数学卷·2018届山东省德州市平原一中高二上学期期中数学试卷(文科)(解析版)

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文档介绍

数学卷·2018届山东省德州市平原一中高二上学期期中数学试卷(文科)(解析版)

‎2016-2017学年山东省德州市平原一中高二(上)期中数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.如果a和b是异面直线,直线a∥c,那么直线b与c的位置关系是(  )‎ A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 ‎2.正方体内切球和外接球半径的比为(  )‎ A.1: B.1: C.: D.1:2‎ ‎3.过点M(﹣2,a),N(a,4)的直线的斜率为﹣,则|MN|=(  )‎ A.10 B.180 C.6 D.6‎ ‎4.若直线mx﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行,则m的值为(  )‎ A. B.﹣ C.2 D.﹣2‎ ‎5.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面积为,则原梯形的面积为(  )‎ A.2 B. C.2 D.4‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是(  )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎7.已知直线l⊥平面α,直线m⊆平面β,给出下列命题,其中正确的是(  )‎ ‎①α∥β⇒l⊥m ‎ ‎②α⊥β⇒l∥m ‎ ‎③l∥m⇒α⊥β ‎ ‎④l⊥m⇒α∥β A.②④ B.②③④ C.①③ D.①②③‎ ‎8.两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0之间的距离是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示,它的体积为(  )‎ A.72π B.48π C.30π D.24π ‎10.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k等于(  )‎ A.﹣1 B.1 C. D.﹣‎ ‎11.已知圆:C1:(x+1)2+(y﹣1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称,则圆C2的方程为(  )‎ A.(x﹣2)2+(y﹣2)2=1 B.(x+2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y﹣2)2=1 D.(x﹣2)2+(y+2)2=1‎ ‎12.若圆x2+y2﹣6x﹣2y+6=0上有且仅有三个点到直线ax﹣y+1=0(a是实数)的距离为1,则a等于(  )‎ A.±1 B. C. D.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.若直线l1:2x﹣ay﹣1=0与直线l2:x+2y=0垂直,则a=  .‎ ‎14.直线y=kx与圆(x﹣2)2+(y+1)2=4相交于A,B两点,若|AB|≥2,则k的取值范围是  .‎ ‎15.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,),椭圆C的方程为  .‎ ‎16.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:‎ ‎①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;‎ ‎②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;‎ ‎③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;‎ ‎④如果m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β.‎ 其中正确的命题有  .(填写所有正确命题的编号)‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(1)求经过直线l1:2x+3y﹣5=0与l2:7x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程;‎ ‎(2)求与直线3x+4y﹣7=0垂直,且与原点的距离为6的直线方程.‎ ‎18.已知坐标平面上一点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1),且=5.‎ ‎(Ⅰ)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;‎ ‎(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C,过点M(﹣2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程.‎ ‎19.如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.