数学卷·2018届山东省德州市平原一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

数学卷·2018届山东省德州市平原一中高二上学期期中数学试卷（文科）（解析版）

‎2016-2017学年山东省德州市平原一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．如果a和b是异面直线，直线a∥c，那么直线b与c的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 ‎2．正方体内切球和外接球半径的比为（　　）‎ A．1： B．1： C．： D．1：2‎ ‎3．过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为﹣，则|MN|=（　　）‎ A．10 B．180 C．6 D．6‎ ‎4．若直线mx﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，则m的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎5．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．4‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎7．已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β，给出下列命题，其中正确的是（　　）‎ ‎①α∥β⇒l⊥m ‎ ‎②α⊥β⇒l∥m ‎ ‎③l∥m⇒α⊥β ‎ ‎④l⊥m⇒α∥β A．②④ B．②③④ C．①③ D．①②③‎ ‎8．两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0之间的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．72π B．48π C．30π D．24π ‎10．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．﹣‎ ‎11．已知圆：C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（x+2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣2）2=1 D．（x﹣2）2+（y+2）2=1‎ ‎12．若圆x2+y2﹣6x﹣2y+6=0上有且仅有三个点到直线ax﹣y+1=0（a是实数）的距离为1，则a等于（　　）‎ A．±1 B． C． D．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若直线l1：2x﹣ay﹣1=0与直线l2：x+2y=0垂直，则a=　　．‎ ‎14．直线y=kx与圆（x﹣2）2+（y+1）2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则k的取值范围是　　．‎ ‎15．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，），椭圆C的方程为　　．‎ ‎16．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β．‎ 其中正确的命题有　　．（填写所有正确命题的编号）‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（1）求经过直线l1：2x+3y﹣5=0与l2：7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程；‎ ‎（2）求与直线3x+4y﹣7=0垂直，且与原点的距离为6的直线方程．‎ ‎18．已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．‎ ‎（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．‎ ‎19．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．‎ ‎（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；‎ ‎（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．‎ ‎20．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）‎ ‎（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；‎ ‎（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．‎ ‎21．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：EF⊥CD．‎ ‎22．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．‎ ‎　‎ ‎2016-2017学年山东省德州市平原一中高二（上）期中数学试卷（文科）‎ 参考答案与试题解析 ‎　‎ 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1．如果a和b是异面直线，直线a∥c，那么直线b与c的位置关系是（　　）‎ A．相交 B．异面 C．平行 D．相交或异面 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】两条直线的位置关系有三种：相交，平行，异面．由于a，b是两条异面直线，直线c∥a则c有可能与b相交且与a平行，但是c不可能与b平行，要说明这一点采用反证比较简单．‎ ‎【解答】解：∵a，b是两条异面直线，直线c∥a ‎∴过b任一点可作与a平行的直线c，此时c与b相交．另外c与b不可能平行理由如下：‎ 若c∥b则由c∥a可得到a∥b这与a，b是两条异面直线矛盾，故c与b异面．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎2．正方体内切球和外接球半径的比为（　　）‎ A．1： B．1： C．： D．1：2‎ ‎【考点】球内接多面体．‎ ‎【分析】设出正方体的棱长，利用正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，分别求出半径，即可得到结论．