2019-2020学年湖北省荆门市龙泉中学高一上学期期中数学试题（解析版）

2019-2020学年湖北省荆门市龙泉中学高一上学期期中数学试题（解析版）

‎2019-2020学年湖北省荆门市龙泉中学高一上学期期中数学试题 一、单选题 ‎1．将集合 表示成列举法，正确的是(　　)‎ A．{2，3} B．{(2，3)}‎ C．{x＝2，y＝3} D．(2，3)‎ ‎【答案】B ‎【解析】集合表示的是方程组的解构成的集合，其中的元素是数对，且只有一个元素，所以选B .‎ 点睛：本题考查了集合的描述法，属于中档题 .当集合是描述法的形式给出时，一定要注意理解集合中的元素，首先分清是数还是数对（点），其次要看清楚元素的特征性质，在判断元素与集合关系时，必须把握住，在改变集合写法时，必须保证集合相等 .‎ ‎2．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】先求解集合,然后根据选项确定正确答案.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，即；，，故选：A.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查集合的运算，属于简单题目，化简集合为最简形式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎3．设是全集的子集,,则满足的的个数是（ ）‎ A．5 B．4 C．3 D．2‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：A，B是全集I={1，2，3，4}的子集，A={l，2}，则满足A⊆B的B为：{1，2}，{1，2，3}，{1，2，4}，{1，2，3，4}．‎ ‎【考点】集合的子集 ‎4．下列各式中错误的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】构造基本初等函数，结合函数的单调性判断.‎ ‎【详解】‎ 函数为增函数，所以，故选项A正确；‎ 函数为增函数，所以，故选项B正确；‎ 函数为减函数，所以，故选项C正确；‎ 函数为减函数，所以，故选项D错误.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数式和对数式的大小比较，构造合适的函数是求解的主要策略，结合函数的单调性可得，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎5．某同学家门前有一笔直公路直通长城，星期天，他骑自行车匀速前往旅游，他先前进了，觉得有点累，就休息了一段时间，想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了, 当他记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进. 则该同学离起点的距离与时间的函数关系的图象大致为（ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析：本题根据运动变化的规律即可选出答案．依据该同学出门后一系列的动作，匀速前往对应的图象是上升的直线，匀速返回对应的图象是下降的直线，等等，从而选出答案．‎ 解答：解：根据他先前进了akm，得图象是一段上升的直线，‎ 由觉得有点累，就休息了一段时间，得图象是一段平行于t轴的直线，‎ 由想想路途遥远，有些泄气，就沿原路返回骑了bkm（b＜a），得图象是一段下降的直线，‎ 由记起诗句“不到长城非好汉”，便调转车头继续前进，得图象是一段上升的直线，‎ 综合，得图象是C，‎ 故选C．‎ 点评：本小题主要考查函数的图象、运动变化的规律等基础知识，考查数形结合思想．属于基础题．‎ ‎6．·=（ ）‎ A． B． C．1 D．2‎ ‎【答案】C ‎【解析】利用对数的运算公式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数的运算，熟记对数的运算法则及公式是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎7．已知，且，则的值为（ ）‎ A．4 B．0 C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据，以及函数解析式的特点可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 因为，所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用，根据解析式的特点，得到是定值是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养.‎ ‎8．若函数的定义域是[0，4]，则函数的定义域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】先根据抽象函数的定义域，求出的定义域，结合分式，可得选项.‎ ‎【详解】‎ 因为的定义域是[0，4]，所以，即；由于，所以，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数定义域的求解，抽象函数的定义域的求解策略是整体代换，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ ‎9．已知函数满足对任意都有成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】根据可得为增函数，结合分段函数的特点可得.