江西省靖安中学2019-2020学年高二4月线上考试数学（理）试题

江西省靖安中学2019-2020学年高二4月线上考试数学（理）试题

高二线上考试数学理试卷 考试时间： 90分钟 总分：100分 一．选择题（每小题4分，共36分）‎ ‎1.复数＝1﹣i，为z的共轭复数，则+i＝（　　）‎ A．2 B．﹣2 C．2i D．﹣2i ‎2. 已知双曲线中心为原点，焦点在x轴上，过点（，2），且渐近线方程为y＝±2x，则该双曲线的方程为（　　）‎ A．x2﹣＝1 B．x2﹣4y2＝2 C．x2﹣＝1 D．x2﹣2y2＝1‎ ‎3. 已知命题：角终边在直线上，命题：，那么是的（ ）‎ A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分又不必要条件 ‎4. 已知是函数的极小值点，则（ ）‎ A. -4 B. ‎-16 ‎C. -2 D. 2‎ ‎5. 曲线过点，则该曲线在该点的切线方程是（　　）‎ Ａ．　　Ｂ．　Ｃ．　Ｄ．‎ ‎6. 已知双曲线：，当双曲线的焦距取得最小值时，其右焦点恰为抛物线：的焦点、若、是抛物线上两点，，则中点的横坐标为（ ）‎ A. B. ‎2 ‎C. D. 3‎ ‎7. 已知函数f（x）＝（x2﹣a）e﹣x的图象过点（，0），若函数f（x）在（m，m+1）上是增函数，则实数m的取值范围为（　　）‎ A．[﹣1，2] B．[2，+∞）C．[0，+∞） D．（﹣∞，﹣1]∪[2，+∞）‎ ‎8. 等差数列的公差不为0，是其前项和，给出下列命题：‎ ‎①若，且，则和都是中的最大项；‎ ‎②给定，对一切，都有；‎ ‎③若，则中一定有最小项；‎ ‎④存在，使得和同号.‎ 其中正确命题的个数为（ ）‎ A. 4 B. ‎3 ‎C. 2 D. 1‎ ‎9. 已知函数满足，且，则函数零点的个数为（ ）‎ A. 4个 B. 3个 C. 2个 D. 0个 二．填空题（每小题4分，共12分）‎ ‎10. 函数y =的导数为 。‎ ‎11. 已知三棱锥P﹣ABC的外接球的球心O在AB上，且二面角P﹣AB﹣C的大小为120°，若三棱锥P﹣ABC的体积为，PA＝PB＝AC＝BC，则球O的表面积为　 ‎ ‎12. 已知O为坐标原点，F为抛物线C：y2＝2x的焦点，直线l：y＝m（2x﹣1）与抛物线C交于A，B两点，点A在第一象限，若|AF|＝2|BF|，则m的值为　 ‎ 三．解答题 ‎13.（10分） 已知函数f（x）＝|x+3|﹣2．‎ ‎（Ⅰ）解不等式|f（x）|＜4；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，求实数t的取值范围．‎ ‎14. （10分）已知四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1的底面是边长为2的菱形，且BC＝BD，DD1⊥平面ABCD，AA1＝1，BE⊥CD于点E，点F是A1B1中点．‎ ‎（Ⅰ）求证：AF∥平面BEC1；‎ ‎（Ⅱ）求平面ADF和平面BEC1所成锐二面角的余弦值．‎ ‎15. （10分） 已知函数f（x）＝（a﹣）x2+lnx（a∈R）‎ ‎（1）当a＝1时，求f（x）在区间[1，e]上的最大值和最小值；‎ ‎（2）证明：当时，在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立．‎ ‎16. （10分） 已知椭圆C：+＝1（a＞b＞0）的离心率为，焦距为2c，直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点．‎ ‎（Ⅰ）求椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）若直线bx﹣y+2c＝0与y轴交于点P，A，B是椭圆C上的两个动点，∠APB的平分线在y轴上，|PA|≠|PB|．试判断直线AB是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由．‎ ‎17. （12分）设f（x）＝xlnx+ax2，a为常数．