重庆市南开中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

重庆市南开中学2018-2019学年高二下学期期末考试数学（理）试题

重庆市南开中学高2020级高二（下）期末考试理科数学 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分.‎ ‎1.已知集合，或，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先解绝对值不等式，从而利用“并”运算即可得到答案.‎ ‎【详解】根据题意得，等价于，解得，‎ 于是，故答案为C.‎ ‎【点睛】本题主要考查集合与不等式的综合运算，难度不大.‎ ‎2.设随机变量 ，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据正态分布的对称性即可求得答案.‎ ‎【详解】由于，故，则，故 答案为A.‎ ‎【点睛】本题主要考查正态分布的概率计算，难度不大.‎ ‎3.复数满足，且在复平面内对应的点在第四象限，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先化简，通过所对点在第四象限建立不等式组，得到答案.‎ ‎【详解】根据题意得，，因为复平面内对应的点 在第四象限，所以，解得，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查复数的四则运算，复数的几何意义，难度不大.‎ ‎4.已知，若的展开式中各项系数之和为，则展开式中常数项为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过各项系数和为1，令可求出a值，于是可得答案.‎ ‎【详解】根据题意， 在中，令，则，而，故，所以展开式中常数项为，故答案为B.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项式定理，注意各项系数之和和二项式系数和之间的区别，意在考查学生的计算能力，难度不大.‎ ‎5.在极坐标系中，圆的圆心的极坐标为（　　）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ 由圆，化为，∴，‎ 化为，‎ ‎∴圆心为，半径r=．‎ ‎∵tanα=，取极角，‎ ‎∴圆的圆心的极坐标为．‎ 故选A．‎ ‎6.从2017年到2019年的3年高考中，针对地区差异，理科数学全国卷每年都命了套卷，即：全国I卷，全国II卷，全国III卷.小明同学马上进入高三了，打算从这套题中选出套体验一下，则选出的3套题年份和编号都各不相同的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先计算出套题中选出套试卷的可能，再计算3套题年份和编号都各不相同的可能，通过古典概型公式可得答案.‎ ‎【详解】通过题意，可知从这套题中选出套试卷共有种可能，而3套题年份和编号都各不相同共有种可能，于是所求概率为.选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度不大.‎ ‎7.如图阴影部分为曲边梯形，其曲线对应函数为，在长方形内随机投掷一颗黄豆，则它落在阴影部分的概率是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过定积分可求出空白部分面积，于是利用几何概型公式可得答案.‎ ‎【详解】由题可知长方形面积为3，而长方形空白部分面积为：，‎ 故所求概率为，故选D.‎ ‎【点睛】本题主要考查定积分求几何面积，几何概型的运算，难度中等.‎ ‎8.已知，，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先可换元，，通过再利用基本不等式即可得到答案.‎ ‎【详解】由题意，可令，，则，，于 ‎，而，‎ ‎，故的最小值为，‎ 故答案为D.‎ ‎【点睛】本题主要考查基本不等式的综合应用，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.‎ ‎9.命题：“关于x的方程的一个根大于，另一个根小于”；命题：“函数的定义域内为减函数”.若为真命题，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 通过分析命题为假命题只能真，于是可得到答案.