数学卷·2018届广西南宁市宾阳中学高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

数学卷·2018届广西南宁市宾阳中学高二下学期3月月考数学试卷（理科） （解析版）

‎2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ ‎　‎ 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）‎ ‎1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩∁RB=（　　）‎ A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|1≤x≤2}‎ ‎2．下面使用类比推理恰当的是（　　）‎ A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”‎ B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”‎ C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”‎ D．“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”‎ ‎3．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎4．设x∈R，向量，且，则=（　　）‎ A． B．5 C． D．85‎ ‎5．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（　　）‎ A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点 B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点 C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点 ‎6．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ ‎7．已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则|AF|+|BF|=12，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）‎ A．1 B．3 C．5 D．7‎ ‎8．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（　　）‎ A． B．7 C．6 D．‎ ‎9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcosC=（2a﹣c）cosB，则B=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎10．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线交椭圆C于点P，若sin∠PF1F2=，则（　　）‎ A．a=b B．a=2b C．a=b D．a=3b ‎12．抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线在第一象限内与C1交于点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎　‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）‎ ‎13．（1+cosx）dx=　　．‎ ‎14．已知函数f（x）=ex+ln（x+1）的图象在（0，f（0））处的切线与直线x﹣ny+4=0垂直，则n的值为　　．‎ ‎15．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，椭圆上有一点P到F1‎ 的距离为10，则△PF1F2的面积为　　．‎ ‎16．设函数，观察：，，，，…，根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得：fn（1）=　　．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求sinB的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2B+）的值．‎ ‎18．（12分）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前{an}项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和T．‎ ‎19．（12分）设函数f（x）=ln（2x+3）+x2‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．‎ ‎20．（12分）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1的中点，E为BC的中点．