2014-2018年五年真题分类第九章 直线和圆

2014-2018年五年真题分类第九章 直线和圆

第九章 直线和圆 考点1 直线与方程 ‎1．（2018北京，7）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x−my−2=0‎的距离，当θ，m变化时，d的最大值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ ‎1.C ‎∵cos‎2‎θ+sin‎2‎θ=1，∴‎ P为单位圆上一点，而直线x−my−2=0‎过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,选C.‎ ‎2.(2014·四川，14)设m∈R，过定点A的动直线x＋my＝0和过定点B的动直线mx－y－m＋3＝0交于点P(x，y)，则|PA|·|PB|的最大值是________.‎ ‎2.5　[易求定点A(0，0)，B(1，3).当P与A和B均不重合时，不难验证PA⊥PB，所以|PA|2＋|PB|2＝|AB|2＝10，所以|PA|·|PB|≤＝5(当且仅当|PA|＝|PB|＝时，等号成立)，当P与A或B重合时，|PA|·|PB|＝0，故|PA|·|PB|的最大值是5.]‎ ‎3.(2014·江苏，11)在平面直角坐标系xOy中，若曲线y＝ax2＋(a，b为常数)过点P(2，－5)，且该曲线在点P处的切线与直线7x＋2y＋3＝0平行，则a＋b的值是________.‎ ‎3.－3　[由曲线y＝ax2＋过点P(2，－5)可得－5＝4a＋　(1).又y′＝2ax－，所以在点P处的切线斜率4a－＝－　(2).由(1)(2)解得a＝－1，b＝－2，所以a＋b＝－3.]‎ 考点2 圆的方程及直线与圆的位置关系 ‎1．（2018全国Ⅲ，6）直线x+y+2=0‎分别与x轴，y轴交于A，B两点，点P在圆x−2‎‎2‎‎+y‎2‎=2‎上，则‎△ABP面积的取值范围是(　　)‎ A．‎2 ，  6‎ B．‎4 ，  8‎ C．‎2‎‎ ，  3‎‎2‎ D．‎‎2‎2‎ ，  3‎‎2‎ ‎1.A ‎∵‎直线x+y+2=0‎分别与x轴，y轴交于A，B两点，‎∴A‎-2,0‎,B(0,-2)‎,则AB‎=2‎‎2‎，‎∵‎点P在圆‎（x-2）‎‎2‎‎+y‎2‎=2‎上，‎∴‎圆心为（2，0），则圆心到直线距离d‎1‎‎=‎|2+0+2|‎‎2‎=2‎‎2‎.故点P到直线x+y+2=0‎的距离d‎2‎的范围为‎[‎2‎,3‎2‎]‎.则S‎△ABP‎=‎1‎‎2‎ABd‎2‎=‎2‎d‎2‎∈[2,6]‎,故选A.‎ ‎2．（2018江苏，12）在平面直角坐标系xOy中，A为直线l:y=2x上在第一象限内的点，B(5,0)‎，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若AB‎⋅CD=0‎，则点A的横坐标为________．‎ ‎2.3 设A(a,2a)(a>0)‎，则由圆心C为AB中点得C(a+5‎‎2‎,a),‎易得‎⊙C:(x-5)(x-a)+y(y-2a)=0‎，与y=2x联立解得点D的横坐标xD‎=1,‎所以D(1,2)‎.所以AB‎=(5-a,-2a),CD=(1-a+5‎‎2‎,2-a)‎，由AB‎⋅CD=0‎得‎(5-a)(1-a+5‎‎2‎)+(-2a)(2-a)=0,a‎2‎-2a-3=0,a=3‎或a=-1‎，因为a>0‎，所以a=3.‎ ‎3.(2016·全国Ⅱ,4)圆x2＋y2－2x－8y＋13＝0的圆心到直线ax＋y－1＝0的距离为1,则a＝(　　)‎ A.－ B.－ C. D.2‎ ‎3.A [由圆的方程x2＋y2－2x－8y＋13＝0得圆心坐标为(1,4),由点到直线的距离公式得d＝＝1,解之得a＝－.]‎ ‎4.(2015·广东,5)平行于直线2x＋y＋1＝0且与圆x2＋y2＝5相切的直线的方程是(　　)‎ A.2x－y＋＝0或2x－y－＝0 B.2x＋y＋＝0或2x＋y－＝0‎ C.2x－y＋5＝0或2x－y－5＝0 D.2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0‎ ‎4.D　[设所求切线方程为2x＋y＋c＝0,依题有＝,解得c＝±5,所以所求切线的直线方程为2x＋y＋5＝0或2x＋y－5＝0,故选D.]‎ ‎5.