湖北省十堰市2019届高三四月调研考试数学（理）试题 Word版含解析

湖北省十堰市2019届高三四月调研考试数学（理）试题 Word版含解析

www.ks5u.com ‎2019年湖北省十堰市高考数学模拟试卷（理科）（4月份）‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1.设i为虚数单位，则复数的共轭复数（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数的运算法则，分子分母同时乘以，得出，再利用共轭复数的定义即可得出。‎ ‎【详解】解：，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查了复数的运算法则、共轭复数的定义。若，，， ，在进行复数的除法运算时，分子分母同时应乘以分母的共轭复数。‎ ‎2.设集合，，则（　　）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，求出集合，进而计算与，分析选项即可得答案 ‎【详解】解：根据题意，，‎ 则 ‎，‎ 则A、C、D都错误，B正确；‎ - 19 -‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查集合的运用，关键是掌握集合交集、并集的定义，属于基础题．‎ ‎3.若夹角为的向量与满足，且向量为非零向量，则（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 可对的两边平方得出，再根据为非零向量且即可得出．‎ ‎【详解】解：∵；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∴；‎ ‎∵为非零向量；‎ ‎∴．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】考查向量的数量积的运算及计算公式，向量夹角的概念．‎ ‎4.若双曲线的一条渐近线与直线垂直，则该双曲线的离心率为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 渐近线与直线垂直，得、关系，再由双曲线基本量的平方关系，得出、的关系式，结合离心率的定义，可得该双曲线的离心率．‎ ‎【详解】∵双曲线的一条渐近线与直线垂直．‎ ‎∴双曲线的渐近线方程为，‎ - 19 -‎ ‎∴，得，，‎ 此时，离心率．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．‎ ‎5.已知正项数列满足：，，则使成立的的最大值为（ ）‎ A. 3 B. 4 C. 24 D. 25‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列，可求得，所以，带入不等式。即可求解。‎ ‎【详解】由等差数列的定义可知是首项为1，公差为2的等差数列 所以，‎ 所以，，‎ 又，所以，即 解得，又，‎ 所以，故选C ‎【点睛】本题考查等差数列的定义，通项公式，及一元一次不等式解法，突破点在于根据等差数列的定义，得到为等差数列，再进行求解。而不是直接求，属基础题。‎ ‎6.某工厂利用随机数表对生产的个零件进行抽样测试，先将个零件进行编号，编号分别为从中抽取个样本，如下提供随机数表的第行到第行：‎ - 19 -‎ 若从表中第行第列开始向右依次读取个数据，则得到的第个样本编号（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机抽样的定义进行判断即可．‎ ‎【详解】解：第行第列的数开始的数为，不合适，，不合适，，，，不合适，不合适，，重复不合适，合适 则满足条件的个编号为，，，，，，‎ 则第个编号为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查随机抽样的应用，根据定义选择满足条件的数据是解决本题的关键．‎ ‎7.某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由三视图确定几何体形状，再由简单几何体的体积公式计算即可.‎ ‎【详解】由三视图可知，该几何体由半个圆锥与一个圆柱体拼接而成，所以该几何体的体积.故选C - 19 -‎ ‎【点睛】本题主要考查由几何体的三视图求简单组合体的体积问题，只需先由三视图确定几何体的形状，再根据体积公式即可求解，属于常考题型.‎ ‎8.定义在上的奇函数，当时，，则不等式的解集为 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 当时，为单调增函数，且，则的解集为，再结合为奇函数，所以不等式的解集为。‎ ‎【详解】当时，，所以在上单调递增，因为，所以当时，等价于，即，‎ 因为是定义在上的奇函数，所以 时，在上单调递增，且，所以等价于，即，所以不等式的解集为 ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性，单调性及不等式的解法，属基础题。应注意奇函数在其对称的区间上单调性相同，偶函数在其对称的区间上单调性相反。‎ ‎9.已知，满足约束条件，若目标函数可在点处取得最大值，则的取值范围为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义转化求解即可．‎ ‎【详解】解：，满足约束条件的可行域如图：由目标函数可得，由解得，可得，即．‎ - 19 -‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查线性规划的简单应用，数形结合，考查计算能力．‎ ‎10.若点在函数的图象上，则的零点为（ ）‎ A. 1 B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将点代入函数，利用对数的运算性质即可求出k值，进而求出的零点。‎ ‎【详解】解：根据题意，点在函数的图象上，‎ 则，变形可得：，则 若，则，即的零点为，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了对数的运算性质、零点知识。