2018-2019学年陕西省渭南市白水县高二上学期期末考试数学（理）试题（解析版）
陕西省渭南市白水县2018-2019学年高二上学期期末考试数学（理）试题
一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）
1. 若a
b-3 C. ab>b2 D. acb2，
故选：C．
根据不等式的性质即可求出．
本题考查了不等式的性质，属于基础题．
2. 命题：“若|x|+|y|=0，则x=0或y=0”的逆否命题是( )
A. 若|x|+|y|=0，则x=0且y≠0 B. 若|x|+|y|≠0，则x≠0或y≠0
C. 若x=0且y=0，则|x|+|y|≠0 D. 若x≠0且y≠0，则|x|+|y|≠0
【答案】D
【解析】解：由逆否命题的定义得命题的逆否命题为：
若x=≠0且y≠0，则|x|+|y|≠0，
故选：D．
根据逆否命题的定义进行判断即可．
本题主要考查四种命题之间的关系，结合逆否命题的定义是解决本题的关键.比较基础．
3. 不等式2x+13-x≤0的解集是( )
A. {x|-12≤x<3} B. {x|-12≤x≤3}
C. {x|-123}
【答案】D
【解析】解：不等式等价为2x+1x-3≥0，
即x-3≠0(2x+1)(x-3)≥0，即x≥3或x≤-12x≠3，
即x>3或x≤-12，
即不等式的解集为{x|x≤-12或x>3}，
故选：D．
将分式不等式转化为一元二次不等式进行求解即可．
本题主要考查分式不等式的求解，转化为一元二次不等式是解决本题的关键．
1. 命题“∃x0∈R,lnx0≤12”的否定是( )
A. ∀x∈R，lnx0>12 B. ∀x∈R，lnx0≤12
C. ∃x0∈R,lnx0>12 D. ∃x0∈R,lnx0≥12
【答案】A
【解析】解：∵命题“∃x0∈R,lnx0≤12”，
∴它的否定是：“∀x∈R，lnx>12”.
故选：A．
根据特称命题的否定是全称命题，写出命题P的否定￢p即可．
本题考查了特称命题与全称命题的应用问题，解题时应根据特称命题的否定是全称命题，直接写出答案即可，是基础题．
2. △ABC的角A、B、C的对边分别是a、b、c，满足条件“a=1,b=3,A=π6”的三角形的解的个数是( )
A. 2 B. 1 C. 0 D. 不能确定
【答案】A
【解析】解：△ABC中，a=1，b=3，A=π6，
由正弦定理得1sinπ6=3sinB，
解得sinB=32，
又b>a，
∴B=π3或2π3，
三角形的解有2个．
故选：A．
由正弦定理求得B有2个值，三角形的解有2个．
本题考查了解三角形的应用问题，是基础题．
3. 已知等比数列{an}，则下面对任意正整数k都成立的是( )
A. ak⋅ak+1>0 B. ak⋅ak+2>0 C. ak⋅ak+1⋅ak+2>0 D. ak⋅ak+3>0
【答案】B
【解析】解：根据题意，依次分析选项：
对于A，当q<0时，ak与ak+1异号，则ak⋅ak+1<0，A 错误；
对于B，ak⋅ak+2=ak⋅ak⋅q2=(ak⋅q)2>0，B正确；
对于C，ak⋅ak+1⋅ak+2=(ak+1)3，则ak⋅ak+1⋅ak+2>0不一定成立，C错误；
对于D，ak⋅ak+3=ak2⋅q3，则ak⋅ak+3>0不一定成立，D错误；
故选：B．
根据题意，结合等比数列的性质依次分析选项，综合即可得答案．
本题考查等比数列的性质，注意等比中项的性质，属于基础题．
1. 已知向量AB=(1,2，1)，AC=(0,1，-2)，则平面ABC的一个法向量可以是( )
A. (5,-2,-1) B. (-6,2，2) C. (3,1，-2) D. (4,-3,1)
【答案】A
【解析】解：由AB=(1,2，1)，AC=(0,1，-2)，知：
在A中，∵(0,1,-2)⋅(5,-2,-1)=0-2+2=0(1,2,1)⋅(5,-2,-1)=5-4-1=0，
∴平面ABC的一个法向量可以是(5,-2,-1)，故A正确；
在B中，(0,1,-2)⋅(-6,2,2)=0+2-4=-2(1,2,1)⋅(-6,2,2)=-6+4+2=0，故B错误；
在C中，(0,1,-2)⋅(3,1,-2)=0+1+4=5(1,2,1)⋅(3,1,-2)=3+2-2=3，故C错误；
在D中，(0,1,-2)⋅(4,-3,1)=0-3-2=-5(1,2,1)⋅(4,-3,1)=4-6+1=-1，故D错误．
故选：A．
平面ABC的一个法向量与向量AB，AC的数量积都为0．
本题考查平面的法向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意法向量的性质的合理运用．
2. “10k-1>05-k≠k-1，即k<5k>1k≠3，即1A B. M≥N C. M0，