‎ ‎（1）若曲线y＝f（x）在x＝1处的切线过点A（0，﹣2），求实数a的值；‎ ‎（2）若f（x）有两个极值点x1，x2且xl＜x2‎ ‎①求证：＜a＜0‎ ‎②求证：f （x2）＞f （x1）＞．‎ 高二线上考试数学理试卷答案 ‎1.‎ ‎【分析】把已知代入+i，再由复数代数形式的乘除运算化简得答案．‎ 解：∵＝1﹣i，∴z＝1+i，‎ 则+i＝＝1﹣i+1+i＝2．‎ 故选：A．‎ ‎2. ‎ ‎【分析】首先根据条件中的渐近线方程，可设双曲线方程为4x2﹣y2＝λ，λ≠0，把点的坐标代入即可求出结果．‎ 解：∵渐近线方程为2x±y＝0，‎ 设双曲线方程为4x2﹣y2＝λ，λ≠0，‎ 将P（，2）的坐标代入方程得 ‎4（）2﹣22＝λ，‎ 求得λ＝4，‎ ‎ 则该双曲线的方程为x2﹣＝1，‎ 故选：C．‎ ‎3 ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对命题根据终边相同的角的概念进行化简可得可得答案.‎ ‎【详解】角的终边在直线上或 ‎，故是的充分必要条件，‎ 故选：C.‎ ‎4. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导并化简可得，列表即可求出极小值点，得解.‎ ‎【详解】因为 所以可得，和如下表 ‎-2‎ ‎(-2，2)‎ ‎2‎ ‎+‎ ‎0‎ ‎-‎ ‎0‎ ‎+‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 由表知函数的极小值点为2.‎ 故选：D ‎5. ‎ ‎【答案】Ｃ；　由得，再由可得。‎ ‎6.‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据二次函数取得最小值的条件，求得，从而可得双曲线方程，再根据双曲线的焦点坐标求得抛物线的焦点坐标，可得抛物线方程，然后根据抛物线的定义和中点坐标公式可得答案.‎ ‎【详解】由题意可得，即有，‎ 由，可得当时，焦距取得最小值，‎ 所以双曲线的方程为，‎ 于是右焦点为，即抛物线的焦点为，‎ 所以，，则抛物线：，‎ 准线方程，设，，‎ ‎∴，解得，‎ ‎∴线段的中点横坐标为2.‎ 故选：B ‎7. ‎ ‎【分析】根据题意可以得出，在对其进行求导求出其单调性即可求解；‎ 解：∵f（x）＝（x2﹣a）e﹣x的图象过点（，0），‎ ‎∴a＝3；‎ ‎∴，‎ ‎∴；‎ 令f′（x）≥0，则﹣1≤x≤3；‎ ‎∴f（x）的单调递增区间为[﹣1，3]，‎ ‎∴；‎ ‎∴﹣1≤m≤2‎ 故选：A． ‎ ‎8. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎①中可推导，结合，可知数列前5项为正，第6项为0‎ ‎，即可判断结论正误②根据等差数列中下标之和相等则项的和相等的性质，可判断正误③时，不论首项的符号，都能判断中一定有最小项④根据等差数列的定义可知和分别为，即可判断正误.‎ ‎【详解】对于①若，，可得，即，所以和都是中的最大项，①正确；②根据等差中项性质可知，所以②是正确的；③根据等差数列求和公式可知，，当时，是最小值；当，或时取最大值；④和，因为，所以和异号，故④是错误的.‎ ‎9. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据，可得，即有，可推出，解方程，得或，判断零点个数即可.‎ ‎【详解】，∴，，∵代入，得，∴.‎ 或，‎ ‎；，‎ 如图所示，‎ 函数与函数的图像交点个数为2个，所以的解得个数为2个；综上，零点个数为3个，‎ 故选：B ‎10.解析：‎ ‎11. ‎ ‎【分析】根据题给信息，利用等腰三角形常作辅助线能够证出对棱垂直，再利用对棱垂直时的体积公式进行求解．‎ 解：设球半径为r，则OA＝OB＝OC＝OP＝r，所以O是AB的中点，‎ 因为PA＝PB，AC＝BC，所以OP⊥AD，OC⊥AB，所以AB⊥平面OPC，‎ 所以体积＝，所以r＝2，‎ 所以球的表面积S＝4πr2＝16π．‎ 故答案为：16π．