‎ ‎（1）求证：直线AE∥平面BDC1；‎ ‎（2）若三棱柱 ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．‎ ‎21．（12分）已知函数f（x）=ax3﹣x2+1（x∈R），其中a＞0．‎ ‎（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（2）若对∀x∈[﹣1，]，不等式f（x）＜a2恒成立，求a的取值范围．‎ ‎22．（12分）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E： =1（a＞b＞0）上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．‎ ‎（1）求双曲线的离心率；‎ ‎（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=λ，求λ的值．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年广西南宁市宾阳中学高二（下）3月月考数学试卷（理科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一.选择题：（本大题共12小题，每小题5分，共60分.每小题四个选项中有且只有一个正确.）‎ ‎1．集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，则A∩∁RB=（　　）‎ A．{x|x＜1} B．{x|﹣1≤x＜1} C．{x|﹣1≤x≤1} D．{x|1≤x≤2}‎ ‎【考点】交、并、补集的混合运算．‎ ‎【分析】先求出CRB，由此利用交集定义能求出A∩∁RB．‎ ‎【解答】解：∵集合A={x|﹣1≤x≤2}，B={x|x＜1}，‎ ‎∴CRB={x|x≥1}，‎ A∩∁RB={x|1≤x≤2}．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查补集、交集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集、交集定义的合理运用．‎ ‎　‎ ‎2．下面使用类比推理恰当的是（　　）‎ A．“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”‎ B．“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”‎ C．“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+（c≠0）”‎ D．“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】判断一个推理过程是否是类比推理关键是看他是否符合类比推理的定义，即是否是由特殊到与它类似的另一个特殊的推理过程．另外还要看这个推理过程是否符合实数的性质．‎ ‎【解答】‎ 解：对于A：“若a•3=b•3，则a=b”类推出“若a•0=b•0，则a=b”是错误的，因为0乘任何数都等于0，‎ 对于B：“若（a+b）c=ac+bc”类推出“（a•b）c=ac•bc”，类推的结果不符合乘法的运算性质，故错误，‎ 对于C：将乘法类推除法，即由“（a+b）c=ac+bc”类推出“=+”是正确的，‎ 对于D：“（ab）n=anbn”类推出“（a+b）n=an+bn”是错误的，如（1+1）2=12+12‎ 故选C ‎【点评】归纳推理与类比推理不一定正确，我们在进行类比推理时，一定要注意对结论进行进一步的论证，如果要证明一个结论是正确的，要经过严密的论证，但要证明一个结论是错误的，只需要举出一个反例．‎ ‎　‎ ‎3．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），则双曲线方程为（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】根据焦点坐标求得c，再根据离心率求得a，最后根据b=求得b，双曲线方程可得．‎ ‎【解答】解．已知双曲线的离心率为2，焦点是（﹣4，0），（4，0），‎ 则c=4，a=2，b2=12，‎ 双曲线方程为，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查了双曲线的简单性质．属基础题．‎ ‎　‎ ‎4．设x∈R，向量，且 ‎，则=（　　）‎ A． B．5 C． D．85‎ ‎【考点】平面向量数量积的运算．‎ ‎【分析】根据向量平行求出x的值，在计算模长．‎ ‎【解答】解：向量，且，‎ ‎∴4×1﹣（﹣2）•x=0，‎ 解得x=﹣2，‎ ‎∴=（﹣2，1）；‎ ‎∴+=（2，﹣1），‎ ‎∴==．‎ 故选：A．‎ ‎【点评】本题考查了平面向量的共线定理与模长公式的应用问题，是基础题．‎ ‎　‎ ‎5．已知函数y=f（x）的导函数y=f′（x）的图象如图，则（　　）‎ A．函数f（x）有1个极大值点，1个极小值点 B．函数f（x）有2个极大值点，2个极小值点 C．函数f（x）有3个极大值点，1个极小值点 D．