‎ ‎【详解】‎ 因为任意都有成立，‎ 所以为增函数，所以有 解之得，故选：C.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数单调性的应用，分段函数是单调函数，首先要保证每一段内为增函数，其次还要保证函数断点处也要“单调”，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎10．若变量x，y满足|x|﹣ln0，则y关于x的函数图象大致是（　　）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由条件可得，显然定义域为，且过点，当时，是减函数，即可选出答案 ‎【详解】‎ 若变量满足，则，显然定义域为，且过点，故排除 再根据当时，是减函数，排除 故选 ‎【点睛】‎ 本题主要考查的是指数式与对数式的互化，指数函数的图象和性质的综合运用，以及函数的定义域，值域，单调性，函数恒过定点问题，属于基础题。‎ ‎11．设函数 ，则使得成立的的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先根据函数解析式的特点，判定函数为偶函数，且时为减函数，结合函数特征可得.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以函数为偶函数；‎ 因为时，函数，均为减函数，所以为减函数；‎ 因为，所以，解得，故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数性质的综合应用，根据解析式的特点，判定函数的奇偶性和单调性是求解的关键，然后根据性质可以求解不等式，切记不要代入求解，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎12．设函数，(且)，表示不超过实数的最大正数，则函数的值域是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】先化简和，然后根据解析式的特点可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ ‎.‎ 因为,所以，‎ 当时，，，‎ 此时，，；‎ 当时，；‎ 当时，，，‎ 此时，，；‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数型函数值域的求解，先化简解析式是求解的前提，然后结合指数函数的性质可求，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.‎ 二、填空题 ‎13．已知函数如表，则______‎ x ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ f(x)‎ ‎3‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】从内到外逐层求解，结合表格呈现的对应关系可得.‎ ‎【详解】‎ 由表格可得，，所以，故答案为：3.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的表示方法，列表法也是函数关系呈现的一种常用方法，表格能清晰的呈现函数的对应关系，多层函数求解问题，一般是从内到外逐层求解.‎ ‎14．已知，则_________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求解，从而可得 进而可得结果.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 设，则，‎ 所以，‎ 所以，即.故答案为：.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数的表示方法，观察解析式的特点，利用解析式存在的内在关系求解能简化过程，侧重考查数学运算和逻辑推理的核心素养.‎ ‎15．一个驾驶员喝了少量酒后，血液中的酒精含量迅速上升到mg/mL，在停止喝酒后，血液中的酒精含量以每小时25%的速度减少．为了保障交通安全，规定驾驶员血液中的酒精含量不得超过mg/mL，那么这个驾驶员至少要经过________小时才能开车．(精确到1小时，参考数据).‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】由题意列血液中的酒精含量与时间的关系式，利用题目所给数值计算得答案．‎ ‎【详解】‎ 设经过小时后才能开车，‎ 由题意得，‎ ‎，‎ ‎，‎ 解得，‎ 故至少经过5小时才能开车．‎ 故答案为：5．‎ ‎【点睛】‎ 本题考查函数解析式的求解及常用方法，考查指数不等式的解法，是基础题．‎ ‎16．(e为自然对数的底数)，且，其中是奇函数，为偶函数，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】先求解，结合是奇函数，为偶函数，可求.‎ ‎【详解】‎ 因为，所以，‎ 由于是奇函数，为偶函数，所以，‎ 两式联立可得.‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用，利用奇偶性求解函数的解析式，通常采用构造函数的方法进行，侧重考查数学抽象的核心素养.‎ 三、解答题 ‎17．（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎【答案】（1）100;（2）1‎ ‎【解析】（1）先把带分数化为假分数，结合指数的运算规则求解；‎ ‎（2）先利用立方和公式化简，结合可求.