【数学】2019届一轮复习人教A版多面体与球的组合体问题学案

【数学】2019届一轮复习人教A版多面体与球的组合体问题学案

‎ ‎ ‎ 专题七 不等式 问题一：多面体与球的组合体问题 一、考情分析 纵观近几年高考对于组合体的考查,重点放在与球相关的外接与内切问题上.要求 生有较强的空间想象能力和准确的计算能力,才能顺利解答.从实际教 来看,这部分知识是 生掌握最为模糊,看到就头疼的题目.分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是 生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．‎ 二、经验分享 ‎(1)求解球与棱柱、棱锥的接、切问题时，一般过球心及接、切点作截面，把空间问题转化为平面图形与圆的接、切问题，再利用平面几何知识寻找几何中元素间的关系求解．‎ ‎(2)若球面上四点P，A，B，C构成的三条线段PA，PB，PC两两互相垂直，且PA＝a，PB＝b，PC＝c，一般把有关元素“补形”成为一个球内接长方体，利用4R2＝a2＋b2＋c2求解．‎ ‎(3)研究有一条侧棱垂直于底面的三棱锥的外接球，可把该三棱锥补成直三棱柱 三、知识拓展 ‎(1)正方体的棱长为a，球的半径为R，‎ ‎①若球为正方体的外接球，则2R＝a；‎ ‎②若球为正方体的内切球，则2R＝a；‎ ‎③若球与正方体的各棱相切，则2R＝a.‎ ‎(2)若长方体的同一顶点的三条棱长分别为a，b，c，外接球的半径为R，则2R＝.‎ ‎(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为3∶1‎ 四、题型分析 ‎(一) 球与柱体的组合体 规则的柱体,如正方体、长方体、正棱柱等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱柱的棱产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.‎ 1.1 ‎ 球与正方体 如图1所示,正方体,设正方体的棱长为,为棱的中点,为球的球心.常见组合方式有三类：一是球为正方体的内切球,截面图为正方形 和其内切圆,则；二是与正方体各棱相切的球,截面图为正方形和其外接圆,则；三是球为正方体的外接球,截面图为长方形和其外接圆,则.通过这三种类型可以发现,解决正方体与球的组合问题,常用工具是截面图,即根据组合的形式找到两个几何体的轴截面,通过两个截面图的位置关系,确定好正方体的棱与球的半径的关系,进而将空间问题转化为平面问题.‎ ‎【例1】 棱长为1的正方体的8个顶点都在球的表面上,分别是棱,的中点,则直线被球截得的线段长为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【分析】本题求解关键是得出直线被球截得的线段为球的截面圆的直径 ‎【解析】由题意可知,球为正方体的外接球.平面截面所得圆面的半径直线被球截得的线段为球的截面圆的直径.‎ ‎【小试牛刀】【2017届广东省深圳市高三下 期第一次调研】已知棱长为2的正方体,球与该正方体的各个面相切,则平面截此球所得的截面的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 1.1 球与长方体 长方体各顶点可在一个球面上,故长方体存在外切球.但是不一定存在内切球.‎ 设长方体的棱长为其体对角线为.当球为长方体的外接球时,截面图为长方体的对角面和其外接圆,和正方体的外接球的道理是一样的,故球的半径 ‎【例2】在长、宽、高分别为2,2,4的长方体内有一个半径为1的球,任意摆动此长方体,则球经过的空间部分的体积为( )‎ A. B.4π C. D. ‎【分析】转化为求正方体的内切球 ‎【解析】利用运动的观点分析在小球移动的过程中,进过部分的几何体.因半径为1的小球恰好为棱长为2的正方体的内切球,故小球经过空间由上往下看为：半个小球、高为2的圆柱和半个小球,三部分的体积为：‎ ‎【小试牛刀】已知正四棱柱的底边和侧棱长均为,则该正四棱锥的外接球的表面积为 .