‎ ‎【详解】命题真等价于即；由于的定义域为，故命题为假命题，而为真命题，说明真，故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查命题真假判断，意在考查学生的转化能力，逻辑推理能力，分析能力，难度中等.‎ ‎10.2019年高考结束了，有为同学（其中巴蜀、一中各人，八中人）高考发挥不好，为了实现“南开梦”来到南开复读，现在学校决定把他们分到三个班，每个班至少分配位同学，为了让他们能更好的融入新的班级，规定来自同一学校的同学不能分到同一个班，则不同的分配方案种数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先先计算出所有的可能分组情况，从而计算出分配方案.‎ ‎【详解】设这五人分别为,若A单独为一组时，只要2种分组方法；若A组含有两人时，有种分组方法；若A组含有三人时，有种分组情况；于是共有14种分组方法，所以分配方案总数共有,故选A.‎ ‎【点睛】本题主要考查排列组合的综合应用，意在考查学生的分析能力，分类讨论能力，‎ 计算能力，难度中等.‎ ‎11.给出下列四个说法：①命题“都有”的否定是“使得”；②已知，命题“若，则”的逆命题是真命题；③是的必要不充分条件;④若为函数的零点，则，其中正确的个数为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对于①②③④分别依次判断真假可得答案.‎ ‎【详解】对于①，命题“都有”的否定是“使得”，故①错误；对于②，命题“若，则”的逆命题为“若，则”正确；对于③，若则，若则或，因此是的充分不必要条件，故③错误；对于④，若为函数，则 ‎，即，可令，则，故为增函数，令，显然为减函数，所以方程至多一解，又因为时，所以，则④正确，故选C.‎ ‎【点睛】本题主要考查真假命题的判断，难度中等.‎ ‎12.已知函数，若有最小值，则实数 的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 分析】‎ 求出原函数的导函数，函数有最小值，则导函数在小于0有解，于是转化为斜率问题求解得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，得，若有最小值，即在 上先递减再递增，即在先小于0，再大于0，令，得：，‎ 令，只需的斜率大于过的的切线的斜率即可，设切点为，则切线方程为：，将代入切线方程得：，故切点为，切线的斜率为1，只需即可，解得：，故答案为C.‎ ‎【点睛】本题主要考查函数的最值问题，导函数的几何意义，意在考查学生的转化能力，分析能力及计算能力，难度较大.‎ 二、填空题：本大题4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知集合，则实数的取值范围是_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过，即可得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，，则，所以实数的取值范围是.‎ ‎【点睛】本题主要集合交的运算，难度较小.‎ ‎14.一个袋子里装有大小形状完全相同的个小球，其编号分别为甲、乙两人进行取球，甲先从袋子中随机取出一个小球，若编号为，则停止取球；若编号不为，则将该球放回袋子中。由乙随机取出个小球后甲再从袋子中剩下的个小球随机取出一个，然后停止取球，则甲能取到号球的概率为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过分析，先计算甲在第一次取得编号为1的概率，再计算甲在第二次取得编号为 ‎1的概率，两者相加即为所求.‎ ‎【详解】甲在第一次取得编号为1概率为；甲在第二次取得编号为1的概率为 ‎，于所求概率为，故答案为.‎ ‎【点睛】本题主要考查概率的相关计算，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度中等.‎ ‎15.已知集合，若则集合所有可能的情况有_________种.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过确定X,Y,Z的子集，利用乘法公式即可得到答案.‎ ‎【详解】根据题意，可知，由于，可知Z共有 种可能，而有4种可能，故共有种可能，所以答案为128.