‎ ‎12． ‎ ‎【分析】求得抛物线的焦点坐标，设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，y1＞0），联立直线l的方程和抛物线方程，运用韦达定理和向量共线的坐标表示，解方程可得m的值．‎ 解：y2＝2x的焦点F（，0），‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），（x1＞0，y1＞0），‎ 直线l：y＝m（2x﹣1）（m＞0）与抛物线y2＝2x联立，可得4m2x2﹣（2+4m2）x+m2＝0，‎ 即有x1x2＝①，x1+x2＝1+②，‎ 由题意可得＝2，即为﹣x1＝2（x2﹣），即x1+2x2＝③，‎ 由①③可得x1＝1，x2＝（x1＝x2＝舍去），‎ 代入②可得1+＝1+，解得m＝（负的舍去），‎ 故答案为：．‎ ‎13. ‎ ‎【分析】（Ⅰ）由绝对值不等式的解法，化简可得所求解集；‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，由绝对值不等式的性质可得不等式左边的最大值，运用二次不等式的解法，可得所求范围．‎ 解：（Ⅰ）函数f（x）＝|x+3|﹣2，‎ 不等式|f（x）|＜4即为﹣4＜f（x）＜4， （2分）‎ 即﹣4＜|x+3|﹣2＜4，即有﹣2＜|x+3|＜6， ‎ 所以|x+3|＜6，即﹣6＜x+3＜6，可得﹣9＜x＜3，‎ 则原不等式的解集为（﹣9，3）； （5分）‎ ‎（Ⅱ）若∀x∈R，f（x）≤|x﹣1|﹣t2+4t﹣1恒成立，‎ 可得|x+3|﹣|x﹣1|≤﹣t2+4t+1恒成立，‎ 由|x+3|﹣|x﹣1|≤|（x+3）﹣（x﹣1）|＝4， （8分）‎ 可得﹣t2+4t+1≥4，即t2﹣4t+3≤0，‎ 解得1≤t≤3．‎ 则实数t的取值范围是[1，3]． （10分）‎ ‎14. ‎ ‎【分析】（Ⅰ）根据边长与相应的倍数关系，构造平行四边形，即可证明线面平行；‎ ‎（Ⅱ）根据题给条件建立空间直角坐标系，得出相应点的坐标，即可求解．‎ ‎【解答】（Ⅰ）证明：因为BC＝BD，BE⊥CD，∴E是CD的中点，‎ 取AB中点G，连B1G，GE，则在菱形ABCD中，EG∥BC，EG＝BC，‎ 因为BC∥B1C1，BC＝B1C1，所以EG∥B1C1，EG＝B1C1，‎ ‎∴四边形B1C1EG为平行四边形，所以C1E∥B1G，‎ 又B1F∥GA，B1F＝GA，∴四边形B1GAF为平行四边形，‎ ‎∴AF∥B1G，所以AF∥C1E，‎ 又AF⊄平面BEC1，C1E⊂平面BEC1，∴AF∥平面BEC1． （4分）‎ ‎（Ⅱ）解：以D为原点，以DC，DG，DD1，分别为x，y，z建立如图所示的空间直角坐标系，‎ 因为已知该四棱柱为直四棱柱，BC＝BD，BC＝CD，‎ 所以三角形BCD为等边三角形，‎ 因为BE⊥CD，所以点E是CD的中点，‎ 故点，，， （6分）‎ 设平面ADF的法向量，，‎ 由，得，‎ 取y＝1，得，故， 7分 因为，‎ 所以，所以是平面BEC1的法向量， （8分）‎ 设平面ADF和平面BEC1所成锐角为θ，‎ 则，‎ 即平面ADF和平面BEC1所成锐角的余弦值为． （10分）‎ ‎15. ‎ ‎【分析】（1）当a＝1时，，利用导数研究函数的单调性即可得出最值；‎ ‎（2）令，x∈（1，+∞），在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立⇔g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．利用导数研究函数的单调性即可得出g（x）大值．‎ ‎【解答】（1）解：当a＝1时，，‎ 对于x∈[1，e]，有f'（x）＞0，‎ ‎∴f（x）在区间[1，e]上为增函数，‎ ‎∴，． （5分）‎ ‎（2）证明：令，x∈（1，+∞），‎ 在区间（1，+∞）上，不等式f（x）＜2ax恒成立⇔g（x）max＜0，x∈（1，+∞）．‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，则有2a﹣1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，‎ 从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；‎ ‎∴g（x）＜g（1），又，‎ ‎∴g（x）＜0，即f（x）＜2ax恒成立． （10分）‎ ‎16. ‎ ‎【分析】（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，又因为离心率为，从而求出b＝2，又因为a2＝b2+c2，求出a的值，从而求出椭圆C的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）先求出点P的坐标，设直线AB的方程为y＝kx+m，联立方程组，利用根与系数的关系，设A（x1，y1），B（x2，y2），得到k1+k2＝，又因为∠APB的平分线在y轴上，所以 k1+k2＝0，从而求出m的值，得到直线AB的方程为y＝kx+1过定点坐标．‎ 解：（Ⅰ）因为直线bx﹣y+a＝0过椭圆的左焦点，‎ 故令y＝0，得x＝﹣＝﹣c，‎ ‎∴＝＝，解得b＝2，‎ 又∵a2＝b2+c2＝b2+，解得a＝2，‎ ‎∴椭圆C的标准方程为：； （4分）‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得c＝a＝2，‎ ‎∴直线bx﹣y+2c＝0的方程为2x﹣y+4＝0，令x＝0得，y＝4，即P（0，4）， （5分） ‎ 设直线AB的方程为y＝kx+m，‎ 联立方程组，消去y得，（2k2+1）x2+4kmx+2m2﹣8＝0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ ‎∴x1+x2＝﹣，x1x2＝， （6分）‎ 则直线PA的斜率k1＝＝k+，‎ 则直线PB的斜率k2＝＝k+，‎ 所有k1+k2＝2k+＝2k+＝， （8分）‎ ‎∵∠APB的平分线在y轴上，‎ ‎∴k1+k2＝0，即＝0，‎ 又|PA|≠|PB|，∴k≠0，∴m＝1，‎ ‎∴直线AB的方程为y＝kx+1，过定点（0，1）． （10分）‎ ‎17. ‎ ‎【分析】（1）求出函数f（x）的导数，求得切线的斜率，由两点的斜率公式计算即可得到a＝1；‎ ‎（2）①由题意可得f′（x）＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2，设g（x）＝lnx+1+2ax，求出导数，对a讨论，分a≥0，a＜0，求出单调区间和极值，令极大值大于0，即可得到a的范围；‎ ‎②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）＞f（x1），求出x1∈（0，1），设h（x）＝（xlnx﹣x），0＜x＜1，求出导数，判断单调性，运用单调性，即可得到所求范围．‎ 解：（1）f（x）＝xlnx+ax2的导数为f′（x）＝lnx+1+2ax，‎ 在x＝1处的切线斜率为k＝1+2a，切点为（1，a），‎ 在x＝1处的切线过点A（0，﹣2），则k＝1+2a＝a+2，‎ 解得a＝1； （3分）‎ ‎（2）证明：①由题意可得f′（x）＝0有两个不等的实根x1，x2，且0＜x1＜x2，‎ 设g（x）＝lnx+1+2ax，g′（x）＝+2a，x＞0．‎ 当a≥0，则g′（x）＞0，g（x）在（0，+∞）递增，不合题意；‎ 当a＜0时，g′（x）＞0解得x＜﹣，g′（x）＜0解得x＞﹣，‎ 即有g（x）在（0，﹣）递增，在（﹣，+∞）递减．‎ 即有g（﹣）＝ln（﹣）＞0，解得﹣＜a＜0； （7分）‎ ‎②由上可知，f（x）在（x1，x2）递增，即有f（x2）＞f（x1），‎ f′（1）＝g（1）＝1+2a＞0，则x1∈（0，1），由①可得ax1＝，‎ 即有f（x1）＝x1lnx1+ax12＝（x1lnx1﹣x1），‎ 设h（x）＝（xlnx﹣x），0＜x＜1，‎ h′（x）＝lnx＜0在（0，1）恒成立，‎ 故h（x）在（0，1）递减，故h（x）＞h（1）＝﹣，‎ 由此可得f（x1）＞﹣，‎ 综上可得，f （x2）＞f （x1）＞． （12分）‎