‎ ‎【解答】解：正方体的棱长是内切球的直径，正方体的对角线是外接球的直径，设棱长是a．‎ 则a=2r内切球，r内切球=； a=2r外接球，r外接球=，‎ r内切球：r外接球=1：．‎ 故选B．‎ ‎　‎ ‎3．过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线的斜率为﹣，则|MN|=（　　）‎ A．10 B．180 C．6 D．6‎ ‎【考点】直线的两点式方程．‎ ‎【分析】根据直线MN的斜率求出a的值，再计算|MN|的值．‎ ‎【解答】解：∵过点M（﹣2，a），N（a，4）的直线斜率为 k==﹣，‎ 解得a=10；‎ ‎∴|MN|===6．‎ 故选：C．‎ ‎　‎ ‎4．若直线mx﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，则m的值为（　　）‎ A． B．﹣ C．2 D．﹣2‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】由已知条件推导出，由此能求出m的值为．‎ ‎【解答】解：∵直线mx﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行，‎ ‎∴，解得m=，‎ ‎∴m的值为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎5．一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形，且梯形OA′B′C′的面积为，则原梯形的面积为（　　）‎ A．2 B． C．2 D．4‎ ‎【考点】平面图形的直观图．‎ ‎【分析】根据斜二测画法的规则将图形还原，平面图是一个直角梯形，面积易求．‎ ‎【解答】解：如图，‎ 有斜二测画法原理知，平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的，不一样的是两个梯形的高，其高的关系是这样的：平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍，如直观图，OA'的长度是直观图中梯形的高的倍，由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍，故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍，梯形OA′B′C′的面积为，所以原梯形的面积是4．‎ 故应选D．‎ ‎　‎ ‎6．某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的各个面中，最大的面积是（　　）‎ A． B．1 C． D．‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】根据几何体的三视图，得出该几何体是直三棱锥，根据图中的数据，求出该三棱锥的4个面的面积，得出面积最大的三角形的面积．‎ ‎【解答】解：根据几何体的三视图，得；‎ 该几何体是如图所示的直三棱锥，‎ 且侧棱PA⊥底面ABC，‎ PA=1，AC=2，点B到AC的距离为1；‎ ‎∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1，‎ 侧面△PAB的面积为S2=××1=，‎ 侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1，‎ 在侧面△PBC中，BC=，PB==，PC==，‎ ‎∴△PBC是Rt△，‎ ‎∴△PBC的面积为S4=××=；‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的所有面中，面积最大的是△PBC，为．‎ 故选：A．‎ ‎　‎ ‎7．已知直线l⊥平面α，直线m⊆平面β，给出下列命题，其中正确的是（　　）‎ ‎①α∥β⇒l⊥m ‎ ‎②α⊥β⇒l∥m ‎ ‎③l∥m⇒α⊥β ‎ ‎④l⊥m⇒α∥β A．②④ B．②③④ C．①③ D．①②③‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质，可判断①；根据线面垂直和面面垂直的几何特征，可判断②④；根据线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理，可判断③；‎ ‎【解答】解：若α∥β，l⊥平面α，可得l⊥β，又由m⊆平面β，故l⊥m，故①正确；‎ 若α⊥β，l⊥平面α，可得l∥β或l⊂β，又由m⊆平面β，此时l与m的关系不确定，故②错误；‎ 若l∥m，l⊥平面α，可得m⊥平面α，又由m⊆平面β，可得α⊥β，故③正确；‎ 若l⊥m，l⊥平面α，则m∥平面α，或m⊂平面α，又由m⊆平面β，此时α与β的关系不确定，故④错误；‎ 故四个命题中，①③正确；‎ 故选：C ‎　‎ ‎8．两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0之间的距离是（　　）‎ A． B． C． D．‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离．‎ ‎【分析】首先求出m的值，然后利用平行线之间的距离公式解答．‎ ‎【解答】解：由已知两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0，所以m=6，‎ 所以两条平行线的距离为；‎ 故选A．‎ ‎　‎ ‎9．某几何体的三视图如图所示，它的体积为（　　）‎ A．72π B．48π C．30π D．24π ‎【考点】由三视图求面积、体积．‎ ‎【分析】由题意，结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体，根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项 ‎【解答】解：由图知，该几何体是圆锥和半球体的组合体，球的半径是3，圆锥底面圆的半径是3，圆锥母线长为5，由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4，‎ 则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π 故选C ‎　‎ ‎10．椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是（0，2），那么k等于（　　）‎ A．﹣1 B．1 C． D．﹣‎ ‎【考点】椭圆的简单性质．‎ ‎【分析】把椭圆5x2+ky2=5的方程化为标准形式，得到 c2的值等于4，解方程求出k．‎ ‎【解答】解：椭圆5x2+ky2=5 即 x2 +=1，‎ ‎∵焦点坐标为（0，2），c2=4，‎ ‎∴﹣1=4，∴k=1，‎ 故选 B．