熟练掌握对数的运算性质是解题的关键。‎ ‎11.在正方体中，为棱上一点，且，为棱的中点，且平面与交于点，则与平面所成角的正切值为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 19 -‎ 分析】‎ 根据平面平面，可知所求角为；假设正方体棱长为，求解出和，从而得到结果.‎ ‎【详解】‎ 因为平面平面 所以与平面所成角即为与平面所成角 可知与平面所成角为.‎ 设，则，‎ 平面面且面，可知 则，即 ，‎ 在中，‎ 故与平面所成角的正切值为 本题正确选项：‎ ‎【点睛】本题考查立体几何中的直线与平面所成角问题，关键是能够通过位置关系确定所成角，再利用直角三角形求得结果.‎ ‎12.杨辉三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在欧洲，这个表叫做帕斯卡三角形，帕斯卡（）是在年发现这一规律的．我国南宋数学家杨辉年所著的《详解九章算法》一书里出现了如图所示的表，这是我国数学史上的一个伟大成就．如图，在“杨辉三角”中，去除所有为的项．依次构成数列，则此数列前项和为（　　）‎ - 19 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先阅读题意，再结合简单的合情推理可得解．‎ ‎【详解】解：去除所有为的项后，‎ 由图可知前行共有个数，‎ 当时，，‎ 即前行共有个数，‎ 另第行的和为，‎ 所以前行的和为，‎ 第项的最后的两个数为，，‎ 故此数列前项和为，‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查了阅读能力及进行简单的合情推理，属中档题．‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13.将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到函的图象，则的最小正周期是______‎ - 19 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先由图像的变化得到解析式，再由，即可求出函数的最小正周期.‎ ‎【详解】依题意可得，所以的最小正周期是.‎ 故答案为 ‎【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换问题以及函数的周期，熟记三角函数的性质即可，属于常考题型.‎ ‎14.的展开式中的常数项为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 写出的二项展开式中的一次项和常数项，再结合即可求得常数项．‎ ‎【详解】的展开式中的常数项为.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，考查了二项展开式的通项公式及展开式中常数项的问题，属于中档题．‎ ‎15.若直线与曲线相切，则________．‎ ‎【答案】14或﹣18‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 因为切点既在曲线上，又在切线上，所以由导数可求得切线得斜率。联立方程组解得即可。‎ ‎【详解】解：的导数为，直线与曲线相切，‎ 设切点为，可得，即有；．‎ 故答案为：14或﹣18．‎ ‎【点睛】本题主要考查利用导数求解计算出曲线方程。对于涉及到切线或单调性的问题时，要有求导意识。‎ - 19 -‎ ‎16.过抛物线：的焦点作两条斜率之积为的直线，，其中交于、两点，交于，两点，则的最小值为________．‎ ‎【答案】24‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可设，代入，得，根据韦达定理、抛物线的定义以及基本不等式可得．‎ ‎【详解】解：依题意可设，代入，得，‎ ‎，所以，‎ 以代，得，‎ 所以，‎ 故答案为：．．‎ ‎【点睛】本题考查了抛物线的性质，属中档题．‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17～21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．‎ ‎17.在中，.‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，求的周长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先求，由二倍角公式即可求（2）由题得，解得a,b值，再由余弦定理求c边即可求解.‎ - 19 -‎ ‎【详解】（1）∵，∴，‎ ‎∴.‎ ‎（2）设的内角的对边分别为.‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，∴，.‎ 由余弦定理可得，‎ 则，的周长为.‎ ‎【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，熟记三角的基本关系式，准确运用余弦定理计算c边是关键，是基础题.‎ ‎18.如图，在三棱锥中，，，，，，．‎ ‎（1）若为的中点，证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）推导出，，，，由此能证明平面．‎ ‎（2）法一：取的中点，连结，取中点，连结，以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角的余弦值．‎ 法二：取的中点，连结，，推导出，，平面，则，从而为二面角的平面角，由此能求出二面角的余弦值．‎ ‎【详解】证明：（1）∵，，‎ ‎∴，‎ - 19 -‎ ‎∵，∴，‎ ‎∵，为的中点，∴，‎ 又，∴平面．‎ 解：（2）解法一：取中点，连结，取中点，连结，‎ ‎∵，，∴，‎ 又为的中点，∴，‎ 由（1）知平面平面，平面平面，‎ ‎∴平面，‎ 以为原点，，，所在直线分别为，，轴，建立空间直角坐标系，如图，‎ 由题意知，，，‎ ‎，，‎ 设平面的法向量，‎ 则，令，得，‎ 平面的法向量，，‎ 由图知二面角为锐角，‎ ‎∴二面角的余弦值为．