(2015·新课标全国Ⅱ,7)过三点A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圆交y轴于M、N两点,则|MN|＝(　　)‎ A.2 B.8 C.4 D.10‎ ‎5.C　[由已知,得＝(3,-1),＝(-3,-9),则·＝3×(-3)＋(-1)×(-9)＝0,所以⊥,即AB⊥BC,故过三点A、B、C的圆以AC为直径,得其方程为(x-1)2＋(y+2)2＝25,令x＝0得(y＋2)2＝24,解得y1＝－2－2,y2＝－2＋2,所以|MN|＝|y1－y2|＝4,选C.]‎ ‎6.(2015·重庆,8)已知直线l：x＋ay－1＝0(a∈R)是圆C：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的对称轴,过点A(－4,a)作圆C的一条切线,切点为B,则|AB|＝(　　)‎ A.2 B.4 C.6 D.2 ‎6.C　[圆C的标准方程为(x-2)2＋(y-1)2＝4,圆心为C(2,1),半径为r＝2,因此2＋a×1-1＝0,a＝-1,即A(-4,-1),‎ ‎|AB|＝＝＝6,选C.]‎ ‎7.(2015·山东,9)一条光线从点(－2,－3)射出,经y轴反射后与圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1相切,则反射光线所在直线的斜率为(　　)‎ A.－或－ B.－或－ C.－或－ D.－或－ ‎7.D　[圆(x＋3)2＋(y－2)2＝1的圆心为(-3,2),半径r＝1.(-2,-3)关于y轴的对称点为(2,-3).如图所示,反射光线一定过点(2,-3)且斜率k存在,∴反射光线所在直线方程为y＋3＝k(x-2),即kx-y-2k－3＝0.‎ ‎∵反射光线与已知圆相切,‎ ‎∴＝1,整理得12k2＋25k＋12＝0,解得k＝－或k＝－.]‎ ‎8.(2014·江西,9)在平面直角坐标系中,A,B分别是x轴和y轴上的动点,若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切,则圆C面积的最小值为(　　)‎ A.π B.π C.(6－2)π D.π ‎8.A　[由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O,要使圆C的面积最小,只需圆C的半径或直径最小.又圆C与直线2x＋y－4＝0相切,所以由平面几何知识,知圆的直径的最小值为点O到直线2x＋y－4＝0的距离,此时2r＝,得r＝,圆C的面积的最小值为S＝πr2＝π.]‎ ‎9.（2017•江苏,13）在平面直角坐标系xOy中，A（﹣12，0），B（0，6），点P在圆O：x2+y2=50上．若 ≤20，则点P的横坐标的取值范围是________． ‎ ‎9. [-5 ，1] 根据题意，设P（x0 ， y0），则有x02+y02=50，=（﹣12﹣x0 ， ﹣y0）•（﹣x0 ， 6﹣y0）=（12+x0）x0﹣y0（6﹣y0）=12x0+6y+x02+y02≤20，化为：12x0+6y0+30≤0， 即2x0+y0+5≤0，表示直线2x+y+5≤0以及直线下方的区域，联立 ，解可得x0=﹣5或x0=1，结合图形分析可得：点P的横坐标x0的取值范围是[﹣5 ，1]，故答案为：[﹣5 ，1]． ‎ ‎10.(2016·全国Ⅲ,16)已知直线l：mx＋y＋3m－＝0与圆x2＋y2＝12交于A,B两点,过A,B分别做l的垂线与x轴交于C,D两点,若|AB|＝2,则|CD|＝________.‎ ‎10.4 [设AB的中点为M,由题意知,圆的半径R＝2,AB＝2,所以OM＝3,解得m＝－,由 解得A(－3,),B(0,2),则AC的直线方程为y－＝－(x＋3),BD的直线方程为y－2＝－x,令y＝0,解得C(－2,0),D(2,0),所以|CD|＝4.]‎ ‎11.(2015·新课标全国Ⅰ,14)一个圆经过椭圆＋＝1的三个顶点,且圆心在x轴的正半轴上,则该圆的标准方程为________.‎ ‎11.＋y2＝　[由题意知圆过(4,0),(0,2),(0,－2)三点,(4,0),(0,－2)两点的垂直平分线方程为y＋1＝－2(x－2),‎ 令y＝0,解得x＝,圆心为,半径为.故圆的标准方程为＋y2＝.]‎ ‎12.(2015·江苏,10)在平面直角坐标系xOy中,以点(1,0)为圆心且与直线mx－y－2m－1＝0(m∈R)相切的所有圆中,半径最大的圆的标准方程为________.