函数f（x）有1个极大值点，3个极小值点 ‎【考点】函数的单调性与导数的关系；利用导数研究函数的极值．‎ ‎【分析】先观察导函数的图象，找到等于0的点，再观察正负变化情况即可．‎ ‎【解答】解：根据导函数的图象知，在x2处导函数由大于0变为小于0，此时原函数有极大值，‎ 在x3处导函数由小于0变为大于0，此时原函数有极小值，‎ 在x1、x4处导函数没有正负变化无极值点．‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题主要考查函数的极值点与导函数的正负变化之间的关系，即导函数由正变为负时原函数有极大值，当导函数由负变为正时原函数有极小值．‎ ‎　‎ ‎6．直线y=4x与曲线y=x3在第一象限内围成的封闭图形的面积为（　　）‎ A．2 B．4 C．2 D．4‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】先根据题意画出区域，然后依据图形得到积分上限为2，积分下限为0的积分，从而利用定积分表示出曲边梯形的面积，最后用定积分的定义求出所求即可．‎ ‎【解答】解：先根据题意画出图形，得到积分上限为2，积分下限为0，‎ 曲线y=x3与直线y=4x在第一象限所围成的图形的面积是∫（4x﹣x3）dx，‎ 而∫（4x﹣x3）dx=（2x2﹣x4）|=8﹣4=4，‎ ‎∴曲边梯形的面积是4，‎ 故选：D．‎ ‎【点评】考查学生会求出原函数的能力，以及会利用定积分求图形面积的能力，同时考查了数形结合的思想，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎7．已知F是抛物线y2=4x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，则|AF|+|BF|=12，则线段AB的中点到y轴的距离为（　　）‎ A．1 B．3 C．5 D．7‎ ‎【考点】抛物线的简单性质．‎ ‎【分析】根据抛物线的方程求出准线方程，利用抛物线的定义：抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，列出方程求出A，B的中点横坐标，求出线段AB的中点到该抛物线准线的距离．‎ ‎【解答】解：∵F是抛物线y2=4x的焦点，‎ ‎∴F（1，0），准线方程x=﹣1，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2）‎ ‎∴|AF|+|BF|=x1+1+x2+1=12，‎ 即有x1+x2=10，‎ ‎∴线段AB的中点横坐标为（x1+x2）=5，‎ ‎∴线段AB的中点到y轴的距离为5．‎ 故选：C．‎ ‎【点评】本题考查解决抛物线上的点到焦点的距离问题，利用抛物线的定义将到焦点的距离转化为到准线的距离是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎8．已知各项均为正数的等比数列{an}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（　　）‎ A． B．7 C．6 D．‎ ‎【考点】等比数列．‎ ‎【分析】由数列{an}是等比数列，则有a1a2a3=5⇒a23=5；a7a8a9=10⇒a83=10．‎ ‎【解答】解：a1a2a3=5⇒a23=5；‎ a7a8a9=10⇒a83=10，‎ a52=a2a8，‎ ‎∴，∴，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本小题主要考查等比数列的性质、指数幂的运算、根式与指数式的互化等知识，着重考查了转化与化归的数学思想．‎ ‎　‎ ‎9．在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若bcosC=（2a﹣c）cosB，则B=（　　）‎ A．30° B．60° C．120° D．150°‎ ‎【考点】正弦定理；余弦定理．‎ ‎【分析】利用正弦定理化简可得：sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB，根据和与差的公式，可得sinA=2sinAcosB，即可求解B的值．‎ ‎【解答】解：由题意，bcosC=（2a﹣c）cosB，‎ 由正弦定理可得：sinBcosC=2sinAcosB﹣sinCcosB 得：sinBcosC+sinCcosB=2sinAcosB．‎ 即sinA=2sinAcosB ‎∵0＜A＜π，sinA≠0，‎ ‎∴cosB=‎ ‎∵0＜B＜π，‎ ‎∴B=．‎ 故选B ‎【点评】本题考查了正弦定理和和与差的公式的灵活运用．属于基础题．‎ ‎　‎ ‎10．若函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，则k的取值范围是（　　）‎ A．（﹣∞，﹣2] B．（﹣∞，﹣1] C．[2，+∞） D．[1，+∞）‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性．