‎ ‎　‎ ‎11．已知圆：C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1，圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称，则圆C2的方程为（　　）‎ A．（x﹣2）2+（y﹣2）2=1 B．（x+2）2+（y+2）2=1 C．（x+2）2+（y﹣2）2=1 D．（x﹣2）2+（y+2）2=1‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程．‎ ‎【分析】在圆C2上任取一点（x，y），求出此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点，则此对称点在圆C1上，再把对称点坐标代入 圆C1的方程，化简可得圆C2的方程．‎ ‎【解答】解：在圆C2上任取一点（x，y），‎ 则此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点（y+1，x﹣1）在圆C1：（x+1）2+（y﹣1）2=1上，‎ ‎∴有（y+1+1）2+（x﹣1﹣1）2=1，‎ 即 （x﹣2）2+（y+2）2=1，‎ ‎∴答案为（x﹣2）2+（y+2）2=1．‎ 故选：D．‎ ‎　‎ ‎12．若圆x2+y2﹣6x﹣2y+6=0上有且仅有三个点到直线ax﹣y+1=0（a是实数）的距离为1，则a等于（　　）‎ A．±1 B． C． D．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】化简圆的方程，求出圆心坐标，求出半径，推出圆心到直线的距离可求a的值．‎ ‎【解答】解：由题意知圆心（3，1），半径是2，则圆心到直线的距离是1，即可知a=．‎ 故选B．‎ ‎　‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13．若直线l1：2x﹣ay﹣1=0与直线l2：x+2y=0垂直，则a=　1　．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系．‎ ‎【分析】利用直线垂直的条件求解．‎ ‎【解答】解：∵两直线l1：2x﹣ay﹣1=0与直线l2：x+2y=0互相垂直，‎ ‎∴2﹣2a=0，‎ 解得a=1．‎ 故答案为：1．‎ ‎　‎ ‎14．直线y=kx与圆（x﹣2）2+（y+1）2=4相交于A，B两点，若|AB|≥2，则k的取值范围是　　．‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系．‎ ‎【分析】由题意求出圆心坐标和半径，由点到直线的距离公式求出圆心直线y=kx的距离，由直线与圆相交的条件列出不等式求出k的范围，结合条件和弦长公式列出不等式求出k的取值范围．‎ ‎【解答】解：由题意得，圆心坐标（2，﹣1）、半径r=2，‎ 则圆心到直线y=kx的距离d=＜2，解得k＜，‎ ‎∵所截得的弦|AB|≥2，∴2=2，‎ 化简得，3k2+4k≤0，解得，‎ 综上可得，k的取值范围是，‎ 故答案为：．‎ ‎　‎ ‎15．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，），椭圆C的方程为　+y2=1　．‎ ‎【考点】椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】利用椭圆的定义求出a，从而可得b，即可求出椭圆C的方程．‎ ‎【解答】解：∵椭圆C： +=1（a＞b＞0）的两个焦点分别为F1（﹣1，0），F2（1，0），且椭圆C经过点P（，），‎ ‎∴2a=|PF1|+|PF2|=2．‎ ‎∴a=．‎ 又由已知c=1，∴b=1，‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1．‎ 故答案为： +y2=1．‎ ‎　‎ ‎16．α，β是两个平面，m，n是两条直线，有下列四个命题：‎ ‎①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α⊥β；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么m⊥n；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m∥β；‎ ‎④如果m∥n，m⊂α，n⊂β，则α∥β．‎ 其中正确的命题有　②③　．（填写所有正确命题的编号）‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用．‎ ‎【分析】根据空间直线与直线，直线与平面的关系，逐一分析四个命题的真假，可得答案．‎ ‎【解答】解：①如果m⊥n，m⊥α，n∥β，那么α与β的关系不确定，故错误；‎ ‎②如果m⊥α，n∥α，那么平面α内存在直线l使，m⊥l，n∥l 故m⊥n，故正确；‎ ‎③如果α∥β，m⊂α，那么m与β无公共点，则m∥β，故正确；‎ ‎④如果m∥n，m⊂α，n⊂β，那么α与β的关系不确定，故错误；‎ 故答案为：②③‎ ‎　‎ 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）‎ ‎17．（1）求经过直线l1：2x+3y﹣5=0与l2：7x+15y+1=0的交点，且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程；‎ ‎（2）求与直线3x+4y﹣7=0垂直，且与原点的距离为6的直线方程．‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系．‎ ‎【分析】（1）联立两直线解析式求出交点坐标，设出平行于直线x+2y﹣3=0的方程，将交点坐标代入即可；‎ ‎（2）设出与直线垂直的直线方程，根据与原点距离为6确定出所求直线即可．‎ ‎【解答】解：（1）联立，‎ 解得，‎ ‎∴交点P的坐标（，﹣），‎ 设平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程为x+2y+n=0，‎ 代入得+2×（﹣）+n=0，‎ 解得：n=﹣，‎ ‎∴所求直线方程为x+2y﹣=0，即9x+18y﹣4=0；‎ ‎（2）设与直线3x+4y﹣7=0垂直的直线方程为4x﹣3y+m=0，‎ ‎∵与原点的距离为6，‎ ‎∴=6，‎ 解得：m=±30，‎ 则所求直线方程为4x﹣3y±30=0．‎ ‎　‎ ‎18．已知坐标平面上一点M（x，y）与两个定点M1（26，1），M2（2，1），且=5．