‎ 1.1 球与直棱柱 球与一般的直棱柱的组合体,常以外接形态居多.下面以正三棱柱为例,介绍本类题目的解法构造直角三角形法.设正三棱柱的高为底面边长为,如图2所示,和分别为上下底面的中心.根据几何体的特点,球心必落在高的中点,借助直角三角形的勾股定理,可求.‎ ‎【例3】已知直三棱柱ABC－A1B1C1的6个顶点都在球O的球面上,若AB＝3,AC＝4,AB⊥AC,AA1＝12,则球O的半径为(　　)‎ A. B．2 C. D．3 ‎【分析】先确定球心位置,再利用确定球的半径 ‎【解析】如图所示,由球心作平面ABC的垂线,‎ 则垂足为BC的中点M.又AM＝BC＝,OM＝AA1＝6,所以球O的半径R＝OA＝＝.‎ ‎【点评】直棱柱的外接球的球心是上下底面外接圆圆心连线的中点.‎ ‎【小试牛刀】直三棱柱的六个顶点都在球的球面上,若,,,则球的表面积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎(二) 球与锥体的组合体 规则的锥体,如正四面体、正棱锥、特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合,以外接和内切两种形态进行结合,通过球的半径和棱锥的棱和高产生联系,然后考查几何体的体积或者表面积等相关问题.‎ ‎2.1 球与正四面体 正四面体作为一个规则的几何体,它既存在外接球,也存在内切球,并且两心合一,利用这点可顺利解决球的半径与正四面体的棱长的关系.如图4,设正四面体的棱长为,内切球半径为,外接球的半径为,取的中点为,为在底面的射影,连接为正四面体的高.在截面三角形,作一个与边和相切,圆心在高上的圆,即为内切球的截面.因为正四面体本身的对称性可知,外接球和内切球的球心同为.此时,,则有 解得：这个解法是通过利用两心合一的思路,建立含有两个球的半径的等量关系进行求解.同时我们可以发现,球心为正四面体高的四等分点.如果我们牢记这些数量关系,可为解题带来极大的方便.‎ ‎【例4】将半径都为１的四个钢球完全装入形状为正四面体的容器里,这个正四面体的高的最小值为 ( )‎ A. B. 2+ C. 4+ D. ‎ ‎【小试牛刀】【2017届云南曲靖一中高三上 期月考】正四面体的棱长为,其内接球与外接球的体积比为 ．‎ ‎2.2 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥 球与三条侧棱互相垂直的三棱锥组合问题,主要是体现在球为三棱锥的外接球.解决的基本方法是补形法,即把三棱锥补形成正方体或者长方体.常见两种形式：‎ 一是三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,则可以补形为一个正方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.如图5,三棱锥的外接球的球心和正方体 的外接球的球心重合.设,则.二是如果三棱锥的三条侧棱互相垂直并且不相等,则可以补形为一个长方体,它的外接球的球心就是三棱锥的外接球的球心.(为长方体的体对角线长).‎ ‎【例5】在正三棱锥中,分别是棱的中点,且,若侧棱,则正三棱锥外接球的表面积是 .‎ ‎【解析】如图6,正三棱锥对棱相互垂直,即又于是从而此时正三棱锥的三条侧棱互相垂直并且相等,故将正三棱锥补形为正方体.球的半径 ‎【小试牛刀】一个几何体的三视图如图所示,其中主视图和左视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形,则该几何体的外接球的表面积为( )‎ A． B． C． D．‎ ‎2.3 球与正棱锥 ‎ 球与正棱锥的组合,常见的有两类,一是球为三棱锥的外接球,此时三棱锥的各个顶点在球面上,根据截面图的特点,可以构造直角三角形进行求解.二是球为正棱锥的内切球,例如正三棱锥的内切球,球与正三棱锥四个面相切,球心到四个面的距离相等,都为球半径．这样求球的半径可转化为球球心到三棱锥面的距离,故可采用等体积法解决,即四个小三棱锥的体积和为正三棱锥的体积.‎ ‎【例6】在三棱锥P－ABC中,PA＝PB=PC=,侧棱PA与底面ABC所成的角为60°,则该三棱锥外接球的体积为（ ）‎ ‎ A．　 