‎ ‎【分析】f′（x）=k﹣，由于函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，可得f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．解出即可．‎ ‎【解答】解：f′（x）=k﹣，‎ ‎∵函数f（x）=kx﹣lnx在区间（1，+∞）单调递增，‎ ‎∴f′（x）≥0在区间（1，+∞）上恒成立．‎ ‎∴，‎ 而y=在区间（1，+∞）上单调递减，‎ ‎∴k≥1．‎ ‎∴k的取值范围是[1，+∞）．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了利用导数研究函数的单调性、恒成立问题的等价转化方法，属于基础题．‎ ‎　‎ ‎11．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，过F2作x轴的垂线交椭圆C于点P，若sin∠PF1F2=，则（　　）‎ A．a=b B．a=2b C．a=b D．a=3b ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】把x=c代入可得，解得y，利用sin∠PF1F2=，即可得出．‎ ‎【解答】解：把x=c代入椭圆方程，解得y=±，‎ ‎∵sin∠PF1F2=，∴tan∠PF1F2=，‎ ‎∴=，‎ ‎∴a4﹣a2b2﹣2b4=0，∴a=，‎ 故选A．‎ ‎【点评】本题了考查了椭圆的标准方程及其性质、直角三角形的边角关系，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎　‎ ‎12．抛物线C1：x2=2py（p＞0）的焦点与双曲线C2：的右焦点的连线在第一象限内与C1交于点M，若C1在点M处的切线平行于C2的一条渐近线，则p=（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】由曲线方程求出抛物线与双曲线的焦点坐标，由两点式写出过两个焦点的直线方程，求出C1：x2‎ ‎=2py在x取直线与抛物线交点M的横坐标时的导数值，由其等于双曲线渐近线的斜率得到交点横坐标与p的关系，把M点的坐标代入直线方程即可求得p的值．‎ ‎【解答】解：由抛物线C1：x2=2py（p＞0），可得焦点坐标为F（0，）．‎ 由双曲线C2：得a=，b=1，c=2．‎ 所以双曲线的右焦点为（2，0）．‎ 则抛物线的焦点与双曲线的右焦点的连线所在直线方程为px+4y﹣2p=0①．‎ 设该直线交抛物线于M（x0，），则C在点M处的切线的斜率为．‎ 由题意可知=，得x0=p，代入M点得M（p， p）‎ 把M点代入①得：p×p+4×p﹣2p=0．‎ 解得p=．‎ 故选：D．‎ ‎【点评】本题考查了双曲线的简单几何性质，考查了利用导数研究曲线上某点的切线方程，函数在曲线上某点处的切线的斜率等于函数在该点处的导数，是中档题．‎ ‎　‎ 二．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，把答案填在答题卡题中横线上）‎ ‎13．（理）（1+cosx）dx=　　．‎ ‎【考点】定积分．‎ ‎【分析】根据定积分的定义，找出三角函数的原函数然后代入计算即可．‎ ‎【解答】解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，‎ 故答案为π+2．‎ ‎【点评】‎ 此题考查定积分的性质及其计算，是高中新增的内容，要掌握定积分基本的定义和性质，解题的关键是找出原函数．‎ ‎　‎ ‎14．已知函数f（x）=ex+ln（x+1）的图象在（0，f（0））处的切线与直线x﹣ny+4=0垂直，则n的值为　﹣2　．‎ ‎【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】由求导公式和法则求出函数的导数，由直线垂直的条件求出切线的斜率，即可求出n的值．‎ ‎【解答】解：依题意得，f′（x）=ex+，所以f′（0）=2．‎ 显然n≠0，直线x﹣ny+4=0的斜率为，所以，解得n=﹣2，‎ 故答案为：﹣2．‎ ‎【点评】本题考查了求导公式和法则，由导数的几何意义求切线方程，以及直线垂直的条件等，熟练掌握公式是解题的关键．‎ ‎　‎ ‎15．已知椭圆的两个焦点为F1、F2，椭圆上有一点P到F1的距离为10，则△PF1F2的面积为　48　．‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】利用椭圆的方程求出椭圆的几何量，推出2a，2b，2c；然后求解三角形的面积．‎ ‎【解答】解：椭圆，可得a=13，b=12，c=5，由椭圆的定义可得：P到F2的距离为16，‎ 三角形的边长分别为：10，10，16，‎ 三角形的面积为： =48．‎ 故答案为：48．‎ ‎【点评】本题考查椭圆的简单性质，椭圆的定义的应用，考查计算能力．‎ ‎　‎ ‎16．设函数，观察：‎ ‎，，，，…，根据以上事实，当n∈N*时，由归纳推理可得：fn（1）=　　．‎ ‎【考点】归纳推理．‎ ‎【分析】根据已知中函数的解析式，归纳出函数解析中分母系数的变化规律，进而得到答案．‎ ‎【解答】解：由，，，，…‎ 归纳可得：fn（x）=，（n∈N*）‎ ‎∴fn（1）=．‎ 故答案为．