内蒙古第一机械制造(集团)有限公司第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷

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内蒙古第一机械制造(集团)有限公司第一中学2018-2019学年高二下学期期中考试数学(理)试卷

高二年级期中考试数学(理)试题 一、 选择题(本题共12小题,每小题5分,共60分)‎ ‎1.已知,则复数 A. B. C. D.‎ ‎2.如图,若在矩形中随机撒一粒豆子,则豆子落在图中阴影部分的概率为 A. B. C. D.‎ ‎3.函数的单调递减区间是 A. B. C. D.‎ ‎4.已知与曲线相切,则的值为 A. B. C. D.‎ ‎5.已知圆和点,是圆上一点,线段的垂直平分线交于点,则点的轨迹方程是 A. B. C. D. ‎ ‎6.函数的图象的大致形状是 A. B. C. D. ‎ ‎7.已知函数,则的极大值点为 A. B. C. D.‎ ‎8.已知,(是自然对数的底数),,则的大小关系是 A. B. C. D.‎ ‎9.设分别为双曲线的左、右焦点,若在双曲线的右支上存在点,满足,且原点到直线的距离等于双曲线的实半轴长,则该双曲线的渐近线方程为 A. B. C. D.‎ ‎10.设定义在上的函数的导函数满足,则 A. B. ‎ C. D.‎ ‎11.如图所示,正方形和正方形,原点为的中点,抛物线经过两点,则直线的斜率为 A. B. ‎ C. D.‎ ‎12. 关于函数,下列说法正确的是 ‎(1)是的极大值点 (2)函数有且只有1个零点 ‎(3)存在正实数,使得恒成立 ‎ ‎(4)对任意两个正实数,且,若,则 ‎ A. B. C. D.‎ 二、填空题(本大题共4小题,共20分)‎ ‎13.  .‎ ‎14.已知函数在上为单调函数,则的取值范围为 . ‎ ‎15.过点作斜率为的直线, 与椭圆相交于两点,若,则椭圆的离心率为 .‎ ‎16.设函数,存在,使得成立,则实数的值是 .‎ 三.解答题(共6道题,共70分)‎ ‎17.(10分)在平面直角坐标系中,矩形的一边在轴上,另一边在轴上方,且,,其中,如图所示. (1)若为椭圆的焦点,且椭圆经过两点,求该椭圆的方程; (2)若为双曲线的焦点,且双曲线经过两点,求双曲线的方程.‎ ‎ ‎ ‎18.(12分)已知函数在点处取得极大值5,其导函数的图象经过点,,如图所示. (1)求及的值; (2)求函数在区间上的最大值和最小值.‎ ‎19.(12分)已知函数 ‎ (1) 讨论函数的单调区间;(2)若有唯一零点,求的取值范围.‎ ‎20.(12分)如图,在直三棱柱中,,,是中点.‎ ‎(1)求证:平面 ‎; (2)在棱上存在一点,满足,求平面与平面所成锐二面角的余弦值. ‎ 21. ‎(12分)已知椭圆,分别为椭圆的右顶点和上顶点,为坐标原点,为椭圆第一象限上一动点 ‎(1)直线与轴交于点,直线与轴交于点,求证:为定值;‎ ‎(2)为关于的对称点,求四边形面积的最大值.‎ 22. ‎(12分)已知函数 (1) 求函数的最小值;‎ (2) 当时,对任意不等式恒成立,求实数的取值范围.‎ ‎高二期中数学(理)答案 一.选择题 CAACB ADCDA BB 二.填空题 13.,14.,15.,16.‎ 三.解答题 ‎17.解:(1)∵A、B为椭圆的焦点,且椭圆经过C、D两点, 根据椭圆的定义:丨CA丨+丨CB丨=16=2a, ∴a=8, 在椭圆中:b2=a2-c2=64-16=48, ∴椭圆方程为:; (2)∵A、B为双曲线的焦点,且双曲线经过C、D两点, 根据双曲线的定义:丨CA丨-丨CB丨=4=2a′, ∴a′=2, 在双曲线中:b2=c2-a′2=16-4=12, ∴双曲线方程为:.‎ ‎18.解:(Ⅰ)由图象可知,在(-∞,1)上,f′(x)>0, 在(1,2)上,f′(x)<0,在(2,+∞)上,f′(x)>0, 故f(x)在(-∞,1),(2,+∞)上递增,在(1,2)上递减. 因此f(x)在x=1处取得极大值,所以x0=1; f′(x)=3ax2+2bx+c, 由f′(1)=0,f′(2)=0,f(1)=5, 得,解得a=2,b=-9,c=12; (Ⅱ)由(Ⅰ)得f(x)=2x3-9x2+12x,f′(x)=6x2-18x+12=6(x-1)(x-2), 所以f(x)在[0,1)上递增,在(1,2)上递减,在(2,3]上递增, ∴f(x)max=max{f(1),f(3)}=f(3)=9, f(x)min=min{f(0),f(2)}=f(0)=0. 所以f(x)在[0,3]上的最大值是9,最小值是0.‎ ‎19.(1).时增,时,增,减 ‎(2).或 ‎20.证明:‎ ‎(1)连结A1C交AC1于点O,连结EO, ∵ACC1A1是正方形,∴O为A1C的中点, 又E为CB的中点,∴EO∥A1B, ∵EO⊂平面AEC1,A1B⊄平面AEC1, ∴A1B∥平面AEC1. 解:(2)以A为原点,AB为x轴,AC为y轴,AA1为z轴,建立空间直角坐标系, 则A(0,0,0),B(2,0,0),B1(2,0,2),C(0,2,0),C1(0,2,2),E(1,1,0), 设M(0,0,m),(0≤m≤2),则=(-2,0,m-2),=(1,-1,-2), ∵B1M⊥C1E,∴=-2-2(m-2)=0,解得m=1, ∴M(0,0,1),=(1,1,-1),=(0,2,1), 设平面MEC1的法向量=(x,y,z), 则,取y=-1,得=(3,-1,2), ∵AC⊥平面ABB1A1,∴取平面ABB1A1的法向量为=(0,2,0), ∴cos<>==-, ∴平面MEC1与平面ABB1A1所成锐二面角的余弦值为.‎ ‎21.(1). (2)最大值 ‎22.(1)(2)‎
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