B.　 C. 4　D.‎ ‎【解析】如图7所示,过点作底面的垂线,垂足为,设为外接球的球心,连接因故,又△为直角三角形,‎ ‎【小试牛刀】【河北省邯郸市2018届高三第一次模拟】设正三棱锥的高为，且此棱锥的内切球的半径为，若二面角的正切值为，则（ ）‎ A. 5 B. 6 C. 7 D. 8‎ ‎2.4 球与特殊的棱锥 球与一些特殊的棱锥进行组合,一定要抓住棱锥的几何性质,可综合利用截面法、补形法等进行求解.例如,四个面都是直角三角形的三棱锥,可利用直角三角形斜边中点几何特征,巧定球心位置.如图8,三棱锥,满足取的中点为,由直角三角形的性质可得：所以点为三棱锥的外接球的球心,则.‎ ‎【例7】矩形中,沿将矩形折成一个直二面角,则四面体的外接球的体积是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎【解析】由题意分析可知,四面体的外接球的球心落在的中点,此时满足 ,.‎ ‎【小试牛刀】【2017届山西省临汾一中、忻州一中、长治二中等五校高三上 期联考】‎ 已知三棱锥内接与球,且,若三棱锥体积的最大值为,则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎ (三) 球与球的组合体 对个多个小球结合在一起,组合成复杂的几何体问题,要求有丰富的空间想象能力,解决本类问题需掌握恰当的处理手段,如准确确定各个小球的球心的位置关系,或者巧借截面图等方法,将空间问题转化平面问题求解.‎ ‎【例8】 在半径为R的球内放入大小相等的4个小球,则小球半径r的最大值为（ ）‎ A. (－1)R B . (－2)R C.R D. R ‎【解析】要使得小球的半径最大,需使得4个小球的球心为一个正四面体的四个顶点,如图9所示,此时正四面体的外接球的球心为,即为半径为R的球的球心,则又因为的四分点,故在中,‎ ‎【小试牛刀】如图,在一个正方体内放入两个半径不相等的球O1,O2,这两个球外切,且球O1与正方体共顶点A的三个面相切,球O2与正方体共顶点B1的三个面相切,则两球在正方体的面AA1C1C上的正投影是(　　)‎ ‎ (四) 球与几何体的各条棱相切 球与几何体的各条棱相切问题,关键要抓住棱与球相切的几何性质,达到明确球心的位 置为目的,然后通过构造直角三角形进行转换和求解.如与正四面体各棱都相切的球的半径为相对棱的一半：.[ : . .k ]‎ ‎【例9】把一个皮球放入如图10所示的由8根长均为‎20 cm的铁丝接成的四棱锥形骨架内,使皮球的表面与8根铁丝都有接触点,则皮球的半径为（ ）‎ ‎ A．l0cm B．‎10 cm ‎ ‎ C．10cm D．30cm ‎【解析】如图11所示,由题意球心在AP上,球心为O,过O作BP的垂线ON垂足为N,ON=R,OM=R,因为各个棱都为20,所以AM=10,BP=20,BM=10,AB=,设,‎ 在BPM中,,所以.在PAM中, ,所以.在ABP中, ,在ONP中, ,所以,所以.在OAM中, ,所以,,解得,或30（舍）,所以,‎ 故选B.‎ ‎(五) 与三视图相结合的组合体问题 ‎ 本类问题一般首先给出三视图,然后考查其直观图的相关的组合体问题.解答的一般思路是根据三视图还 原几何体,根据几何体的特征选择以上介绍的方法进行求解. ‎ ‎【例10】【湖南G10教育联盟2018年4月高三联考】一个几何体的三视图如图所示，其中正视图和侧视图是腰长为1的两个全等的等腰直角三角形，若该几何体的所有顶点在同一球面上，则该球的表面积是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【小试牛刀】【2017届河北省正定中 高三上 期期中）】如图, 格纸上小正方形的边长为1,粗实线及粗虚线画出的是某多面体的三视图,则该多面体外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ 综合上面的五种类型,解决与球的外切问题主要是指球外切多面体与旋转体,解答时首先要找准切点,通过作截面来解决.