‎ ‎【点评】归纳推理的一般步骤是：（1）通过观察个别情况发现某些相同性质；（2）从已知的相同性质中推出一个明确表达的一般性命题（猜想）．‎ ‎　‎ 三、解答题：（本大题共6小题，共70分．解答应写文字说明，证明过程或演算步骤．）‎ ‎17．（10分）（2007•天津）在△ABC中，已知AC=2，BC=3，cosA=﹣．‎ ‎（Ⅰ）求sinB的值；‎ ‎（Ⅱ）求sin（2B+）的值．‎ ‎【考点】正弦定理；同角三角函数基本关系的运用；两角和与差的正弦函数；二倍角的余弦．‎ ‎【分析】（1）利用cosA，求得sinA，进而根据正弦定理求得sinB．‎ ‎（2）根据cosA小于0判断A为钝角，从而角B为锐角，进而根据sinB求得cosB和cos2B，进而利用倍角公式求得sin2B，最后根据两角和公式求得答案．‎ ‎【解答】（Ⅰ）解：在△ABC中，，由正弦定理，．‎ 所以．‎ ‎（Ⅱ）解：∵，所以角A为钝角，从而角B为锐角，‎ ‎∴，，‎ sin2B=2sinBcosB=2××=，‎ ‎==．‎ ‎【点评】本小题考查同角三角函数的基本关系式、两角和公式、倍角公式、正弦定理等的知识，考查基本运算能力 ‎　‎ ‎18．（12分）（2015•威宁县校级模拟）设{an}是公比大于1的等比数列，Sn为数列{an}的前{an}项和．已知S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列．‎ ‎（1）求数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）令bn=lna3n+1，n=1，2，…，求数列{bn}的前n项和T．‎ ‎【考点】数列的求和．‎ ‎【分析】（1）由已知条件推导出，从而得到a2=2，设数列{an}的公比为q，解得 ‎，a3=2q，由S3=7，得2q2﹣5q+2=0，由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）bn=lna3n+1=3nln2，bn+1﹣bn=3ln2，由此能求出{bn}的前n项和Tn．‎ ‎【解答】解：（1）∵{an}是公比大于1的等比数列，‎ S3=7，且a1+3，3a2，a3+4构成等差数列，‎ ‎∴，解得a2=2，‎ 设数列{an}的公比为q，‎ 由a2=2，得，a3=2q．‎ 又S3=7，知，‎ 即2q2﹣5q+2=0，解得q1=2，，‎ 由题意得q＞1，‎ ‎∴q=2，∴a1=1．‎ 故数列{an}的通项为an=2n﹣1．‎ ‎（2）由于bn=lna3n+1，n=1，2，…，‎ 由（1）得a3n+1=23n ‎∴bn=ln23n=3nln2，‎ 又bn+1﹣bn=3ln2，‎ ‎∴{bn}是等差数列．‎ ‎∴Tn=b1+b2+…+bn=‎ ‎=‎ ‎=ln2．‎ 故．‎ ‎【点评】本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，解题时要认真审题，注意等差数列性质的合理运用．‎ ‎　‎ ‎19．（12分）（2007•海南）设函数f（x）=ln（2x+3）+x2‎ ‎（1）讨论f（x）的单调性；‎ ‎（2）求f（x）在区间[﹣，]的最大值和最小值．‎ ‎【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．‎ ‎【分析】（1）先根据对数定义求出函数的定义域，然后令f′（x）=0求出函数的稳定点，当导函数大于0得到函数的增区间，当导函数小于0得到函数的减区间，即可得到函数的单调区间；‎ ‎（2）根据（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）求出得到函数的最小值，又因为f（﹣）﹣f（）＜0，得到 f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）求出得到函数的最大值．‎ ‎【解答】解：f（x）的定义域为（﹣，+∞）‎ ‎（1）f′（x）=+2x=‎ 当﹣＜x＜﹣1时，f′（x）＞0；‎ 当﹣1＜x＜﹣时，f′（x）＜0；‎ 当x＞﹣时，f′（x）＞0‎ 从而，f（x）在区间（﹣，﹣1），（﹣，+∞）上单调递增，在区间（﹣1，﹣）上单调递减 ‎（2）由（1）知f（x）在区间[﹣，]的最小值为f（﹣）=ln2+‎ 又f（﹣）﹣f（）=ln+﹣ln﹣‎ ‎=ln+=（1﹣ln）＜0‎ 所以f（x）在区间[﹣，]的最大值为f（）=+ln．‎ ‎【点评】考查学生利用导数研究函数单调性的能力，利用导数求函数在闭区间上极值的能力．‎ ‎　‎ ‎20．（12分）（2017•延边州一模）如图，三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D为AA1‎ 的中点，E为BC的中点．‎ ‎（1）求证：直线AE∥平面BDC1；‎ ‎（2）若三棱柱 ABC﹣A1B1C1是正三棱柱，AB=2，AA1=4，求平面BDC1与平面ABC所成二面角的正弦值．‎ ‎【考点】二面角的平面角及求法．‎ ‎【分析】（1）设BC1的中点为F，连接EF，DF．得到EF是△BCC1中位线，说明EF∥DA，ADFE是平行四边形，推出AE∥DF，即可证明直线AE∥平面BDC1．‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，求出相关点的坐标，求出平面BDC1的一个法向量，平面ABC的一个法向量．