【数学】2020届一轮复习人教A版 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题 学案

【数学】2020届一轮复习人教A版 含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题 学案

‎ 专题六 不等式 问题一：含参数的不等式的恒成立、恰成立、能成立问题 一、考情分析 纵观近几年高考对于不等式综合问题的考查,主要有三类问题：恒成立问题、能成立问题以及恰成立问题,要求生有较强的推理能力和准确的计算能力,才能顺利解答．从实际教来看,这部分知识能力要求高、难度大,是生掌握最为薄弱,看到就头疼的题目．分析原因,除了这类题目的入手确实不易之外,主要是生没有形成解题的模式和套路,以至于遇到类似的题目便产生畏惧心理．‎ 二、经验分享 ‎(1)对于一元二次不等式恒成立问题，恒大于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象在给定的区间上全部在x轴下方．另外常转化为求二次函数的最值或用分离参数法求最值．‎ ‎(2)解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数，一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数．‎ ‎(3)根据不等式恒成立求参数问题，常用的方法是分类参数，转化为函数求最值．‎ 三、知识拓展 不等式的恒成立、能成立、恰成立问题 ‎(1)恒成立问题：若f(x)在区间D上存在最小值，则不等式f(x)>A在区间D上恒成立⇔f(x)min>A(x∈D)；‎ 若f(x)在区间D上存在最大值，则不等式f(x)A成立⇔f(x)max>A(x∈D)；‎ 若f(x)在区间D上存在最小值，则在区间D上存在实数x使不等式f(x)A恰在区间D上成立⇔f(x)>A的解集为D；‎ 不等式f(x)0,所以在上是增函数,由此可求得的值域是[0,],所以实数的取值范围是[0,].‎ ‎⑵解析：据题意：若存在,使得,即有解,故h(x)>,由⑴知h（x）=,于是得<.‎ 点评：在求不等式中的参数范围过程中,当不等式中的参数（或关于参数的式子）能够与其它变量完全分离出来并且分离后不等式其中一边的函数的最值或值域可求时,常用分离参数法.另外要注意方程有解与不等式有解的区别,方程有解常通过分离参数法转化为求函数值域问题,而不等式有解常通过分离参数法转化为求函数最值问题.‎ ‎⑶解析：对任意,恒有,即时恒成立,即,由⑵可知0.‎ 点评：比较⑵、 ⑶可知不等式恒成立和有解是有明显区别的,切不可混为一团.另外还要注意解决此类问题时参数能否取到端点值.以下充要条件应细心思考,甄别差异：‎ ‎①若值域为,则不等式恒成立；不等式有解；‎ ‎②若值域为,则不等式恒成立；若值域为则不等式恒成立.‎ ‎⑷解析：由题中条件可得的值域的值域,若对任意,恒有,即,即,所以.‎ 点评：⑶与 ⑷虽然都是不等式恒成立问题,但却有很大的区别, ⑶中不等式的左右两端函数的自变量相同,而⑷中不等式的左右两端函数的自变量不同,的取值在[0,2]上具有任意性.⑸解析：对任意,若存在,使得,即,由⑷可知即,所以.‎ 点评：设的最大值为,对任意,的条件,于是问题转化为存在,使得,因此只需的最小值大于即.‎ ‎⑹解析：对任意,若存在,使得,则,所以即 点评：因为对值域内的任一元素在定义域内必存在自变量与其对应,所以对任意,若存在,使得的充要条件是在的值域内,因此,的值域是的值域的子集.‎ ‎⑺解析：若存在,使得,则,即4,‎ 所以.‎ 点评：请将 ⑷、⑸、⑺仔细对比,体味任意与存在的区别.‎ ‎⑻解析：若存在使得,则,∴,∴实数的取值围是