如果外切的是多面体,则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作；把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的内接问题．解决这类问题的关键是抓住内接的特点,即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径．发挥好空间想象力,借助于数形结合进行转化,问题即可得解．如果是一些特殊的几何体,如正方体、正四面体等可以借助结论直接求解,此时结论的记忆必须准确.‎ 五、迁移运用 ‎1.【河南省六市2018届高三一模】在三棱锥中， ， ， ， ， ，且三棱锥的体积为，则该三棱锥的外接球半径是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】取SC中点O，则OA=OB=OC=OS,即O为三棱锥的外接球球心，设半径为r,则选C.‎ ‎2．【贵州省凯里市第一中 2018届高三下 期模拟】图是棱长为2的正八面体（八个面都是全等的等边三角形），球是该正八面体的内切球，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 如图所示，设已知的正八面体为，可知平面于球心，且点为正方形的中心，设球与正四棱锥的侧面相切于点，连接并延长，交于点，可知为的中点，连接，则 ，由，得，即正八面体内切球的半径为，所以内切球的表面积为，故选A.‎ ‎3．【宁夏吴忠市2018届高三下 期高考模拟】半径为的球中有一内接圆柱.当圆柱的侧面积最大时，球的表面积与该圆柱的侧面积之差是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】设圆柱的上底面半径为，球的半径与上底面夹角为，则 圆柱的高为，圆柱的侧面积为，当且仅当时， ，圆柱的侧面积最大，圆柱的侧面积为 球的表面积为，球的表面积与该圆柱的侧面积之差为，故选 ‎4．【河南省中原名校（即豫南九校）2018届高三第六次质量考评】已知是球 表面上四点，点为的中点，若, ，则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎5．【四川省德阳市2018届高三二诊】如图所示的三视图表示的几何体的体积为，则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎[ : | | ]‎ ‎6．【四川省雅安中 2018届高三下 期第一次月考】已知三棱锥中， ， ，若三棱锥的最大体积为，则三棱锥外接球的表面积为 A. π B. π C. π D. π ‎【答案】C ‎【解析】取的中点，连接， ，作于点，设.‎ ‎∵ ‎ ‎∴，即三棱锥外接球的球心.‎ ‎∵，∴‎ ‎∵，∴，∴‎ ‎∵三棱锥的最大体积为 ‎∴当为三棱锥的高时，三棱锥的体积最大，即.‎ ‎∴，则三棱锥的外接球的半径为.‎ ‎∴三棱锥的外接球的表面积为.故选C.‎ ‎7．【四川省成都市龙泉驿区第一中 校2018届高三3月“二诊”】如图，在四棱锥C－ABOD中，CO⊥平面ABOD，AB∥OD，OB⊥OD，且AB＝2OD＝12，AD＝，异面直线CD与AB所成角为30°，点O，B，C，D都在同一个球面上，则该球的表面积为 A. 72π B. 84π C. 128π D. 168π ‎【答案】B ‎8．【2017届河北省石家庄市高三第二次质量检测】四棱锥的底面是边长为6的正方形,且,若一个半径为1的球与此四棱锥所有面都相切,则该四棱锥的高是（ ）‎ A. 6 B. 5 C. D. [ : ]‎ ‎【答案】D ‎ ‎【解析】由题知,四棱锥是正四棱锥,球的球心在四棱锥的高上,过正四棱锥的高作组合体的轴截面如图：其中是斜高,为球面与侧面的切点．设,易知,所以,即,解得,故选D．‎ ‎9．【2017届辽宁省沈阳市郊联体高三上 期期末】如图,‎ 有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8,将一个球放在容器口,再向容器注水,当球面恰好接触水面时测得水深为6,如不计容器的厚度,则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 设正方体上底面所在平面截球得小圆,则圆心为正方体上底面正方形的中心. 