数学理卷·2018届山东省淄博市实验中学高三4月教学诊断考试（2018

数学理卷·2018届山东省淄博市实验中学高三4月教学诊断考试（2018

淄博实验中学高三年级第二学期教学诊断考试试题 2018.4‎ ‎　数 学（科学）‎ 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分150分，考试时间120分钟。‎ 第Ⅰ卷（选择题 共60分）‎ (1) 选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．若复数满足，其中为虚数单位，则在复平面内所对应的点位于 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎2．已知集合， ，全集，则等于 A. B. C. D. ‎ ‎3． 如图，在平面直角坐标系中，角的顶点与坐标原点重合，始边与轴的非负半轴重合，它们的终边分别与单位圆相交于两点，若点的坐标分别为和，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎4.若的展开式中的系数为30，则的值为 A. B. C. D. ‎ ‎5．已知成等差数列，成等比数列，则的值为 ‎ A. B. C. D.‎ ‎6．我国南宋时期的数学家秦九韶在他的著作《数书九章》中提出了计算多项式 的值的秦九韶算法，即将 改写成如下形式：‎ ‎ ，首先计算最内层一次多项式的值，然后由内向外逐层计算一次多项式的值.这种算法至今仍是比较先进的算法.将秦九韶算法用程序框图表示如下图，则在空白的执行框内应填入 A. B. C. D. ‎ ‎7．一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体 的体积为 A. B. C. D. ‎ ‎8． 已知，给出下列四个命题：‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 其中真命题的是 A. B. C. D. ‎ ‎9．在中， 是斜边上一点，且满足： ,点在过点的直线上，若,,则的最小值为 A. 2 B. C. 3 D. ‎ ‎10．如图，直三棱柱中， ， ， ，外接球的球心为，点是侧棱上的一个动点.有下列判断：‎ ‎① 直线与直线是异面直线；② 一定不垂直；‎ ‎③ 三棱锥的体积为定值； ④ 的最小值为.‎ 其中正确的个数是 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎11．已知函数是定义在上的奇函数，且当时， ，则对任意，函数的零点个数至多有 A. 3个 B. 4个 C. 6个 D. 9个 ‎12．已知为直角坐标系的坐标原点，双曲线上有一点（），点在轴上的射影恰好是双曲线的右焦点，过点作双曲线两条渐近线的平行线，与两条渐近线的交点分别为， ，若平行四边形的面积为1，则双曲线的标准方程是 A. B. C. D. ‎ 第Ⅱ卷（非选择题 共90分）‎ 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13．在一组样本数据（x1，y1），（x2，y2），…（x6，y6）的散点图中，若所有样本点（xi，yi）（i=1，2，…，6）都在曲线y=bx2﹣1附近波动．经计算xi=11，yi=13，xi2=21，则实数b的值为　 　．‎ ‎14．若，则____________．‎ ‎15．设抛物线 （）的焦点为，准线为.过焦点的直线分别交抛物线于 ‎ 两点，分别过作的垂线，垂足.若，且三角形的面积为 ‎，则的值为___________.‎ ‎16.设错误！未找到引用源。，错误！未找到引用源。在错误！未找到引用源。上恒成立，则错误！未找到引用源。的最大值为 ‎ 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎17（本小题12分）已知函数的一段图象如图所示．‎ ‎（1）求函数的解析式；‎ ‎（2）若函数在轴右侧的极小值点的横坐标组成数列，设右侧的第一个极小值点的横坐标为首项，试求数列的前项和．