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）原式===100；‎ ‎（2）原式=‎ ‎==+=1.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查指数和对数的运算，明确指数和对数的运算规则是求解的关键，切记不要自己创造一些“公式”，侧重考查数学运算的核心素养，同时也对公式的记忆提出了要求.‎ ‎18．已知函数，且 ‎（I）求实数的值及函数的定义域；‎ ‎（II）判断函数在上的单调性，并用定义加以证明.‎ ‎【答案】（I）；（II）详见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）由，代入，求得，即可得到函数的解析式和定义域；‎ ‎ （2）由（1）求出函数的解析式，利用定义法，即可证明函数的单调性.‎ 试题解析：‎ ‎ (I)解:,,‎ ‎,定义域为:.‎ ‎(II)证明:设,‎ ‎,‎ ‎,,在上是增函数.‎ ‎【考点】函数的单调性的判定与证明；函数的定义域.‎ ‎19．已知函数．‎ ‎（1）当=0时，画出函数的简图，并指出的单调区间； ‎ ‎（2）若方程有4个不等的实根，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）图见解析，增区间为[0，1]、[2，+∞）；减区间为（－∞，0）、（1，2）（2）0＜a＜1．‎ ‎【解析】（1）先去掉绝对值符号，把含有绝对值的函数转化为分段函数，分段作图可得，结合图象可求单调区间；‎ ‎（2）结合函数的图象，观察可求.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）当a=0时，函数 ‎ 图象如图所示:‎ 由函数的图象可得的增区间为[0，1]、[2，+∞）；减区间为（－∞，0）、（1，2）.‎ ‎（2）若方程有4个不等的实根 即函数的图象和直线y=a有4个交点，‎ 结合（1）中函数的图象可得0＜a＜1．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数图象的应用，作图、识图、用图是常考的三个方面，含有绝对值的函数一般是转化为分段函数处理，侧重考查直观想象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎20．已知函数（且）‎ ‎（1）求的定义域，并证明的奇偶性；‎ ‎（2）求关于x的不等式的解集．‎ ‎【答案】（1）；函数为奇函数，证明见解析；（2）见解析.‎ ‎【解析】（1）根据真数大于零，可求定义域，结合奇偶性的定义可以判定奇偶性；‎ ‎（2）先化简函数，分类讨论底数的情况，求解不等式.‎ ‎【详解】‎ 解:（1）根据题意，函数，‎ 则有，解得函数的定义域为；‎ 首先，定义域关于原点对称,‎ 则函数为奇函数. ‎ ‎（2）根据题意，即，‎ 当时，有，解可得，此时解集为； ‎ 当时，有，解可得，此时解集为； ‎ 故当时，不等式的解集为； ‎ 当时，不等式的解集为．‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数型函数的定义域、奇偶性及对数不等式的求解，含有对数符号的函数要保证真数大于零，奇偶性的判定主要利用定义法求解，对数不等式的求解策略是：先保证定义域，再化为同底数的函数，结合单调性可求，单调性不确定时，要注意分类讨论.‎ ‎21．已知函数, 关于的不等式的解集为，且.‎ ‎（1）求的值.‎ ‎（2）是否存在实数，使函数的最小值为？若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎【答案】（1）（2）存在，‎ ‎【解析】（1）先根据，求出不等式的解，结合可得的值；‎ ‎（2）利用换元法，把函数转化为二次函数，结合二次函数区间最值法求解.‎ ‎【详解】‎ 解：（1）由，又，所以，‎ 又因为的解集为，所以;‎ 因为，所以，解得或，‎ 因为，所以.‎ ‎（2）由（1）可得 ,‎ 令 ，则，设 ‎①当 时，在上单调递增，；‎ ‎②当时，在上单调递减，在上单调递增 ‎ ‎ ，解得，又，故 ‎③当时，在上单调递减， ，‎ 解得，不合题意. ‎ 综上，存在实数符合题意.‎ ‎【点睛】‎ 本题主要考查对数不等式的求解，函数的最值问题，先根据解析式求解解集，结合条件可求底数；复杂函数的最值问题的求解策略，一般是采用换元法，把复杂函数拆分为简单函数求解，换元时需要注意新元范围的变化，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎ ‎22．已知函数是定义在上的奇函数 ‎(1)求并求的值域；‎ ‎(2)若函数满足,若对任意且，不等式恒成立,求实数m的最大值．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】(1)利用奇函数的定义，得，结合恒成立可得值域问题可以利用分离常数项法求解；‎ ‎(2)先根据条件求出，利用换元法及基本不等式求解.‎ ‎【详解】‎ ‎（1）因为是奇函数,所以,所以 化简并变形得：‎ 要使上式对任意的x成立,则解得或 因为的定义域是,所以(舍去)‎ 即 ,‎ 所以 ‎ 由 法2：因为是上的奇函数,故 再由 ‎ 故，检验：，故是上的奇函数 故 ;‎ 则.‎ ‎（2）因为,所以, ‎ 所以．不等式恒成立,‎ 即恒成立,‎ 令,则,即在时恒成立． ‎ 又在上单调递增，故 所以, 故实数m的最大值为 ‎【点睛】‎ 本题主要考查函数奇偶性的应用、值域的求解及恒成立问题，已知函数奇偶性求解参数时，可以利用定义法或者特值法求解，复合型函数的值域一般是利用换元法求解，恒成立问题优先使用分离参数法求解，本题综合性较强，侧重考查数学抽象和逻辑推理的核心素养.‎