如图,设球的半径为,根据题意得球心到上底面的距离等于,而圆的半径为,由球的截面圆性质,得,解得.球的表面积为,故选A.‎ ‎10．【2017届云南省云南师范大 附属中 高三高考适应性月考】四面体的四个顶点都在球的球面上,,且平面平面,则球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】如图,分别为的中点,易知球心点在线段上,因为,则．又∵平面平面,平面平面=BC,∴平面ABC,∴,∴．因为点是的中点,∴,且 ．‎ 设球心的半径为,,则,在中,有,在中,有,解得,所以,故选B．‎ ‎11．【2017届湖南省衡阳市高三上 期期末考试】一个四面体的三视图如图所示,则该四面体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由题意可知,几何体为三棱锥,底面等腰直角三角形的底边长为2,底面三角形的高为1,棱锥的一条侧棱垂直底面的三角形的一个顶点,棱锥的高为1,其外接球的球心是底面斜边的中点,故外接球的半径,故外接球的表面积为,故选B.‎ ‎12．【2017 年湖北省黄冈市黄冈中 上 期期末】在矩形中,,现将沿对角线折起,‎ 使点到达点的位置,得到三棱锥,则三棱锥的外接球的表面积为( )‎ A. B. C. D. 大小与点的位置有关 ‎【答案】C ‎【解析】由题意,的中点为三棱锥的外接球的球心, ∵, ∴球的半径为 , ∴三棱锥 的外接球的表面积为 ． 故选C．‎ ‎13．【湖北省部分重点中 2017届高三上 期第二次联考】一个几何体的三视图如图所示,则该几何体的外接球的表面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎14．【2017届甘肃省高台县第一中 高三上 期期末】已知三棱锥,在底面中,,,面,,则此三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】依题意,利用正弦定理有,其中为三角形的外接圆半径.设球的半径为,则,故球的体积为.‎ ‎15．【2017届甘肃天水一中高三12月月考】如图,直三棱柱的六个顶点都在半径为1的半球面上,,侧面是半球底面圆的内接正方形,则侧面的面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由图可得.‎ ‎16．【2017届河北武邑中高三上 期调研四】已知某棱锥的三视图如图（最左侧是正视图）所示,俯视图为正方形及一条对角线,根据图中所给的数据,该棱锥外接球的体积是_____.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由该棱锥的三视图可知,该棱锥是以边长为的正方形为底面,高为的四棱锥,做出其直观图所示,则 ,面,所以即为该棱锥的外接球的直径,则,即该棱锥外接球的体积,故答案为.‎ ‎17．【2016届陕西省渭南市白水中 高三上第三次月考】一个空间几何体的三视图如图所示,且这个空间几何体的所有顶点都在同一个球面上,则这个球的表面积是 ．‎ ‎【答案】16π ‎18．【2016届黑龙江省哈尔滨师大附中高三12月考】利用一个球体毛坯切削后得到一个四棱锥,其中底面四边形是边长为的正方形,,且平面,则球体毛坯体积的最小值应为 ．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】如图,‎ 将四棱锥补全为一个正方体,则：当正方体为球的内接正方体时球的体积最小,此时正方体的体对角线为球的直径,长为 ‎∴球的体积为：；故答案应填：．‎ ‎19．【2016届河北省邯郸市一中高三一轮收官考试】如图,在四面体中,平面,是边长为的等边三角形．若,则四面体外接球的表面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】该四面体的外接球与下面的正三棱柱的外接球是同一个球,因为底面是正三角形,边长为,所以,,所以,表面积．‎