2019学年高二数学上学期期中试题 文（火箭班） 人教版 新版

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‎2019学年高二上学期期中考试 数学（文）试题 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1．已知集合，，则（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎2．已知实数满足，则（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎3．下列函数中，既是奇函数，又在上是增函数的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．“直线的倾斜角大于”是“”的（ ）‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎5．将函数的图象上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的，得到函数的图象，再将函数的图象向右平移个单位，得到函数的图象，则 A． B． C． D．‎ ‎6．长方体的一个顶点上的三条棱长分别为3，2，，其顶点都在表面积为的球的球面上，则（ ）‎ A． B． C．2 D．‎ ‎7．已知正项等比数列满足，且，则数列的前项和为（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．记表示不超过的最大整数，如.执行如图所示的程序框图，输出 - 10 -‎ 的值是（ ）‎ A．4 B．5 C．6 D．7‎ ‎9．已知在抛物线的焦点到准线的距离为2，过点且倾斜角为6的直线与抛物线交于两点，若，垂足分别为，则的面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎10．如图所示，网格纸上小正方形的边长为1，图中画出的是某几何体的三视图，则该集合体的表面积为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎11．已知直线：截圆：所得的弦长为，点在圆上，且直线：过定点，若，则 - 10 -‎ 的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎12．若存在使得不等式成立，则实数的取值范围为（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ 二、填空题（每题4分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．现有2名喜爱综艺类节目的男生和3名不喜爱综艺类节目的男生，在5人中随机抽取2人进行深入调研，则这2人中恰有1人喜爱综艺类节目的概率为 .‎ ‎14．已知函数，当时，函数的最小值与最大值之和为 . ‎ ‎15．已知实数满足，则的最小值为 .‎ ‎16．设为数列的前项和，，若，则 . ‎ 三、解答题 （本大题共6题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） ‎ ‎17．已知中，角所对的边分别是，的面积为，且，.（1）求的值；‎ ‎（2）若，求的值.‎ ‎18．随着科技的发展，手机成为人们日常生活中必不可少的通信工具，现在的中学生几乎都拥有了属于自己的手机.为了调查某地区高中生一周内使用手机的频率，某机构随机抽查了该地区100名高中生某一周内使用手机的时间（单位：小时），所取样本数据分组区间为.‎ 由此得到如图所示的频率分布直方图.‎ - 10 -‎ ‎（1）求的值并估计该地区高中生一周使用手机时间的平均值；‎ ‎（2）从使用手机时间在的四组学生中，用分层抽样方法抽取13人，则每组各应抽取多少人？‎ ‎19．已知正四棱锥的各条棱长都相等，且点分别是，的中点.‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）在上是否存在点，使平面平面，若存在，求出的值；若不存在，说明理由.‎ ‎20．已知椭圆：的离心率为，且过点.过椭圆右焦点且不与重合的直线与椭圆交于，两点，且.‎ ‎（1）求椭圆的方程； ‎ ‎（2）若点与点关于轴对称，且直线与轴交于点，求面积的最大值.‎ ‎21．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ - 10 -‎ ‎（2）若函数的导函数为，且在上恒成立，求证：.‎ 请考生在22、23二题中任选一题作答，如果都做，则按所做的第一题记分.‎ ‎22．选修4-4：坐标系与参数方程 在极坐标系中，曲线的极坐标方程为，现以极点为原点，极轴为轴的非负半轴建立平面直角坐标系，曲线d 参数方程为（为参数）.‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程和曲线的普通方程；‎ ‎（2）若曲线与曲线交于两点，为曲线上的动点，求面积的最大值.‎ ‎23．选修4-5：不等式选讲 已知.‎ ‎（1）求不等式的解集；‎ ‎（2）若，证明：.‎ - 10 -‎ 数学（文科）参考答案及评分标准 一、选择题（每小题5分，共60分）‎ ‎1～5 CACBD 6～10 DBCDA 11～12 DB 二、填空题（每小题5分，共20分）‎ ‎13． 14． 15． 16．‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）‎ ‎17．解：（1）因为，得，得 有，故为锐角，‎ 又由，所以，‎ 又为锐角，所以，，故，故，‎ 故 ‎；‎ ‎（2），所以，得，①‎ ‎∵，∴‎ 在中，由正弦定理，得，即，得，②‎ 联立①②，解得.‎ ‎18．（1）由于小矩形的面积之和为1，‎ 则，由此可得 该地区高中生一周内使用手机时间的平均值 - 10 -‎ ‎.‎ ‎（2）使用手机时间在的学生有人，‎ 使用手机时间在的学生有人，‎ 使用手机时间在的学生有人，‎ 使用手机时间在的学生有人，‎ 故分层抽样法从使用手机时间在、、、的四组学生中抽样，‎ 抽取人数分别为人，人，人，人.‎ ‎19．（1）设，则为底面正方形中心，连接，‎ 因为为正四棱锥，所以平面，所以，‎ 又，且，所以平面.‎ 因为平面，所以.‎ ‎（2）存在点，设，连，‎ 取中点，连并延长交于点，‎ ‎∵是中点，∴，即，‎ 又平面，平面，‎ ‎∴平面，平面，‎ 又，平面，‎ ‎∴平面平面，‎ 在中，作交与点，则是中点，是中点，‎ ‎∴.‎ - 10 -‎ ‎20．（1）依题意，，解得，，，‎ 故椭圆的方程为；‎ ‎（2）依题意，椭圆右焦点的坐标为，设直线：，‎ 直线与椭圆的方程联立，化简并整理得，‎ ‎∴，‎ 由题设知直线的方程为，‎ 令得，‎ ‎∴点 故 - 10 -‎ ‎（当且仅当即时等号成立）‎ ‎∴的面积存在最大值，最大值为1.‎ ‎21．（1）依题意，当，时，，令，解得或，故函数的单调递增区间为和，单调递减区间为；‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴，‎ 记，‎ 当时，恒成立，则在上递增，没有最小值，故不成立；‎ 当时，令，解得，当时，；当时，，‎ 当时，函数取得最小值，‎ 即，则，‎ 令，，则，‎ ‎∴时，，时，，‎ ‎∴在上是增函数，在上是减函数，‎ ‎∴，∴.‎ ‎22. 解：（1）曲线的直角坐标方程为，曲线的普通方程为 ‎（2）联立圆与直线的方程，‎ - 10 -‎ 可求两曲线交点坐标分别为，则，‎ 又到的距离，‎ 当时，，‎ 面积的最大值为.‎ ‎23.（1）由得，‎ ‎∴.‎ ‎（2）∵，∴，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，，‎ ‎∴，‎ ‎∴. ‎ - 10 -‎