂线，垂足为，的面积是，则双曲线的方程为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】离心率为可得，与渐近线垂直，则有，从而，由的面积是，可得，这样可求得，得双曲线方程．‎ ‎【详解】‎ 如图，渐近线方程是，即，由于且，‎ 所以，所以，‎ ‎，，又，即，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ 双曲线方程为：．‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查双曲线的标准方程，按照题意列出关于的两个等量关系即可求．题中如果掌握双曲线的性质，求解更加方便：双曲线的焦点到渐近线的距离为.‎ 二、填空题 ‎13．以为圆心，且与圆外切的圆的标准方程是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由圆心距离等于两圆半径之和求出所求圆的半径．‎ ‎【详解】‎ 设所求圆半径为，则由题意，，‎ 所以所求圆方程为：．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求圆的标准方程，解题关键是掌握两圆外切的条件，由此求出圆半径．‎ ‎14．倾斜角是，且过点的直线交圆于，两点，则直线的一般式方程__________，__________.‎ ‎【答案】 ‎ ‎【解析】由点斜式写出直线方程整理成一般式即可，求出圆心到直线的距离，由垂径定理求弦长．‎ ‎【详解】‎ 由题意直线l的方程为：，即，‎ 圆标准方程为：，圆心为，半径为，‎ 圆心到直线l的距离为，‎ ‎∴．‎ 故答案为：；．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查直线方程的一般式，考查直线与圆相交弦长问题．求直线与圆相交弦长一种结合垂径定理计算．‎ ‎15．正四棱锥中，，，则与平面所成角的正弦值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，于是有PB⊥平面ACE，作交延长线于，可得平面PBC，从而是直线PA与平面PBC所成的角．在中计算出这个角的正弦值即可．‎ ‎【详解】‎ 在正四棱锥中，取BC中点M，连接PM，则PM⊥BC，，‎ 作AE⊥PB，连接CE，则CE⊥PB，，‎ 由得．∴，‎ ‎，由，得是钝角，‎ 作交延长线于，连接PH，‎ 由CE⊥PB，AE⊥PB，得PB⊥平面ACE，平面ACE，∴PB⊥AH，，∴平面PBC，∴是直线PA与平面PBC所成的角．‎ ‎△ACE中，取AC中点O，连接EO，则EO⊥AC，且，‎ ‎，‎ 在中，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求直线与平面所成的角，解题关键是作出直线与平面所成的角，就是所谓的一作二证三计算．作图证明计算缺一不可．‎ ‎16．给出下列命题：‎ ‎（1）直线与线段相交，其中，，则的取值范围是；‎ ‎（2）点关于直线的对称点为，则的坐标为；‎ ‎（3）圆上恰有个点到直线的距离为；‎ ‎（4）直线与抛物线交于，两点，则以为直径的圆恰好与直线相切.‎ 其中正确的命题有_________.（把所有正确的命题的序号都填上）‎ ‎【答案】（2）（3）（4）‎ ‎【解析】根据两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系对各个命题进行判断．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由于直线与线段AB有公共点，因此k的范围是，（1）错；‎ ‎（2）的中点坐标为，，即中点在直线上，又，直线的斜率是2，相乘等于，与直线垂直，（2）正确；‎ ‎（3）圆心C到直线l的距离为1，圆半径为2，与直线l距离为1的两条直线一条与圆相交，一条与圆相切，因此圆上有个点到直线的距离为，（3）正确；‎ ‎（4）直线过抛物线的焦点F(1,0)，直线是抛物线的准线，设，由抛物线定义得，的中点到直线的距离为，∴以为直径的圆恰好与直线相切.（4）正确．‎ 故答案为：（2）（3）（4）．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查命题真假的判断，考查两直线相交，点关于直线对称，直线与圆的位置关系，直线与抛物线的位置关系等知识，在求直线与线段有公共点时，要研究斜率不存在的直线是否与线段有公共点，以确定直线斜率范围是两斜率之间，还是两斜率之外．‎ 三、解答题 ‎17．命题：直线与圆相交，命题方程表示焦点在轴上的椭圆.‎ ‎（1）若命题为真，求的取值范围；‎ ‎（2）若命题为真，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）由圆心到直线的距离小于半径求得为真时m的范围．‎ ‎（2）由方程表示焦点在x轴上椭圆求出m的范围，由p真且为真得结论．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）因为直线与圆相交，‎ 所以，‎ 解得，即的取值范围为.‎ ‎（2）椭圆焦点在轴上，所以 为真，真假.‎ 或.‎ 所以的取值范围为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查由复合命题的真假求参数取值范围，掌握复合命题的真值表是解题关键．‎ p q 真 真 真 真 假 真 假 假 真 假 假 真 假 真 真 假 假 假 假 真 ‎18．动点到的距离比到轴的距离大.‎ ‎（1）求动点的轨迹的方程；‎ ‎（2）过点作斜率为的直线交曲线于，两点，求的面积.‎ ‎【答案】（1）或（2）‎ ‎【解析】（1）题意转化为动点到的距离等于其到直线的距离，根据抛物线的定义可得轨迹方程，注意点P也可能在x轴负半轴上.