‎ ‎（Ⅰ）求点M的轨迹方程，并说明轨迹是什么图形；‎ ‎（Ⅱ）记（Ⅰ）中的轨迹为C，过点M（﹣2，3）的直线l被C所截得的线段的长为8，求直线l的方程．‎ ‎【考点】轨迹方程．‎ ‎【分析】（Ⅰ）直接利用距离的比，列出方程即可求点M的轨迹方程，然后说明轨迹是什么图形；‎ ‎（Ⅱ）设出直线方程，利用圆心到直线的距离，半径与半弦长满足的勾股定理，求出直线l的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）由题意，得=5.，‎ 化简，得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0…‎ 即（x﹣1）2+（y﹣1）2=25．‎ ‎∴点M的轨迹方程是（x﹣1）2+（y﹣1）2=25，‎ 轨迹是以（1，1）为圆心，以5为半径的圆．…‎ ‎（Ⅱ）当直线l的斜率不存在时，l：x=﹣2，此时所截得的线段的长为2=8，‎ ‎∴l：x=﹣2符合题意．…‎ 当直线l的斜率存在时，设l的方程为y﹣3=k（x+2），即kx﹣y+2k+3=0，‎ 圆心到l的距离d=，由题意，得（）2+42=52，解得k=．‎ ‎∴直线l的方程为x﹣y+=0，即5x﹣12y+46=0．‎ 综上，直线l的方程为x=﹣2，或5x﹣12y+46=0…‎ ‎　‎ ‎19．如图，AA1B1B是圆柱的轴截面，C是底面圆周上异于A，B的一点，AA1=AB=2．‎ ‎（1）求证：平面AA1C⊥平面BA1C；‎ ‎（2）若AC=BC，求几何体A1﹣ABC的体积V．‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定．‎ ‎【分析】（1）证明BC⊥平面AA1C，即可证明平面AA1C⊥平面BA1C；‎ ‎（2）求出AC，直接利用体积公式求解即可．‎ ‎【解答】（1）证明：因为C是底面圆周上异于A，B的一点，AB是底面圆的直径，‎ 所以AC⊥BC．‎ 因为AA1⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，所以AA1⊥BC，‎ 而AC∩AA1=A，所以BC⊥平面AA1C．‎ 又BC⊂平面BA1C，所以平面AA1C⊥平面BA1C．…‎ ‎（2）解：在Rt△ABC中，AB=2，则由AB2=AC2+BC2且AC=BC，‎ 得，‎ 所以．…‎ ‎　‎ ‎20．已知圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25，直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0（m∈R）‎ ‎（Ⅰ）证明：无论m取什么实数，l与圆恒交于两点；‎ ‎（Ⅱ）求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程．‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质．‎ ‎【分析】（Ⅰ）求得所给的直线经过x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），而点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，从而得到l与圆恒交于两点．‎ ‎（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，再利用点斜式求得弦所在的直线的方程．‎ ‎【解答】解：（Ⅰ）证明：直线l：（2m+1）x+（m+1）y﹣7m﹣4=0，即 x+y﹣4+m（2x+y﹣7）=0，‎ 恒经过直线x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M（3，1），‎ 而点M到圆心C（1，2）的距离为MC==＜半径5，‎ 故点M在圆C：（x﹣1）2+（y﹣2）2=25的内部，故l与圆恒交于两点．‎ ‎（Ⅱ）弦长最小时，MC和弦垂直，故弦所在的直线l的斜率为==2，‎ 故直线l的方程为y﹣1=2（x﹣3），即 2x﹣y﹣5=0．‎ ‎　‎ ‎21．如图，已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点．‎ ‎（1）求证：EF∥平面PAD；‎ ‎（2）求证：EF⊥CD．‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定；空间中直线与直线之间的位置关系．‎ ‎【分析】（1）取PD中点Q，连AQ、QF，易证EF∥AQ，根据直线与平面平行的判定定理可证得EF∥面PAD；‎ ‎（2）欲证CD⊥EF，可先证直线与平面垂直，CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A，根据直线与平面垂直的判定定理可知CD⊥面PAD，从而得到CD⊥EF；‎ ‎【解答】证明：（1）取PD中点Q，连AQ、QF，则AE∥QF ‎∴四边形AEFQ为平行四边形 ‎∴EF∥AQ 又∵AQ在平面PAD内，EF不在平面PAD内 ‎∴EF∥面PAD；‎ ‎（2）∵CD⊥AD，CD⊥PA，PA∩AD=A PA在平面PAD内，AD在平面PAD内 ‎∴CD⊥面PAD 又∵AQ在平面PAD同 ‎∴CD⊥AQ ‎∵EF∥AQ ‎∴CD⊥EF；‎ ‎　‎ ‎22．已知在平面直角坐标系中的一个椭圆，它的中心在原点，左焦点为，且过点D（2，0）．‎ ‎（1）求该椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点，若P是椭圆上的动点，求线段PA的中点M的轨迹方程．‎ ‎【考点】轨迹方程；椭圆的标准方程．‎ ‎【分析】（1）设椭圆方程为，根据题意可得a=2且c=，从而b==1，得到椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设点P（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子，将P（x0，y0）关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程，化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程．‎ ‎【解答】解：（1）由题意知椭圆的焦点在x轴上，设椭圆的标准方程是 ‎∵椭圆经过点D（2，0），左焦点为，‎ ‎∴a=2，，可得b==1‎ 因此，椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）设点P的坐标是（x0，y0），线段PA的中点为M（x，y），‎ 由根据中点坐标公式，可得，整理得，‎ ‎∵点P（x0，y0）在椭圆上，‎ ‎∴可得，化简整理得，‎ 由此可得线段PA中点M的轨迹方程是．‎