即M01|F2P|，解得：|F1P|=2+2,|F2P|=2-2，
则直线F1P的斜率为tan∠PF1F2=|F2P||F1P|=2-22+2=3-22．
故选：A．
求出椭圆的焦点坐标，利用切线与圆相切，得到三角形的斜边大于直角边，然后求解直线F1P的斜率．
本题考查椭圆的简单性质的应用，圆与椭圆的位置关系的应用，考查转化思想以及计算能力．
二、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
2. 若等差数列{an}中，a2+a5+a8=9，则a1+a9=______．
【答案】6
【解析】解：∵等差数列{an}中，a2+a5+a8=9，
∴a2+a5+a8=3a5=9，
解得a5=3，
∴a1+a9=2a5=6．
故答案为：6．
利用等差数列通项公式的性质得a2+a5+a8=3a5=9，从而a5=3，再由a1+a9=2a5，能求出结果．
本题考查等差数列中两项和的求法，考查等差数列的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
1. 在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，若AG=xAB+yAD+zAC，则x+y+z=______．
【答案】1
【解析】解：在四面体ABCD中，E、G分别是CD、BE的中点，
AG=AB+BG
=AB+12BE
=AB+12×12(BC+BD)
=AB+14(AC-AB+AD-AB)
=AB+14AC+14AD-12AB
=12AB+14AD+14AC，
∵AG=xAB+yAD+zAC，
∴x+y+z=12+14+14=1．
故答案为：1．
AG=AB+BG=AB+12×12(BC+BD)=AB+14AC+14AD-12AB=12AB+14AD+14AC，由此能求出x+y+z．
本题考查三个数的和的求法，考查空间向量的加法法则等基础知识，考查运算求解能力，考查数形结合思想，是基础题．
2. 设实数满足m>0，n>0，且1m+1n=1，则4m+n的最小值为______．
【答案】9
【解析】解：根据题意，若1m+1n=1，则4m+n=(4m+n)(1m+1n)=5+4mn+nm，
又由m>0，n>0，则4mn+nm≥2×4mn×nm=4，当且仅当n=2m时等号成立，
则4m+n=5+4mn+nm≥9，
即4m+n的最小值为9；
故答案为：9．
根据题意，分析可得4m+n=(4m+n)(1m+1n)=5+4mn+nm，结合基本不等式的性质分析可得4mn+nm的最小值，进而分析可得答案．
本题考查基本不等式的性质以及应用，关键利用1m+1n=1进行恒等变形．
1. 已知双曲线E：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的左、右焦点分别为F1、F2，点P是双曲线E右支上的一点，若线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，则双曲线E的离心率为______．
【答案】5
【解析】解：由已知中点P是双曲线E右支上的一点，
线段PF1的中点M恰好是虚轴的一个端点，
可得OM为△PF1F2的中位线，可得PF2⊥F1F2，
可得P点横坐标为c，
则P为通径的一个端点，
则b22a=b，
即b=2a，
则c=a2+b2=5a，
故双曲线E的离心率e=ca=5，
故答案为：5．
根据已知可得P为通径的一个端点，再由线段PF1的中点恰好是虚轴的一个端点，构造方程，可得答案．
本题考查的知识点是双曲线的性质，其中根据已知分析出P为通径的一个端点，是解答的关键．
三、解答题（本大题共6小题，共70.0分）
2. 过抛物线y2=4x的焦点，倾斜角为π3的直线l交此抛物线于A、B两点．
(1)求直线l的方程；
(2)求|AB|．
【答案】解：(1)抛物线y2=4x的焦点为(1,0)，所以，直线l的方程为y=3(x-1)；
(2)设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，将直线l的方程与抛物线的方程联立y=3(x-1)y2=4x，消去y并整理得3x2-10x+3=0，
由韦达定理得x1+x2=103，
由抛物线的定义可得|AB|=x1+x2+2=103+2=163．
【解析】(1)先求出抛物线的焦点的坐标，再利用点斜式可写出直线l的方程；
(2)设点A(x1,y1)、B(x2,y2)，将直线l的方程与抛物线的方程联立，列出韦达定理，利用抛物线的定义可求出|AB|．
本题考查抛物线的几何性质，考查抛物线的定义，同时也考查了韦达定理设而不求法在抛物线综合问题中的应用，属于中等题．
