【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题15外接球与内切球学案

【数学】2018届一轮复习人教A版（文）专题15外接球与内切球学案

专题十五 外接球与内切球 ‎【球的定义】‎ 第一定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体叫球体，简称球。 半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径。  第二定义：球面是空间中与定点的距离等于定长的所有点的集合。‎ ‎【球的截面与大圆小圆】‎ 截面：用一个平面去截一个球，截面是圆面；  大圆：过球心的截面圆叫大圆，大圆是所有球的截面中半径最大的圆。  球面上任意两点间最短的球面距离：是过这两点大圆的劣弧长；  小圆：不过球心的截面圆叫小圆。 ‎ ‎【球的截面的性质】‎ 性质1：球心和截面圆心的连线垂直于截面； 性质2：球心到截面的距离d与球的半径R及截面的半径r有如下关系：r2=R2-d2. ‎ ‎【球的表面积与体积】‎ 球的体积公式：V球=；球的表面积： ‎ 求球的表面积和体积的关键：由球的表面积和体积公式可知，求球的表面积和体积的关键是求出半径。‎ 常用结论：1.若球的表面积变为原来的2倍,则半径变为原来的倍. 2.若球半径变为原来的2倍，则表面积变为原来的4倍.3.若两球表面积之比为1:2，则其体积之比是.4.若两球体积之比是1:2，则其表面积之比是.‎ ‎【外接球问题】‎ 简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径尺或确定球心0的位置问题，其中球心的确定是关键．‎ ‎1. 由球的定义确定球心。在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．‎ 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论:‎ 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．‎ 结论5‎ ‎：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．‎ ‎2.构造正方体或长方体确定球心。长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．‎ 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．‎ ‎3. 由性质确定球心。利用球心O与截面圆圆心O1的连线垂直于截面圆及球心O与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．‎ ‎【内切球问题】‎ 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球。‎ ‎1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等。2、正多面体的内切球和外接球的球心重合。3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合。4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理。5、体积分割是求内切球半径的通用做法。‎ ‎【2017年高考全国Ⅱ卷，文15】‎ 长方体的长，宽，高分别为，其顶点都在球的球面上，则球的表面积为 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】球的直径是长方体的体对角线，所以 ‎【考点】球的表面积 ‎【点拨】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解． ‎ 答题思路 ‎【命题意图】主要考查球与几何体的切接问题及空间想象能力、计算求解能力，考查函数与方程思想、等价转换思想在解题中的应用．‎ ‎【命题规律】简单多面体外接球问题是立体几何中的难点和重要的考点，此类问题实质是解决球的半径长或确定球心的位置问题，其中球心的确定是关键．‎ ‎【答题模板】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解．‎ ‎【方法总结】‎ 解决外接球与内切球问题，关键在于解决球体的半径，明确球心位置，以下为确定球心位置与半径的常用方法：‎ 一、外接球问题 ‎（一）  由球的定义确定球心 在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．‎ 由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．‎ 结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．‎ 结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．‎ 结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．‎ 结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．‎ 结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．‎ ‎（二）构造正方体或长方体确定球心 长方体或正方体的外接球的球心是在其体对角线的中点处．以下是常见的、基本的几何体补成正方体或长方体的途径与方法．‎ 途径1：正四面体、三条侧棱两两垂直的正三棱锥、四个面都是是直角三角形的三棱锥都分别可构造正方体．‎ 途径2：同一个顶点上的三条棱两两垂直的四面体、相对的棱相等的三棱锥都分别可构造长方体和正方体．‎ 途径3：若已知棱锥含有线面垂直关系，则可将棱锥补成长方体或正方体．‎ 途径4：若三棱锥的三个侧面两两垂直，则可将三棱锥补成长方体或正方体．‎ ‎（三） 由性质确定球心 利用球心与截面圆圆心的连线垂直于截面圆及球心与弦中点的连线垂直于弦的性质，确定球心．‎ 二、内切球问题 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球．‎ ‎1、内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面体各顶点的距离均相等．‎ ‎2、正多面体的内切球和外接球的球心重合．‎ ‎3、正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不重合．‎ ‎4、基本方法：构造三角形利用相似比和勾股定理．‎ ‎5、体积分割是求内切球半径的通用做法．‎ ‎1．【2017年高考全国Ⅰ卷，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径．若平面SCA⊥平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【点拨】‎ 形所在平面的直线上任一点到多边形的顶点的距离相等，然后同样的方法找到另一个多边形的各顶点距离相等的直线（这两个多边形需有公共点），这样两条直线的交点，就是其外接球的球心，再根据半径，顶点到底面中心的距离，球心到底面中心的距离，构成勾股定理求解，有时也可利用补体法得到半径，例：三条侧棱两两垂直的三棱锥，可以补成长方体，它们是同一个外接球．