江西省新余市第四中学2020届高三第一次联考数学（理）试卷
理科数学
第I卷(选择题 共60分)
一、选择题：(每小题5分，共60分。每小题所给出的四个选项只有一项是符合题意)
1.已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，集合B＝{x|()2>1}，则A∩B＝
A.(－∞，0) B.(2，＋∞) C.(－∞，－1) D.(0，＋∞)
2.i为虚数单位，a为正实数，若复数z＝为纯虚数，则a＝
A.1 B. C. D.2
3.已知实数a＝2ln2，b＝2＋2ln2，c＝(ln2)2，则a，b，c的大小关系是
A.c
0，b>0，a＋2b＝3。
证明：(1)a2＋b2≥；(2)a3b＋4ab3≤。
理科数学试题（答案）
一、 选择题 CCDBA BBACB BD. 13．1； 14．；15．3；16．
12.如图．是边中点，是边中点，∵，∴是外心，作，∵平面，∴平面，∴，
取，易得，∴是三棱锥的外接球的球心。
是中点，则，，∴，∵，∴，∴，设，则，，又，∴，
过且与垂直的截面圆半径为，则，这是最小的截面圆半径，最大的截面圆半径等于球半径，
16.，两式相减可得： ，又由于，得
故：
17.（1）证明：由正弦定理得：……………2分
，………………………………4分
所以成等比数列……………………………………………6分
（2）由……8分
由余弦定理得：，又，所以……………………10分
于是得：……………………………………11分
所以的周长为.…………………………………………………………12分
18解：（1）依题意可得：，
分别取线段的中点，连接的三边，
则，，而为梯形的中位线，
有，，……………2分
且，故：………………3分
，且不与平行，
综上所述，…………5分
（2）过点作与平行线作轴，分别以为轴建立空间直角坐标系
则，，，………………6分
，，………………7分
设向量，则有令，得：……8分
同理：平面的法向量,得，…………10分
故：二面角的余弦值………………12分
19．解：（1）所有可能的取值为0，1，2，3，4，5，6. ………1分
， ，
， ，
， ，
，………3分（注：此步骤中，写对任意一个可得1分，全对得2分）
∴的分布列为
0
1
2
3
4
5
6
……………………5分
（2）选择延保方案一，所需费用元的分布列为：
7000
9000
11000
13000
15000
P
…………7分（注：此步骤中，取值全对可得1分）
(元). …………8分
选择延保方案二，所需费用元的分布列为：
10000
11000
12000
P
…………10分（注：此步骤中，取值全对可得1分）
(元). ………………………11分
∵，∴该医院选择延保方案二较合算. ……………………12分
20. 解：
（1）如图三角形中，，所以，
所以，
所以点的轨迹是以，为焦点，长轴为4的椭圆（不包含实轴的端点），………………2分
所以点的轨迹的方程为.………………4分
注：答轨迹为椭圆，但方程错，给3分；不答轨迹，直接写出正确方程，得4分（未写出，这次不另外扣分）.
（2）如图，设，，可设直线方程为，则，………………5分
由可得，，，………6分
，，，，
，………………8分
因为………………10分
，所以为定值.………………12分
21解：
（1）当时，，………………1分
令得 故：的增区间为；减区间为………………3分
所以当x=0时，f(x)的极小值为-1，无极大值。…………4分
（2）方程等价于或…………5分
记函数，在上递减，上递增
且当，，故：要使存在三零点，
则需，方程在区间和内各有一根，…………6分
满足①，②，且
设，则联立方程①②，得：…………7分
代入，得：
…………8分
记函数，…………10分
对于，当时，
且恒成立，故：当时，，单增
所以当时，取得最大值…………12分
22.【解】（1），平方后得，…………2分
又，的普通方程为．…………3分
，即，…………4分
将代入即可得到．…………5分
（2）将曲线化成参数方程形式为（为参数），…………6分
则，其中，…………8分
所以．…………10分
23. 证明：
（1） 表示点P（a,b）到原点的距离的平方，而原点到直线的距离为，
∴；…………5分
（2）∵，∴，，…………6分
，…………8分
易知时，取得最大值．∴．…………10分