‎ 解法二：取的中点，连结，，‎ ‎∵为的中点，∴，又，∴，‎ 由（1）知平面，则，‎ ‎∴为二面角的平面角，‎ ‎∵，，，∴，‎ 又，则，‎ ‎∴，即二面角的余弦值为．‎ - 19 -‎ ‎【点睛】本题是有线面垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是中档题．‎ ‎19.某大型工厂有台大型机器，在个月中，台机器至多出现次故障，且每台机器是否出现故障是相互独立，出现故障时需名工人进行维修．每台机器出现故障的概率为．已知名工人每月只有维修台机器的能力，每台机器不出现故障或出现故障时有工人维修，就能使该厂获得万元的利润，否则将亏损万元．该工厂每月需支付给每名维修工人万元的工资．‎ ‎（1）若每台机器在当月不出现故障或出现故障时有工人进行维修，则称工厂能正常运行．若该厂只有名维修工人，求工厂每月能正常运行的概率；‎ ‎（2）已知该厂现有名维修工人．‎ ‎（ⅰ）记该厂每月获利为万元，求的分布列与数学期望；‎ ‎（ⅱ）以工厂每月获利的数学期望为决策依据，试问该厂是否应再招聘名维修工人？‎ ‎【答案】（1）；（2）（ⅰ）；（ⅱ）不应该.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据相互独立事件的概率公式计算出事故机器不超过台的概率即可；‎ ‎（2）（i）求出的可能取值及其对应的概率，得出的分布列和数学期望；‎ ‎（ⅱ）求出有名维修工人时的工厂利润，得出结论．‎ ‎【详解】解：（1）因为该工厂只有名维修工人，故要使工厂正常运行，最多只有台大型机器出现故障．‎ ‎∴该工厂正常运行的概率为：．‎ ‎（2）（i）的可能取值有，，‎ - 19 -‎ ‎，．‎ ‎∴的分布列为：‎ X ‎ 31‎ ‎ 44‎ ‎ P ‎ ‎ ‎ ‎ ‎∴ ．‎ ‎（ⅱ）若工厂再招聘一名维修工人，则工厂一定能正常运行，‎ 工厂所获利润为万元，‎ 因为，‎ ‎∴该厂不应该再招聘名维修工人．‎ ‎【点睛】本题考查了相互独立事件的概率计算，离散型随机变量的分布列与数学期望计算，属于中档题．‎ ‎20.已知椭圆离心率为，是椭圆的一个焦点．点，直线的斜率为．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）若过点的直线与椭圆交于两点，线段的中点为，且．求的方程．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）由题意可得，解得即可得出。‎ ‎（2）分两种情况，当斜率不存在时，不符合题意；当斜率存在时，设出直线方程，联立直线方程和椭圆方程，利用判别式大于0可得出；利用列出等式可求得k - 19 -‎ 的值，即可得出的方程。‎ ‎【详解】（1）由题意，可得，解得，则，‎ 故椭圆的方程为．‎ ‎（2）当的斜率不存在时，，不合题意，故的斜率存在．‎ 设的方程为，联立，得，‎ 设，则，‎ 即，‎ 设，则，‎ 则，即 整理得．故，的方程为．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆的标准方程及其性质、“点差法”、点斜式、斜率的计算公式。‎ ‎21.已知函数．‎ ‎（1）当时，讨论函数的单调性；‎ ‎（2）设函数，若斜率为的直线与函数的图象交于，两点，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先对函数求导，然后根据导数与单调性的关系即可求解 - 19 -‎ ‎（2）先根据已知求出，，令，要证明，只要证，结合导数进行证明 ‎【详解】解：（1）∵，‎ ‎∴‎ 令可得，或 ‎①当即时，当时，，函数在，上单调递增 当时，，函数在上单调递减 ‎②当时，在上恒成立，即在上单调递增 ‎③当即时，时，，‎ 函数在，上单调递增，在上单调递减，‎ ‎（2），则 故 令 要证明，只要证 由可知，故只要证明 ‎①设，，则，故在上单调递增 ‎∴即 ‎②设，则，故在上单调递增 ‎∴即 - 19 -‎ 综上可得，．‎ ‎【点睛】本题主要考查了导数知识的综合应用，体现了分类讨论思想的应用．‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．‎ 选修：坐标系与参数方程 ‎22.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的极坐标为．‎ ‎（1）求曲线的极坐标方程；‎ ‎（2）过作曲线的切线，切点为，过作曲线的切线，切点为，求．‎ ‎【答案】（1）（2）2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）曲线C的参数方程消去参数，能求出曲线C的普通方程，由此能求出曲线C的极坐标方程．‎ ‎（2）由圆的切线长公式，先求，再利用勾股定理求得，作比即可.‎ ‎【详解】（1）由，得，‎ 即，‎ 故曲线的极坐标方程为.‎ ‎（2）由（1）知，曲线表示圆心为，半径为的圆.‎ 因为A（0，3），所以，‎ 所以.‎ 因为，‎ 所以.‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程、极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆相切的性质、切线长的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．‎ - 19 -‎ ‎ 选修：不等式选讲 ‎23.已知函数．‎ ‎（1）若，证明：；‎ ‎（2）若，求取值范围．‎ ‎【答案】(1)见证明；(2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用基本不等式证明；（2）即解不等式，再利用分类讨论法解不等式得解.‎ ‎【详解】解：（1）证明：若，则，‎ 当且仅当时，等号成立，‎ 从而 ‎（2）由，得，‎ 当时，，即恒成立，则；‎ 当时，，则；‎ 当时，，则或，‎ 综上，的取值范围为 ‎【点睛】本题主要考查基本不等式，考查利用零点分类讨论法解不等式，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.‎ - 19 -‎ ‎ ‎ - 19 -‎