甘肃省张掖市第二中学2020届高三9月月考数学(理)试卷

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甘肃省张掖市第二中学2020届高三9月月考数学(理)试卷

数学(理科)‎ 第I卷(选择题)‎ 一、单选题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.设全集,集合则集合= ( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎2.若命题,则为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎3.已知,向量,则向量( )‎ A. B. C. D.‎ ‎4.已知命题“”,命题“”,若命题“”是真命题,则实数的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎5.若,,则(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.在等差数列中,若,则( )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.函数的图象可能是( )‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎8.若双曲线的一个焦点F到其一条渐近线的距离为则双曲线的离心率为( )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.某单位安排甲乙丙三人在某月1日至12日值班,每人4天.‎ 甲说:我在1日和3日都有值班 乙说:我在8日和9日都有值班 丙说:我们三人各自值班日期之和相等 据此可判断丙必定值班的日期是( )‎ A.10日和12日 B.2日和7日 C.4日和5日 D.6日和11日 ‎10.已知函数是定义在上的奇函数,,且时,,则( )‎ A.4 B. C. D.‎ ‎11.已知函数 在上单调递减,则的取值范围是( )‎ A. B. C. D.‎ ‎12.当时, ,则的取值范围是(   )‎ A. B. C. D.‎ 第II卷(非选择题)‎ 二、填空题(每小题5分,共20分)‎ ‎13.直线与间的距离为________ 。‎ ‎14.已知对于任意实数满足(其中,),则有序实数对_________‎ ‎15.已知函数,若实数满足,则 ‎____.‎ ‎16.已知函数,则__________________.‎ 三、解答题(共70分)‎ ‎17.(12分)已知等差数列满足,.‎ ‎(Ⅰ)求的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设是等比数列的前项和,若,,求.‎ ‎18.(12分)如图,已知四棱锥中,平面,底面为直角梯形,,,.‎ ‎(Ⅰ)求证:平面平面;‎ ‎(Ⅱ)若M是线段PC的中点,求BM与平面PDC所成的角的正弦值。‎ ‎19.(12分)近年来,空气质量成为人们越来越关注的话题,空气质量指数(,简称)是定量描述空气质量状况的指数.环保部门记录了某地区7天的空气质量指数,其中,有4天空气质量为优,有2天空气质量为良,有1天空气质量为轻度污染.现工作人员从这7天中随机抽取3天进行某项研究.‎ ‎(I)求抽取的3天中至少有一天空气质量为良的概率;‎ ‎(Ⅱ)用表示抽取的3天中空气质量为优的天数,求随机变量的分布列和数学期望.‎ ‎20.(12分)在平面直角坐标系中,已知圆在轴上截得线段长为,在 轴上截得线段 长.‎ ‎(1) 求圆心的轨迹方程;‎ ‎(2) 若点到直线的距离为,求圆P的方程.‎ ‎21.(12分)已知函数,,其中.‎ ‎(1) 当时,求函数的极值;‎ ‎(2) 若存在区间,使得与在区间上具有相同的单调性,求实数 的取值范围.‎ 二选一 ‎22.(10分)在平面直角坐标系中,将椭圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,得到曲线.以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线的极坐标方程为.‎ 写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程;‎ 已知点,且直线与曲线交于、两点,求的值.