‎ ‎18（本小题12分）、在三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面AA1C1C⊥底面ABC，AA1=A1C=AC=AB=BC=2，且点O为AC中点．‎ ‎（Ⅰ）证明：A1O⊥平面ABC；‎ ‎（Ⅱ）求二面角A﹣A1B﹣C1的大小 ．‎ ‎19（本小题12分）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同，进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完。根据往年销售经验，每天需求量与当天最高气温（单位：℃）有关。如果最高气温不低于25，需求量为500瓶；如果最高气温位于区间[20，25），需求量为300瓶；如果最高气温低于20，需求量为200瓶．为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：‎ 最高气温 ‎[10，15）‎ ‎[15，20）‎ ‎[20，25）‎ ‎[25，30）‎ ‎[30，35）‎ ‎[35，40）‎ 天数 ‎2‎ ‎16‎ ‎36‎ ‎25‎ ‎7‎ ‎4‎ 以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率。‎ ‎（1）求六月份这种酸奶一天的需求量X（单位：瓶）的分布列；‎ ‎（2）设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y（单位：元）。当六月份这种酸奶一天的进货量n（单位：瓶）为多少时，Y的数学期望达到最大值？‎ ‎20、（本小题12分）已知圆C：(x－1)2＋y2＝16，F(－1,0)，M是圆C上的一个动点，线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P.‎ ‎(1)求点P的轨迹方程；‎ ‎(2)记点P的轨迹为C1，A，B是直线x＝－2上的两点，满足AF⊥BF，曲线C1上过A，B的两条切线(异于x＝－2)交于点Q，求四边形AQBF面积的取值范围．‎ ‎21．（本小题12分）设函数。‎ ‎（1）证明：在单调递减，在单调递增；‎ ‎（2）若对于任意，都有，求m的取值范围。‎ 请考生在第22，23两题中任选一道作答。注意：只能做所选的题目．如果都做，则按所做的第一题计分。‎ ‎22、 （本小题10分）选修4-4：坐标系与参数方程 在直角坐标系 中，直线，圆，以坐标原点为极点,x轴正半轴为极轴建立极坐标系.‎ ‎（I）求的极坐标方程.‎ ‎（II）若直线的极坐标方程为，设的交点为，求 的面积.‎ ‎23. （本小题10分）(选修4-5：不等式选讲)已知函数 .‎ ‎（I）当 时求不等式 的解集；（II）若的图像与x轴围成的三角形面积大于6，求a的取值范围. ‎ 参考答案 一、选择题：‎ CDDBC AADBC AA 二、填空题：‎ ‎ 2017 ‎ ‎17．解析：‎ ‎（1） 由图可知，，， ………………………2分 因为，所以， ………………………4分 由“五点法”作图，，解得，‎ 所以函数的解析式为 ………………………6分 ‎（2）易知为等差数列，设其公差为，则，‎ 又函数在轴的右侧的第一个极值点横坐标为，‎ 则有，得，所以，…………8分 ‎， ………………………10分 ‎.……12分 ‎18、证明：（Ⅰ）∵AA1=A1C，且O为AC的中点，‎ ‎∴A1O⊥AC，…（2分）‎ 又∵侧面AA1C1C⊥底面ABC，交线为AC，且A1O⊂平面AA1C1C，‎ ‎∴A1O⊥平面ABC…（4分）‎ 解：（Ⅱ）如图，以O为原点，OB，OC，OA1所在直线分别为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．‎ 由已知可得O（0，0，0），A（0，﹣1，0），，，‎ ‎∴，，…（6分）‎ 设平面AA1B的一个法向量为，‎ 则有 令x1=1，得，z1=1 ‎ ‎∴…（8分）‎ 设平面A1BC1的法向量为，‎ 则有 令x2=1，则y2=0，z2=1，∴…（10分）‎ ‎∴‎ ‎∴所求二面角的大小为…（12分）‎ ‎19.