‎ ‎12.(x－1)2＋y2＝2　[直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2,－1),由题意,得半径最大的圆的半径r＝＝.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.]‎ ‎13.(2014·陕西,12)若圆C的半径为1,其圆心与点(1,0)关于直线y＝x对称,则圆C的标准方程为____________.‎ ‎13.x2＋(y－1)2＝1　[因为点(1,0)关于直线y＝x对称点的坐标为(0,1),即圆心C为(0,1),又半径为1,∴圆C的标准方程为x2＋(y－1)2＝1.]‎ ‎14.(2014·湖北,12)直线l1：y＝x＋a和l2：y＝x＋b将单位圆C：x2＋y2＝1分成长度相等的四段弧,则a2＋b2＝____________.‎ ‎14.2　[由题意得,直线l1截圆所得的劣弧长为,则圆心到直线l1的距离为,即＝⇒a2＝1,同理可得b2＝1,则a2＋b2＝2.]‎ ‎15.(2014·重庆,13)已知直线ax＋y－2＝0与圆心为C的圆(x－1)2＋(y－a)2＝4相交于A,B两点,且△ABC为等边三角形,则实数a＝________.‎ ‎15.4±　[依题意,圆C的半径是2,圆心C(1,a)到直线ax＋y－2＝0的距离等于×2＝,于是有＝,即a2－8a＋1＝0,解得a＝4±.]‎ ‎16.(2014·江苏,9)在平面直角坐标系xOy中,直线x＋2y－3＝0被圆(x－2)2＋(y＋1)2＝4截得的弦长为________.‎ ‎16.　[因为圆心(2,－1)到直线x＋2y－3＝0的距离d＝＝,所以直线x＋2y－3＝0被圆截得的弦长为2＝.]‎ ‎17.(2014·新课标全国Ⅱ,16)设点M(x0,1),若在圆O：x2＋y2＝1上存在点N,使得∠OMN＝45°,则x0的取值范围是________.‎ ‎17.[－1,1]　[由题意可知M在直线y＝1上运动,设直线y＝1与圆x2＋y2＝1相切于点P(0,1).当x0＝0即点M与点P重合时,显然圆上存在点N(±1,0)符合要求；当x0≠0时,过M作圆的切线,切点之一为点P,此时对于圆上任意一点N,都有∠OMN≤∠OMP,故要存在∠OMN＝45°,只需∠OMP≥45°.特别地,当∠OMP＝45°时,有x0＝±1.结合图形可知,符合条件的x0的取值范围为[－1,1].]‎ ‎18．（2018全国Ⅱ，19）设抛物线C：  y‎2‎=4x的焦点为F，过F且斜率为k(k>0)‎的直线l与C交于A，B两点，‎|AB| =8‎．‎ ‎ （1）求l的方程；‎ ‎ （2）求过点A，B且与C的准线相切的圆的方程．‎ ‎18.（1）由题意得F（1，0），l的方程为y=k（x–1）（k>0）．‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）．‎ 由y=k(x-1)‎y‎2‎‎=4x得k‎2‎x‎2‎‎-(2k‎2‎+4)x+k‎2‎=0‎．‎ ‎ Δ=16k‎2‎+16=0‎，故x‎1‎‎+x‎2‎=‎‎2k‎2‎+4‎k‎2‎．‎ 所以AB‎=AF+BF=(x‎1‎+1)+(x‎2‎+1)=‎‎4k‎2‎+4‎k‎2‎．‎ 由题设知‎4k‎2‎+4‎k‎2‎‎=8‎，解得k=–1（舍去），k=1．‎ 因此l的方程为y=x–1．‎ ‎（2）由（1）得AB的中点坐标为（3，2），所以AB的垂直平分线方程为 y-2=-(x-3)‎‎，即y=-x+5‎．‎ 设所求圆的圆心坐标为（x0，y0），则 y‎0‎‎=-x‎0‎+5，‎‎(x‎0‎+1)‎‎2‎‎=‎(y‎0‎-x‎0‎+1)‎‎2‎‎2‎+16.‎解得x‎0‎‎=3，‎y‎0‎‎=2‎或x‎0‎‎=11，‎y‎0‎‎=-6.‎ 因此所求圆的方程为 ‎(x-3)‎‎2‎‎+‎(y-2)‎‎2‎=16‎或‎(x-11)‎‎2‎‎+‎(y+6)‎‎2‎=144‎．‎ ‎19.（2017•新课标Ⅲ,20）已知抛物线C：y2=2x，过点（2，0）的直线l交C与A，B两点，圆M是以线段AB为直径的圆． （Ⅰ）证明：坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）设圆M过点P（4，﹣2），求直线l与圆M的方程． ‎ ‎19.