‎ ‎23.(10分).‎ ‎(1)画出的图象,并由图象写出的解集;‎ ‎(2)若存在使不等式成立,求实数的取值范围.‎ 数学(理科)答案 ‎1.D 2.B 3.A 4.D 命题p即:lna⩾x,∴lna⩾1,解得a⩾e;命题q即关于x的方程x2+4x+a=0有实根,等价于△=16−4a⩾0,所以a⩽4.∵命题“p∧q”是真命题,∴命题p真,命题q真,因此实数a的取值范围是[e,4];‎ ‎5.B 又 ‎ ‎6.D 由等差中项的性质得,得,‎ 所以,,故选:D.‎ ‎7.A 排除BD 排除C ‎8.C 解:双曲线的一个焦点为,一条渐近线方程为,所以焦点到渐近线的方程为,整理得,即 所以 ‎ ‎9.D 由题意,1至12的和为78,因为三人各自值班的日期之和相等, 所以三人各自值班的日期之和为26,根据甲说:我在1日和3日都有值班;乙说:我在8日和9日都有值班,可得甲在1、3、10、12日值班,乙在8、9、2、7或8、9、4、5,‎ 据此可判断丙必定值班的日期是6日和11日,‎ ‎10.D 因为函数满足,所以,即函数是以为周期的周期函数,又函数是定义在上的奇函数,且时,,所以.故选D.‎ ‎11.A 在上恒成立,则在上恒成立,‎ 令,,所以在单调递增,‎ 故g(x)的最大值为g(3)=. 故.‎ ‎12.故选B 由题意,当时,函数的图象,如图所示,‎ 若不等式恒成立,则函数的图象恒在函数的上方,‎ 因为函数的图象与函数的图象交于点时,‎ 此时,根据对数函数的性质可知函数图象对应的底数满足,.‎ ‎13.‎ 因为直线与互相平行.‎ ‎14.‎ ‎15.2 对任意,,函数的定义域为,‎ ‎,则函数为奇函数,‎ 当时,由于函数为增函数,所以,函数在上为增函数,由于该函数为奇函数,则函数在上也为增函数,所以,函数在上为增函数,由,得,,可得出.‎ ‎16.‎ 对函数求导得,,解得,‎ 因此,,故答案为:.‎ ‎17.(I);(Ⅱ),或 ‎(I)设等差数列的公差为,∵.∴,,‎ 解得,, ∴.‎ ‎(Ⅱ)设等比数列的公比为,,,联立解得,,∴,或. .‎ ‎18.(Ⅰ)见解析;(Ⅱ)见解析 ‎(Ⅰ)证明:因为平面,所以.‎ 又因为,,所以.‎ 又,平面.可得平面.‎ 又平面,所以平面平面.‎ ‎(Ⅱ)方法1.建立空间直角坐标系得正弦值是 方法2。取PD的中点为N,则AN//BM,则 ‎19.(I);(Ⅱ).‎ ‎(Ⅰ)解:设事件为“抽取的3天中至少有一天空气质量为良”,‎ 事件的对立事件为“抽取的3天空气质量都不为良”,从7天中随机抽取3天共有种不同的选法,抽取的3天空气质量都不为良共有种不同的选法,则,所以,事件发生的概率为.‎ ‎(Ⅱ)解:随机变量的所有可能取值为0,1,2,3.,‎ 所以,随机变量的分布列为 ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ 随机变量的数学期望.‎ ‎20.(1) (2) 或.‎ ‎(1)设,圆的半径为,‎ 由题设可得,,从而,故点的轨迹方程为.‎ ‎(2)设,由已知得,即,‎ 又P点在双曲线上,所以,‎ 由,得,此时,圆的半径;‎ 由,得,此时,圆的半径,‎ 故圆的方程为:或.‎ ‎21.(1)极小值,无极大值.(2)‎ 解:(1)当时,,定义域为,则,‎ 故当时,,单调递减;当时,,单调递增.‎ 所以在处取得极小值,且,无极大值.‎ ‎(2)由题意知,,.‎ 当时,,即在R上单调递增,而在上单调递增,‎ 故必存在区间,使得与在区间上单调递增;‎ 当时,,故在上单调递减,而在上单调递增,故不存在满足条件的区间;‎ 当时,,即在上单调递减,而在上单调递减,在上单调递增,若存在区间,使得与在区间上有相同的单调性,则有,解得.‎ 综上可知,的取值范围为.‎ ‎22.将椭圆上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原来的一半,得到曲线.得到圆的图象,故曲线的普通方程为;‎ 直线的极坐标方程为.故直线的直角坐标方程为,即;‎ 直线过点且倾斜角为,故直线的参数方程为:(为参数).代入方程.化为:,.‎ 根据的几何意义可得:.‎ ‎23.(1)图象详见解析,解集为;(2)‎ ‎(1)的图象如图所示:‎ 由图象可得的解集为:‎ ‎(2),从而只需,即:‎ 解得:实数的取值范围为
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