‎ ‎（2）写出直线l方程，设交点为，，直线方程与抛物线方程联立消元可得x的二次方程，由韦达定理得,从而的，再由求出O到直线l的距离，由底乘高除以2得三角形面积．‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由题意可知动点到的距离等于其到直线的距离，‎ 由抛物线的定义可知动点的轨迹的方程为或.‎ ‎（2）设直线的方程为，‎ 设直线与曲线交于，，‎ 联立方程得 ‎，‎ ‎.‎ 点到直线的距离.‎ 所以.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查用抛物线定义求轨迹方程，考查抛物线的焦点弦的性质，在求轨迹方程时要注意点的轨迹不仅仅是抛物线，还含有一条射线，抛物线的焦点弦 中，，，则.‎ ‎19．如图，在四棱锥中，四边形是平行四边形，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若，，求四棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由及得，，从而有平面，于是可得面面垂直．‎ ‎（2）取的中点，连接，证明平面，同时说明底面是正方形，即可求体积．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）四边形是平行四边形，‎ ‎.‎ 又，即，，‎ ‎，‎ 平面，平面，‎ 从而平面.‎ 又平面，‎ 所以平面平面.‎ ‎（2）如图，取的中点，连接.‎ ‎，，，.‎ 又因为平面，平面，平面，‎ ‎，，‎ 四边形为正方形，‎ 又，‎ 平面，‎ ‎.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查面面垂直的证明，考查求棱锥的体积．证明面面垂直，一般要证线面垂直，而要证线面垂直，就是要证线线垂直，除了垂直以外，判定定理中还有其他条件也应满足才能得出结论．‎ ‎20．已知直线恒过定点，过点引圆的两条切线，设切点分别为，.‎ ‎（1）求直线的一般式方程；‎ ‎（2）求四边形的外接圆的标准方程.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ ‎【解析】（1）直线方程整理成a的多项式，关于a恒成立，由恒等式知识可得定点坐标，‎ 过圆外一点的圆的切线有两条，先考虑斜率不存在的直线是否是切线，然后再求斜率存在的切线方程，本题中知道定点是P(3,1)，直线x=3是一条切线，可知一切点为A(3,0)，由可求得AB的斜率，从而得直线AB的方程．不需求另一切点坐标．‎ ‎（2）由切线性质知PC是四边形的外接圆的直径，外接圆方程易求．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）直线，‎ 直线恒过定点.‎ 由题意可知直线是其中一条切线，且切点为.‎ ‎，，‎ 所以直线的方程为，即.‎ ‎（2）‎ ‎，‎ 所以四边形的外接圆时以为直径的圆，‎ 的中点坐标为，‎ 所以四边形的外接圆为 ‎【点睛】‎ 本题考查求直线与圆相切的切点弦所在直线方程，求圆的方程，求圆的方程方法就是确定圆心坐标和圆半径，写出圆标准方程．求直线方程就是求出直线斜率和直线所过的点，即可写出直线方程，本题直线AB方程可以由四边形的外接圆方程与已知圆方程相减可得．‎ ‎21．如图，已知三棱锥，平面平面，点，分别为、的中点，，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成角的大小.‎ ‎【答案】（1）证明见解析（2）‎ ‎【解析】（1）由中位线定理得，即可得线面平行；‎ ‎（2）建立解析中的空间直角坐标系，求出两平面的法向量，由法向量的夹角求得二面角．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为点，分别为，的中点，‎ 所以.‎ 平面，平面，‎ 平面.‎ ‎（2），，由勾股定理得.‎ ‎.，‎ 故.‎ 又平面平面，且平面平面，‎ 故平面.‎ 以为坐标原点，垂直于，的直线为轴，为轴正方向，为轴正方向建立如图所示的空间直角坐标系.‎ 则，，，，.‎ 故，.‎ 显然平面的法向量.‎ 设平面的法向量，‎ 则 令有故.‎ ‎.‎ ‎，‎ 平面与平面所成角为.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查证明线面平行，考查求二面角．证明线面平行根据线面平行的判定定理证明即可，而求二面角可以建立空间直角坐标系，用向量法求解．‎ ‎22．已知椭圆的左、右焦点分别为，，离心率为，过右焦点作直线交椭圆于，两点，的周长为，点.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设直线、的斜率，，请问是否为定值？若是定值，求出其定值；若不是，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）是定值,且为 ‎【解析】（1）由的周长为，得到，即.再由离心率求得，从而可得，得椭圆方程．‎ ‎（2）直线l斜率不存在时，，直线与轴不垂直时，设直线的方程为，，，由直线方程与椭圆方程联立消元，可得，计算，并代入可得．这样就得出结论．‎ ‎【详解】‎ ‎（1）由的周长为，得到，即.‎ 又因为，所以，‎ 故，‎ 所以椭圆的方程为.‎ ‎（2）当直线与轴不垂直时，‎ 设直线的方程为，，，‎ 把直线的方程代入，得，‎ 则，，‎ 因为，‎ 而 ‎.‎ 即．‎ 当直线与轴垂直时，，即，‎ 所以，即是定值.‎ ‎【点睛】‎ 本题考查求椭圆的标准方程，考查直线与椭圆相交问题中的定值问题．综合性较强，对学生的推理能力，运算求解能力要求较高，属于难题．在直线与椭圆相交问题中，采取“设而不求”的思想方法，即设直线的方程为，设交点，，由直线方程与椭圆方程联立消元，应用韦达定理可得，计算并代入求得结论．‎