方法一：证明：（Ⅰ）当直线l的斜率不存在时，则A（2，2），B（2，﹣2）， 则 =（2，2）， =（2，﹣2），则 • =0， ∴ ⊥ ， 则坐标原点O在圆M上； 当直线l的斜率存在，设直线l的方程y=k（x﹣2），设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， ，整理得：k2x2﹣（4k2+2）x+4k2=0， 则x1x2=4，4x1x2=y12y22=（y1y2）2 ， 由y1y2＜0， 则y1y2=﹣4， ‎ 由 • =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， 综上可知：坐标原点O在圆M上； 方法二：设直线l的方程x=my+2， ，整理得：y2﹣2my﹣4=0，设A（x1 ， y1），B（x2 ， y2）， 则y1y2=﹣4， 则（y1y2）2=4x1x2 ， 则x1x2=4，则 • =x1x2+y1y2=0， 则 ⊥ ，则坐标原点O在圆M上， ∴坐标原点O在圆M上； （Ⅱ）由（Ⅰ）可知：x1x2=4，x1+x2= ，y1+y2= ，y1y2=﹣4， 圆M过点P（4，﹣2），则 =（4﹣x1 ， ﹣2﹣y1）， =（4﹣x2 ， ﹣2﹣y2）， 由 • =0，则（4﹣x1）（4﹣x2）+（﹣2﹣y1）（﹣2﹣y2）=0， 整理得：k2+k﹣2=0，解得：k=﹣2，k=1， 当k=﹣2时，直线l的方程为y=﹣2x+4， 则x1+x2= ，y1+y2=﹣1， 则M（ ，﹣ ），半径为r=丨MP丨= = ， ∴圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= ． 当直线斜率k=1时，直线l的方程为y=x﹣2， 同理求得M（3，1），则半径为r=丨MP丨= ， ∴圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10， 综上可知：直线l的方程为y=﹣2x+4，圆M的方程（x﹣ ）2+（y+ ）2= 或直线l的方程为y=x﹣2，圆M的方程为（x﹣3）2+（y﹣1）2=10． ‎ ‎20.(2016·江苏,18)如图,在平面直角坐标系xOy中,已知以M为圆心的圆M：x2＋y2－12x－14y＋60＝0及其上一点A(2,4).‎ ‎(1)设圆N与x轴相切,与圆M外切,且圆心N在直线x＝6上,求圆N的标准方程；‎ ‎(2)设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点,且BC＝OA,求直线l的方程；‎ ‎(3)设点T(t,0)满足：存在圆M上的两点P和Q,使得＋＝,求实数t的取值范围.‎ ‎20.解　(1)圆M的方程化为标准形式为(x－6)2＋(y－7)2＝25,圆心M(6,7),半径r＝5,‎ 由题意,设圆N的方程为(x－6)2＋(y－b)2＝b2(b＞0).且＝b＋5.‎ 解得b＝1,∴圆N的标准方程为(x－6)2＋(y－1)2＝1.‎ ‎(2)∵kOA＝2,∴可设l的方程为y＝2x＋m,即2x－y＋m＝0.‎ 又BC＝OA＝＝2.‎ 由题意,圆M的圆心M(6,7)到直线l的距离为d＝＝＝2.‎ 即＝2,解得m＝5或m＝－15.‎ ‎∴直线l的方程为y＝2x＋5或y＝2x－15.‎ ‎(3)由＋＝,则四边形AQPT为平行四边形,‎ 又∵P、Q为圆M上的两点,∴|PQ|≤2r＝10.∴|TA|＝|PQ|≤10,即≤10,‎ 解得2－2≤t≤2＋2.‎ 故所求t的范围为[2－2,2＋2].‎ ‎21.(2015·广东,20)已知过原点的动直线l与圆C1:x2＋y2－6x＋5＝0相交于不同的两点A,B.‎ ‎(1)求圆C1的圆心坐标；‎ ‎(2)求线段AB的中点M的轨迹C的方程；‎ ‎(3)是否存在实数k,使得直线L：y＝k(x－4)与曲线C只有一个交点？若存在,求出k的取值范围；若不存在,说明理由.‎ ‎21.解　(1)圆C1的标准方程为(x－3)2＋y2＝4.∴圆C1的圆心坐标为(3,0).‎ ‎(2)设动直线l的方程为y＝kx.联立⇒(k2＋1)x2－6x＋5＝0,‎ 则Δ＝36－4(k2＋1)×5>0⇒k2<.设A,B两点坐标为(x1,y1),(x2,y2),则x1＋x2＝.‎ ‎⇒AB中点M的轨迹C的参数方程为 即轨迹C的方程为＋y2＝,

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