1. 已知数列{an}的前n项和为Sn，且Sn=12n2+12n．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}的前n项和为Tn，若q>0且b3=a3，T2=6，求Tn．
【答案】解：(1)根据题意，数列{an}满足Sn=12n2+12n，
当n=1时，有a1=S1=12+12=1，
当n≥2时，有an=Sn-Sn-1=(12n2+12n)-[12(n-1)2+12(n-1)]=n，
a1=1符合an=n，
故an=n；
(2)根据题意，由(1)的结论，an=n，
等比数列{bn}中，设其公比为q，
b3=a3=3，
又由T2=6，则3q+3q2=6，
解可得：q=1或-12(舍)，
故bn=3，
则Tn=3n．
【解析】(1)根据题意，由数列的前n项和公式分析：当n=1时，有a1=S1，当n≥2时，有an=Sn-Sn-1，验证即可得{an}的通项公式；
(2)设等比数列{bn}的公比为q，由等比数列的通项公式可得3q+3q2=6，解可得q的值，进而可得bn=3，据此分析可得答案．
本题考查数列的前n项和与通项的关系，涉及等比数列的通项公式以及前n项和的计算，属于基础题．
2. 已知中心在原点的椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点，且椭圆C过点A(2,-3)．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若PQ是椭圆C的弦，O是坐标原点，OP⊥OQ，已知直线OP的斜率为6，求点Q的坐标．
【答案】解：(1)由椭圆C1：4x2+9y2=36化为x29+y24=1，可得两个焦点(±5,0)．
∵椭圆C的两个焦点和椭圆C1：4x2+9y2=36的两个焦点是一个正方形的四个顶点．
∴椭圆C的两个焦点为(0,±5).
可设椭圆C的方程为：y2a2+x2b2=1．
又椭圆C过点A(2,3)，
∴9a2+4b2=1，且a2-b2=5，解得b2=10，a2=15．
∴椭圆C的方程为y215+x210=1．
(2)∵OP⊥OQ，直线OP的斜率为6，
∴直线OQ的斜率为-16，
∴直线OQ的方程为y=-16x，
将直线y=-16x代入y215+x210=1可得x2=9，解得x=±3，
∴x=3y=-62或x=-3y=62，
∴Q(3,-62)，或(-3,62)
【解析】(1)根据椭圆的简单性质和方程即可求出，
(2)根据直线垂直，即可求出直线OQ的斜率为-16，可得直线OQ的方程为y=-16x，与椭圆的方程联立方程组，解得即可
本题考查了椭圆的简单性质，以及直线和椭圆的位置关系，考查了运算能力，属于中档题
1. 如图，四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
(1)证明：平面PAB⊥平面PAD；
(2)求二面角P-AB-D的大小．
【答案】证明：(1)∵四棱锥P-ABCD的底面是正方形，PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点．
∴AB⊥AD，AB⊥PD，
又AD∩PD=D，∴AB⊥平面PAD，
∵AB⊂平面PAB，∴平面PAB⊥平面PAD．
解：(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，
设PD=DC=DP=2，则A(2,0，0)，P(0,0，2)，D(0,0，0)，B(2,2，0)，
AP=(-2,0，2)，AB=(0,2，0)，
设平面PAB的法向量n=(x,y，z)，
则n⋅AP=-2x+2z=0n⋅AB=2y=0，取x=1，得n=(1,0，1)，
平面ABD的法向量m=(0,0，1)，
设二面角P-AB-D的大小为θ，
则cosθ=|m⋅n||m|⋅|n|=12=22，
θ=45∘，
∴二面角P-AB-D的大小为45∘．
【解析】(1)推导出AB⊥AD，AB⊥PD，从而AB⊥平面PAD，由此能证明平面PAB⊥平面PAD．
(2)以D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出二面角P-AB-D的大小．
本题考查面面垂直的证明，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是中档题．
1. 已知海岛B在海岛A北偏东45∘，且与A相距20海里，物体甲从海盗B以2海里/小时的速度沿直线向海岛A移动，同时物体乙从海岛A以4海里/小时的速度沿直线向北偏西15∘方向移动．
(1)求经过多长时间，物体甲在物体乙的正东方向；
(2)求甲从海岛B到达海岛A的过程中，甲乙两物体的最短距离．
【答案】解：(1)设经过t(0
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