‎ ‎【点睛】本题主要考查子集相关概念，乘法分步原理，意在考查学生的分析能力，计算能力，难度较大.‎ ‎16.已知函数在处切线方程为,若对恒成立，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出切线方程，则可得到，令，从而转化为在R上恒为增函数，利用导函数研究单调性即可得到答案.‎ ‎【详解】根据题意得，故切线方程为，即 ‎，令，此时，由于对恒成立，转化为 ‎，则在R上恒为增函数，，此时，而，当时，，当时，，于是在处取得极小值，此时，而在R上恒为增函数等价于在R上恒成立，即即可，由于为极小值，则此时只能，故答案为2.‎ ‎【点睛】本题主要考查导函数的几何意义，利用导函数求函数极值，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度思维较大.‎ 三、解答题：本大题共70分.‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.某校为了了解学生对电子竞技的兴趣，从该校高二年级的学生中随机抽取了人进行检查，已知这人中有名男生对电子竞技有兴趣，而对电子竞技没兴趣的学生人数与电子竞技竞技有兴趣的女生人数一样多，且女生中有的人对电子竞技有兴趣.‎ 在被抽取的女生中与名高二班的学生，其中有名女生对电子产品竞技有兴趣，先从这名学生中随机抽取人，求其中至少有人对电子竞技有兴趣的概率；‎ 完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为“电子竞技的兴趣与性别有关”.‎ 有兴趣 没兴趣 合计 男生 女生 合计 参考数据： ‎ 参考公式：‎ ‎【答案】；列联表见解析，没有.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）计算出从名学生中随机抽取人的可能，再计算出抽到的人中至少有人对电子竞技有兴趣的可能，利用古典概型公式即得答案；‎ ‎（2）先填写列联表，然后计算，与比较大小即可得到答案.‎ ‎【详解】从名学生中随机抽取人，共有种不同的抽取方案；抽到的人中至少有人对电子竞技有兴趣的方案数有：种 抽取人中至少有人对电子竞技有兴趣的概率为.‎ 设对电子竞技没兴趣的学生人数为，‎ 对电子竞技没兴趣的学生人数与对电子竞技有兴趣的女生人数一样多 由题，解得.‎ 又女生中有的人对电子竞技有兴趣，‎ 女生人数为 男生人数为，其中有人对电子竞技没兴趣 得到下面列联表 ‎ 没用的把握认为“对电子竞技的兴趣与性别有关”.‎ ‎【点睛】本题主要考查古典概型，独立性检验统计案例，意在考查学生的计算能力，‎ 分析能力，难度不大.‎ ‎18.某校20名同学的数学和英语成绩如下表所示：‎ 将这20名同学的两颗成绩绘制成散点图如图：‎ 根据该校以为的经验，数学成绩与英语成绩线性相关.已知这名学生的数学平均成绩为 ‎，英语平均成绩，考试结束后学校经过调查发现学号为的同学与学号为的同学（分别对应散点图中的）在英语考试中作弊，故将两位同学的两科成绩取消.‎ 取消两位作弊同学的两科成绩后，求其余同学的数学成绩与英语成绩的平均数；‎ 取消两位作弊同学的两科成绩后，求数学成绩x与英语成绩y的线性回归直线方程，并据此估计本次英语考试学号为8的同学如果没有作弊的英语成绩.（结果保留整数）‎ 附：位同学的两科成绩的参考数据：‎ 参考公式：‎ ‎【答案】90分；分.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 计算出剩下名学生的数学、英语成绩之和，于是求得平均分；‎ 可先计算出，再利用公式可计算出线性回归方程，代入学号为的同学成绩，即得答案.‎ ‎【详解】由题名学生的数学成绩之和为，英语成绩之和为 取消两位作弊同学的两科成绩后，其余名学生的数学成绩之和为 其余名学生的英语成绩之和为 其余名学生的数学平均分，英语平均分都为；‎ 不妨设取消的两名同学的两科成绩分别为 数学成绩与英语成绩的线性回归方程 代入学号为的同学成绩，得 本次英语考试学号为的同学如果没有作弊，他的英语成绩估计为分.‎ ‎【点睛】本题主要考查平均数及方差，线性回归方程的相关计算，意在考查学生的转化能力，分析能力及运算技巧，难度中等.‎ ‎19.某地区举办知识竞答比赛，比赛共有四道题，规则如下：答题过程中不论何时，若选手出现两题答错，则该选手被淘汰分数记为，其它情况下，选手每答对一题得分，此外若选手存在恰连续3次答对题目，则额外加分，若次全答对，则额外加分.已知某选手每次答题的正确率都是，且每次答题结果互不影响.