设平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小为θ，通过向量的数量积求解平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值即可．‎ ‎【解答】解：（1）证明：设BC1的中点为F，连接EF，DF．‎ 则EF是△BCC1中位线，根据已知得EF∥DA，且 EF=DA．‎ ‎∴四边形ADFE是平行四边形∴AE∥DF，‎ ‎∵DF⊂平面BDC1，AE⊄平面BDC1，‎ ‎∴直线AE∥平面BDC1．‎ ‎（2）建立如图所示的空间直角坐标系B﹣xyz，‎ 由已知得．∴．‎ 设平面BDC1的一个法向量为，‎ 则．∴，‎ 取z=﹣1，解得．‎ ‎∴是平面BDC1的一个法向量．‎ 由已知易得是平面ABC的一个法向量．‎ 设平面BDC1和平面ABC所成二面角的大小为θ，‎ 则．∵0＜θ＜π，∴．‎ ‎∴平面BDC1和平面ABC所成二面角的正弦值为．‎ ‎【点评】本题考查向量的二面角的大小，直线与平面平行的判断，考查计算能力以及空间想象能力．‎ ‎　‎ ‎21．（12分）（2016秋•东海县校级期中）已知函数f（x）=ax3﹣x2+1（x∈R），其中a＞0．‎ ‎（1）若a=1，求曲线y=f（x）在点（2，f（2））处的切线方程；‎ ‎（2）若对∀x∈[﹣1，]，不等式f（x）＜a2恒成立，求a的取值范围．‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．‎ ‎【分析】（1）利用导数求出x=2处的斜率，根据点斜式写出切线方程；‎ ‎（2）要使对∀x∈[﹣1，]，不等式f（x）＜a2恒成立，即f（x）max＜a2；利用导数判断单调性求出f（x）的最大值即可．‎ ‎【解答】解：（1）由a=1，所以f（x）=x3﹣+1，f（2）=3；‎ 又f'（x）=3x2﹣3x，所以k=f'（x）=6；‎ 所以切线方程为y﹣3=6（x﹣2）；‎ 切线方程为：y=6x﹣9．‎ ‎（2）f'（x）=3ax2﹣3x ‎ 令f'（x）=3ax2﹣3x=0；⇒x1=0，x2=；‎ 因为a＞0，所以y=f（x）在（﹣∞，0]，[，+∞）递增，在（0，）递减；‎ 要使对∀x∈[﹣1，]，不等式f（x）＜a2恒成立，即f（x）max＜a2，‎ ‎1°．当时，即0＜a≤2时，y=f（x）在[﹣1，0]递增，在（0，）递减；‎ f（x）max=f（0）=1＜a2 所以1＜a≤2； ‎ ‎2°．当时，即a＞2时，y=f（x）在[﹣1，0]递增，在（0，）递减，在[，]递增；‎ ‎，f（）==f（0）=1⇒a=3； ‎ ‎①当2＜a＜3时， =f（0）=1＜a2 所以2＜a＜3；‎ ‎②当a≥3时， =f（）＜a2，‎ 即8a2﹣a﹣5＞0 对∀a≥3都成立； ‎ 综合1，2得：a＞1‎ ‎【点评】本题主要考查了利用导数求斜率，直线方程以及利用导数判断函数的单调性与最值等知识点，属中等题．‎ ‎　‎ ‎22．（12分）（2014秋•滕州市校级期中）P（x0，y0）（x0≠±a）是双曲线E： =1（a＞b＞0）上一点，M，N分别是双曲线E的左、右顶点，直线PM，PN的斜率之积为．‎ ‎（1）求双曲线的离心率；‎ ‎（2）过双曲线E的右焦点且斜率为1的直线交双曲线于A、B两点，O为坐标原点，C为双曲线上一点，满足=λ，求λ的值．‎ ‎【考点】直线与圆锥曲线的综合问题；双曲线的简单性质．‎ ‎【分析】（1）求出P满足的关系式，运用直线的斜率公式，化简计算可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，再由离心率公式计算即可得到；‎ ‎（2）联立直线方程和双曲线方程，消去y，得到x的方程，运用韦达定理，以及向量的共线的坐标表示，化简整理计算，即可得到λ2+4λ=0，解方程即可得到所求值．‎ ‎【解答】解：（1）点P（x0，y0）在双曲线E： =1上，有﹣=1，‎ 又M（﹣a，0），N（a，0）．‎ 由直线PM，PN的斜率之积为．‎ 有•=，即=，‎ 又=，‎ 可得a2=5b2，c2=a2+b2=6b2，‎ 则e==；‎ ‎（2）由（1）得双曲线的方程为x2﹣5y2=5b2，‎ 联立，得4x2﹣10cx+35b2=0，‎ 设A（x1，y1），B（x2，y2），‎ 则，‎ 设=（x3，y3），由=λ+，即，‎ 又C为双曲线上一点，即x32﹣5y32=5b2，有（λx1+x2）2﹣5（λy1+y2）2=5b2，‎ 化简得：λ2（x12﹣5y12）+（x22﹣5y22）+2λ（x1x2﹣5y1y2）=5b2，‎ 又A（x1，y1），B（x2，y2）在双曲线上，则x12﹣5y12=5b2，x22﹣5y22=5b2，‎ 又有x1x2﹣5y1y2=x1x2﹣5（x1﹣c）（x2﹣c）=﹣4x1x2+5c（x1+x2）﹣5c2‎ ‎=﹣35b2+﹣5c2=10b2，‎ 即有5b2λ2+5b2+20λb2=5b2，‎ 得：λ2+4λ=0，‎ 解出λ=0，或λ=﹣4．‎ ‎【点评】本题考查双曲线的方程和性质，考查联立直线方程和双曲线方程，消去未知数，运用韦达定理，同时考查向量共线的坐标表示，具有一定的运算量，属于中档题和易错题．‎