解：解：（1）由题意知X的可能取值为200，300，500，‎ P（X=200）==0.2，‎ P（X=300）=，‎ P（X=500）==0.4，‎ ‎∴X的分布列为：‎ ‎ X ‎ 200‎ ‎ 300‎ ‎ 500‎ ‎ P ‎ 0.2‎ ‎ 0.4‎ ‎ 0.4‎ ‎（2）由题意知这种酸奶一天的需求量至多为500瓶，至少为200瓶，‎ ‎∴只需考虑200≤n≤500，‎ 当300≤n≤500时，‎ 若最高气温不低于25，则Y=6n﹣4n=2n；‎ 若最高气温位于区间[20，25），则Y=6×300+2（n﹣300）﹣4n=1200﹣2n；‎ 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，‎ ‎∴EY=2n×0.4+（1200﹣2n）×0.4+（800﹣2n）×0.2=640﹣0.4n，‎ 当200≤n≤300时，‎ 若最高气温不低于20，则Y=6n﹣4n=2n，‎ 若最高气温低于20，则Y=6×200+2（n﹣200）﹣4n=800﹣2n，‎ ‎∴EY=2n×（0.4+0.4）+（800﹣2n）×0.2=160+1.2n．‎ ‎∴n=300时，Y的数学期望达到最大值，最大值为520元．‎ ‎ ‎ ‎　‎ ‎20解：（Ⅰ）依题意得圆心C（0，1），半径r=4，‎ ‎∵线段MF的垂直平分线与线段MC相交于点P，‎ ‎∴|PF|+|PC|=|PM|+|PC|=CM=4＞|CF|=2．‎ ‎∴点P的轨迹方程是以C，F为焦点，长轴长为4的椭圆，‎ 即a=2，c=1，则b=22﹣1=3，‎ ‎∴P的轨迹方程是．‎ ‎（Ⅱ）依题意，直线AF斜率存在且不为零，设为y=k（x+1），‎ 令x=﹣2得A（﹣2，﹣k），同理B（﹣2，）．‎ 设过点A的切线为y=k1（x+2）﹣k，代入 得x+4[（2k1﹣k）2﹣3]=0．‎ 由，解得，‎ 同理k2==．‎ 联立方程组：，解得x=﹣4．‎ ‎∴=，当且仅当k=±1时等号成立，‎ ‎∴四边形AQBF面积的取值范围是[3，+∞）．‎ ‎21解：（1）证明：f′（x）=m（emx﹣1）+2x．‎ 若m≥0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1≤0， f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1≥0，f′（x）＞0．‎ 若m＜0，则当x∈（﹣∞，0）时，emx﹣1＞0，f′（x）＜0；当x∈（0，+∞）时，emx﹣1＜0，f′（x）＞0．‎ 所以，f（x）在（﹣∞，0）时单调递减，在（0，+∞）单调递增．‎ ‎（2）由（1）知，对任意的m，f（x）在[﹣1，0]单调递减，在[0，1]单调递增，故f（x）在x=0处取得最小值．‎ 所以对于任意x1，x2∈[﹣1，1]，|f（x1）﹣f（x2）|≤e﹣1的充要条件是 即设函数g（t）=et﹣t﹣e+1，则g′（t）=et﹣1．‎ 当t＜0时，g′（t）＜0；当t＞0时，g′（t）＞0．故g（t）在（﹣∞，0）单调递减，在（0，+∞）单调递增．‎ 又g（1）=0，g（﹣1）=e﹣1+2﹣e＜0，故当t∈[﹣1，1]时，g（t）≤0．‎ 当m∈[﹣1，1]时，g（m）≤0，g（﹣m）≤0，即合式成立；‎ 当m＞1时，由g（t）的单调性，g（m）＞0，即em﹣m＞e﹣1．‎ 当m＜﹣1时，g（﹣m）＞0，即e﹣m+m＞e﹣1．‎ 综上，m的取值范围是[﹣1，1]‎ ‎22、解：（I）因为，所以的极坐标方程为，‎ 的极坐标方程为. ……5分 ‎ ‎（II）将代入，得，解得[来源]‎ ‎.故，即 由于的半径为1，所以的面积为. ……10分 ‎ ‎23、解：‎ ‎（I）当时，化为.‎ 当时，不等式化为，无解；‎ 当时，不等式化为，解得；‎ 当，不等式化为-+2＞0，解得1≤＜2.‎ 所以的解集为. ……5分 ‎ ‎（II）由题设可得，‎ 所以函数的图像与轴围成的三角形的三个丁点分别为 ‎,△ABC的面积为. 由题设得＞6，故＞2.‎ 所以的取值范围为. ……10分 ‎