‎ 求该选手恰答对道题的概率；‎ 记为该选手参加比赛的最终得分，求的分布列与数学期望.‎ ‎【答案】；.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)通过二项分布公式即可得到概率；‎ ‎（2）可能的取值为，分别求出所求概率，于是得到分布列和数学期望.‎ ‎【详解】该选手每次答题的正确率都是，四道题答对的情况有种 恰答对道题的概率 由题可能的取值为 ‎，，‎ 的分布列如下 ‎.‎ ‎【点睛】本题主要考查二项分布的运用，数学期望与分布列的相关计算，意在考查学生的分析能力，转化能力，计算能力，难度中等.‎ ‎20.已知函数.‎ 证明：；‎ 已知，证明：.‎ ‎【答案】证明见解析；证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1) ，于是证明即可，左边可由所证得到；‎ ‎（2）即证，表示成含n的表达式，利用数学归纳法可证.‎ ‎【详解】令，则 在上单调递增，在上单调递减.‎ ‎，即①‎ 当时，‎ 由①可得，‎ 即，即 由可知 ‎②‎ 下面用数学归纳法证明 当时，，结论成立；‎ 假设时，结论成立，即；‎ 当时，‎ 设，其中，则 在上单调递增 又，数列单调递增，故 由归纳假设和中结论 时结论成立，即 结合②可得，‎ 即 ‎【点睛】本题主要考查利用导数证明不等式，数列与数学归纳法的运用，意在考查学生 的分析能力，转化能力，计算能力，难度较大.‎ ‎21.已知抛物线的焦点为，圆：与轴的一个交点为，圆的圆心为，为等边三角形.‎ 求抛物线的方程；‎ 设圆与抛物线交于两点，点为抛物线上介于两点之间的一点，设抛物线在点处的切线与圆交于两点，在圆上是否存在点，使得直线均为抛物线的切线，若存在求出点坐标（用表示）；若不存在，请说明理由.‎ ‎【答案】；存在,.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)由题意，从而求得抛物线方程；‎ ‎（2）设，可设出切线方程及，并设出过点的直线 与抛物线相切，从而联立抛物线知，同理，可表示过点N的切线，从而计算两直线相交的交点，于是可得答案.‎ ‎【详解】是等边三角形，‎ 原点为中点，半径 圆，半径，抛物线 设，过点作抛物线的两条切线（异于直线）交于点 ‎，并设切线，‎ 由替换法则，抛物线在点处的切线方程为 即记①‎ 设过点的直线与抛物线相切，代入抛物线方程得 ‎，即 根据韦达定理，‎ 由①可得， ②‎ 同理可得，‎ 切线③ ‎ ‎④‎ 联立与圆可得，‎ 韦达定理可得 ‎，‎ 联立③、④并代入可求得，代入③可求得 .‎ 所以 即切线的交点在圆上，故存在圆上一点满足均为抛物线的切线.‎ ‎【点睛】本题主要考查直线与抛物线的位置关系，意在考查学生的计算能力，分析能力，转化能力，难度较大.‎ ‎（二）选考题：共10分，请在第22、23任选一题作答.‎ ‎【选项4-4：坐标系与参数方程】‎ ‎22.在平面直角坐标系中,以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知圆的直角坐标方程为.‎ 求圆的极坐标方程；‎ 设圆与圆：交于两点，求.‎ ‎【答案】 ；4.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接通过即可得到答案；‎ ‎（2）可先求出圆的标准方程，求出两圆交点，于是可得答案.‎ ‎【详解】根据题意，可得圆的极坐标方程为：即；‎ 圆的直角坐标方程为：，联立，‎ 两式相减，可得，即代入第一条式子，可解得或，‎ 于是.‎ ‎【点睛】本题主要考查直角坐标方程和极坐标方程的互化，圆的交点计算，意在考查学生的转化能力，计算能力，难度中等.‎ ‎【选修4-5：不等式选讲】‎ ‎23.已知函数.‎ 求不等式的解集；‎ 若，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)可先将写成分段函数的形式，从而求得解集；‎ ‎（2）等价于，令，故即可，从而求得答案.‎ ‎【详解】（1）根据题意可知：，当时，即，‎ 解得；当时，即，解得；当时，即 ‎，解得.综上，不等式的解集为；‎ ‎（2）等价于，令，故 即可，①当时，，此时；②当 时，，此时；当时，，‎ 此时；综上所述，，故，即实数的取值范 围是.‎ ‎【点睛】本题主要考查绝对值不等式的求解，含参恒成立问题，意在考查学生的分析能力，计算能力及分类讨论能力，难度中等.‎ ‎ ‎