‎ ‎2．【2017年高考全国Ⅲ卷，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】如果，画出圆柱的轴截面，‎ ‎，所以，那么圆柱的体积是，故选B.‎ ‎【考点】圆柱体积 ‎【点拨】涉及球与棱柱、棱锥的切、接问题时，一般过球心及多面体中的特殊点(一般为接、切点)或线作截面，把空间问题转化为平面问题，再利用平面几何知识寻找几何体中元素间的关系，或只画内切、外接的几何体的直观图，确定球心的位置，弄清球的半径(直径)与该几何体已知量的关系，列方程(组)求解.‎ ‎3.【2017年高考天津卷，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .‎ ‎【答案】 ‎ ‎【考点】球与几何体的组合体 ‎【点拨】正方体与其外接球的组合体比较简单，因为正方体的中心就是外接球的球心，对于其他几何体的外接球，再找球心时，注意球心到各个顶点的距离相等，1.若是柱体，球心肯定在中截面上，再找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线与中截面的交点就是球心，2.若是锥体，可以先找底面外接圆的圆心，过圆心做底面的垂线，再做一条侧棱的中垂线，两条直线的交点就是球心，构造平面几何关系求半径，3.若是三棱锥，三条侧棱两两垂直时，也可补成长方体，长方体的外接球就是此三棱锥的外接球，这样做题比较简单. ‎ ‎4．【2017陕西汉中二模】如图中的三个直角三角形是一个体积为的几何体的三视图，则该几何体外接球的面积（单位： ）等于 ( )． ‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎5．【2017湖南娄底二模】在体积为的球内有一个多面体，该多面体的三视图是如图所示的三个斜边都是的等腰直角三角形，则的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由多面体的三视图知该多面体是如图所示的三棱锥， ，且，当球是这个三棱锥的外接球时其体积最小，将这个三棱锥补成正方体，其外接球的直径就是正方体的对角线，所以，故选B．‎ ‎【点拨】1．解答此类题目的关键是由多面体的三视图想象出空间几何体的形状并画出其直观图．‎ ‎2．三视图中“正侧一样高、正俯一样长、俯侧一样宽”，因此，可以根据三视图的形状及相关数据推断出原几何图形中的点、线、面之间的位置关系及相关数据．‎ ‎6．【2017福建4月质检】已知三棱锥的三条侧棱两两互相垂直，且，则此三棱锥的外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎7．【2017四川宜宾二诊】三棱锥内接于半径为的球， 过球心，当三棱锥体积取得最大值时，三棱锥的表面积为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】 由题意得，当底面为等腰直角三角形，且底面时，‎ 此时三棱锥的体积最大，‎ 所以在等腰直角中， ，且，‎ 所以面积为，‎ 所以的面积为，‎ 其中和为边长为的等边三角形，‎ 此时面积为，‎ 此时三棱锥的表面积为，故选D．‎ ‎8．【2017安徽马鞍山三模】已知△的顶点都在半径为的球的球面上，球心到平面的距离为， ，则球的体积是（ 　 ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【点拨】本题考查了球与几何体的组合体问题，考查了空间想象能力以及计算能力，球心与截面圆的圆心连线垂直于截面，所以很多求球心问题，可先找底面多边形的外接圆的圆心，过圆心垂直于多边形的直线必过球心，然后再利用球心到所有顶点的距离相等的性质和构造直角三角形求球的半径．‎ ‎9．【2017福建三明5月质检】已知球的半径为1， 是球面上的两点，且，若点是球面上任意一点，则的取值范围是（　）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由球的半径为1， 是球面上的两点，且，可得 ‎ ， ‎ ‎ ‎ ‎ ，故选B．‎ ‎【点拨】本题主要考查向量的基本运算、向量的数量积以及求变量范围问题，属于难题．求求变量范围问题的常见方法有①配方法；②换元法；③不等式法；④单调性法；⑤图像法；⑥三角函数有界性，本题先根据向量数量积的运算即将表示成关于 的函数后运用方法⑥解答的．‎ ‎10．【2017黑龙江哈师大附中三模】已知三棱锥的四个顶点均在同一个球面上，底面满足， ，若该三棱锥体积的最大值为3，则其外接球的体积为（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎11．【2017辽宁考前模拟】正四面体的棱长为4， 为棱的中点，过作此正四面体的外接球的截面，则截面面积的最小值是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】 将四面体放置在正方体中，如图所示，可得正方体的外接球就是四面体的外接球，‎ 因为正四面体的棱长为4，所以正方体的棱长为，可得外接球的半径满足 ‎，即，又为的中点，过作其外接球的截面，当截面到球心的距离最大时，此时截面圆的面积最小，此时球心到截面的距离等于正方体棱长的一半，可得截面圆的半径为，得到截面圆的面积的最小值为，故选A．‎ ‎12．【2017河北唐山三模】直角的三个顶点都在球的球面上， ，若球的表面积为，则球心到平面的距离等于__________．‎ ‎【答案】1‎ ‎13．【2017安徽阜阳二模】已知是球面上不共面的四点， ‎ ‎，平面平面，则此球的体积为_________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】解：如图所示，设球心坐标为 ，连结 ，交 于点 ，连结 ，‎ 由题意可知： ，设球的半径 ，由题意得方程：‎ ‎ ，解得： ，此球的体积为： ‎ ‎14.【2016全国Ⅱ，文4】体积为8的正方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ‎（A） （B） （C） （D）‎ ‎【答案】A ‎【考点】 正方体的性质，球的表面积 ‎【点拨】与棱长为的正方体相关的球有三个： 外接球、内切球和与各条棱都相切的球，其半径分别为、和．‎ ‎15.【2016年高考全国Ⅲ卷，文11】在封闭的直三棱柱内有一个体积为V的球.若，，，，则V的最大值是 ‎（A）4π （B） （C）6π （D） ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 试题分析：要使球的体积最大，必须球的半径最大．因为△ABC的内切圆的半径为2，且AA1=3，所以由题意易知球与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B．‎ ‎【考点】三棱柱的内切球、球的体积 ‎【点拨】立体几何的最值问题通常有三种思考方向：（1）根据几何体的结构特征，变动态为静态，直观判断在什么情况下取得最值；（2）将几何体平面化，如利用展开图，在平面几何图中直观求解；（3）建立函数，通过求函数的最值来求解．‎