‎ ‎(1)求证:平面AA1C⊥平面BA1C;‎ ‎(2)若AC=BC,求几何体A1﹣ABC的体积V.‎ ‎20.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R)‎ ‎(Ⅰ)证明:无论m取什么实数,l与圆恒交于两点;‎ ‎(Ⅱ)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.‎ ‎21.如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:EF⊥CD.‎ ‎22.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,且过点D(2,0).‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设点,若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.‎ ‎ ‎ ‎2016-2017学年山东省德州市平原一中高二(上)期中数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.如果a和b是异面直线,直线a∥c,那么直线b与c的位置关系是(  )‎ A.相交 B.异面 C.平行 D.相交或异面 ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】两条直线的位置关系有三种:相交,平行,异面.由于a,b是两条异面直线,直线c∥a则c有可能与b相交且与a平行,但是c不可能与b平行,要说明这一点采用反证比较简单.‎ ‎【解答】解:∵a,b是两条异面直线,直线c∥a ‎∴过b任一点可作与a平行的直线c,此时c与b相交.另外c与b不可能平行理由如下:‎ 若c∥b则由c∥a可得到a∥b这与a,b是两条异面直线矛盾,故c与b异面.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎2.正方体内切球和外接球半径的比为(  )‎ A.1: B.1: C.: D.1:2‎ ‎【考点】球内接多面体.‎ ‎【分析】设出正方体的棱长,利用正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,分别求出半径,即可得到结论.‎ ‎【解答】解:正方体的棱长是内切球的直径,正方体的对角线是外接球的直径,设棱长是a.‎ 则a=2r内切球,r内切球=; a=2r外接球,r外接球=,‎ r内切球:r外接球=1:.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ ‎3.过点M(﹣2,a),N(a,4)的直线的斜率为﹣,则|MN|=(  )‎ A.10 B.180 C.6 D.6‎ ‎【考点】直线的两点式方程.‎ ‎【分析】根据直线MN的斜率求出a的值,再计算|MN|的值.‎ ‎【解答】解:∵过点M(﹣2,a),N(a,4)的直线斜率为 k==﹣,‎ 解得a=10;‎ ‎∴|MN|===6.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎4.若直线mx﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行,则m的值为(  )‎ A. B.﹣ C.2 D.﹣2‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【分析】由已知条件推导出,由此能求出m的值为.‎ ‎【解答】解:∵直线mx﹣y﹣1=0与直线x﹣2y+3=0平行,‎ ‎∴,解得m=,‎ ‎∴m的值为.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎5.一梯形的直观图是一个如图所示的等腰梯形,且梯形OA′B′C′的面积为,则原梯形的面积为(  )‎ A.2 B. C.2 D.4‎ ‎【考点】平面图形的直观图.‎ ‎【分析】根据斜二测画法的规则将图形还原,平面图是一个直角梯形,面积易求.‎ ‎【解答】解:如图,‎ 有斜二测画法原理知,平面中的图形与直观图中的图形上下底边的长度是一样的,不一样的是两个梯形的高,其高的关系是这样的:平面图中的高OA是直观图中OA'长度的2倍,如直观图,OA'的长度是直观图中梯形的高的倍,由此平面图中梯形的高OA的长度是直观图中梯形高的2×=2倍,故其面积是梯形OA′B′C′的面积2倍,梯形OA′B′C′的面积为,所以原梯形的面积是4.‎ 故应选D.‎ ‎ ‎ ‎6.某三棱锥的三视图如图所示,则该三棱锥的各个面中,最大的面积是(  )‎ A. B.1 C. D.‎ ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】根据几何体的三视图,得出该几何体是直三棱锥,根据图中的数据,求出该三棱锥的4个面的面积,得出面积最大的三角形的面积.‎ ‎【解答】解:根据几何体的三视图,得;‎ 该几何体是如图所示的直三棱锥,‎ 且侧棱PA⊥底面ABC,‎ PA=1,AC=2,点B到AC的距离为1;‎ ‎∴底面△ABC的面积为S1=×2×1=1,‎ 侧面△PAB的面积为S2=××1=,‎ 侧面△PAC的面积为S3=×2×1=1,‎ 在侧面△PBC中,BC=,PB==,PC==,‎ ‎∴△PBC是Rt△,‎ ‎∴△PBC的面积为S4=××=;‎ ‎∴三棱锥P﹣ABC的所有面中,面积最大的是△PBC,为.‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.已知直线l⊥平面α,直线m⊆平面β,给出下列命题,其中正确的是(  )‎ ‎①α∥β⇒l⊥m ‎ ‎②α⊥β⇒l∥m ‎ ‎③l∥m⇒α⊥β ‎ ‎④l⊥m⇒α∥β A.②④ B.②③④ C.①③ D.①②③‎ ‎【考点】空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】根据面面垂直的性质及线面垂直的性质,可判断①;根据线面垂直和面面垂直的几何特征,可判断②④;根据线面垂直的第二判定定理及面面垂直的判定定理,可判断③;‎ ‎【解答】解:若α∥β,l⊥平面α,可得l⊥β,又由m⊆平面β,故l⊥m,故①正确;‎ 若α⊥β,l⊥平面α,可得l∥β或l⊂β,又由m⊆平面β,此时l与m的关系不确定,故②错误;‎ 若l∥m,l⊥平面α,可得m⊥平面α,又由m⊆平面β,可得α⊥β,故③正确;‎ 若l⊥m,l⊥平面α,则m∥平面α,或m⊂平面α,又由m⊆平面β,此时α与β的关系不确定,故④错误;‎ 故四个命题中,①③正确;‎ 故选:C ‎ ‎ ‎8.两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0之间的距离是(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【考点】两条平行直线间的距离.‎ ‎【分析】首先求出m的值,然后利用平行线之间的距离公式解答.‎ ‎【解答】解:由已知两条平行直线3x﹣4y﹣3=0和mx﹣8y+5=0,所以m=6,‎ 所以两条平行线的距离为;‎ 故选A.‎ ‎ ‎ ‎9.某几何体的三视图如图所示,它的体积为(  )‎ A.72π B.48π C.30π D.24π ‎【考点】由三视图求面积、体积.‎ ‎【分析】由题意,结合图象可得该几何体是圆锥和半球体的组合体,根据图中的数据即可计算出组合体的体积选出正确选项 ‎【解答】解:由图知,该几何体是圆锥和半球体的组合体,球的半径是3,圆锥底面圆的半径是3,圆锥母线长为5,由圆锥的几何特征可求得圆锥的高为4,‎ 则它的体积V=V圆锥+V半球体==30π 故选C ‎ ‎ ‎10.椭圆5x2+ky2=5的一个焦点是(0,2),那么k等于(  )‎ A.﹣1 B.1 C. D.﹣‎ ‎【考点】椭圆的简单性质.‎ ‎【分析】把椭圆5x2+ky2=5的方程化为标准形式,得到 c2的值等于4,解方程求出k.‎ ‎【解答】解:椭圆5x2+ky2=5 即 x2 +=1,‎ ‎∵焦点坐标为(0,2),c2=4,‎ ‎∴﹣1=4,∴k=1,‎ 故选 B.‎ ‎ ‎ ‎11.已知圆:C1:(x+1)2+(y﹣1)2=1,圆C2与圆C1关于直线x﹣y﹣1=0对称,则圆C2的方程为(  )‎ A.(x﹣2)2+(y﹣2)2=1 B.(x+2)2+(y+2)2=1 C.(x+2)2+(y﹣2)2=1 D.(x﹣2)2+(y+2)2=1‎ ‎【考点】关于点、直线对称的圆的方程.‎ ‎【分析】在圆C2上任取一点(x,y),求出此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点,则此对称点在圆C1上,再把对称点坐标代入 圆C1的方程,化简可得圆C2的方程.‎ ‎【解答】解:在圆C2上任取一点(x,y),‎ 则此点关于直线x﹣y﹣1=0的对称点(y+1,x﹣1)在圆C1:(x+1)2+(y﹣1)2=1上,‎ ‎∴有(y+1+1)2+(x﹣1﹣1)2=1,‎ 即 (x﹣2)2+(y+2)2=1,‎ ‎∴答案为(x﹣2)2+(y+2)2=1.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎12.若圆x2+y2﹣6x﹣2y+6=0上有且仅有三个点到直线ax﹣y+1=0(a是实数)的距离为1,则a等于(  )‎ A.±1 B. C. D.‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】化简圆的方程,求出圆心坐标,求出半径,推出圆心到直线的距离可求a的值.‎ ‎【解答】解:由题意知圆心(3,1),半径是2,则圆心到直线的距离是1,即可知a=.‎ 故选B.‎ ‎ ‎ 二、填空题(每题5分,满分20分,将答案填在答题纸上)‎ ‎13.若直线l1:2x﹣ay﹣1=0与直线l2:x+2y=0垂直,则a= 1 .‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的垂直关系.‎ ‎【分析】利用直线垂直的条件求解.‎ ‎【解答】解:∵两直线l1:2x﹣ay﹣1=0与直线l2:x+2y=0互相垂直,‎ ‎∴2﹣2a=0,‎ 解得a=1.‎ 故答案为:1.‎ ‎ ‎ ‎14.直线y=kx与圆(x﹣2)2+(y+1)2=4相交于A,B两点,若|AB|≥2,则k的取值范围是  .‎ ‎【考点】直线与圆的位置关系.‎ ‎【分析】由题意求出圆心坐标和半径,由点到直线的距离公式求出圆心直线y=kx的距离,由直线与圆相交的条件列出不等式求出k的范围,结合条件和弦长公式列出不等式求出k的取值范围.‎ ‎【解答】解:由题意得,圆心坐标(2,﹣1)、半径r=2,‎ 则圆心到直线y=kx的距离d=<2,解得k<,‎ ‎∵所截得的弦|AB|≥2,∴2=2,‎ 化简得,3k2+4k≤0,解得,‎ 综上可得,k的取值范围是,‎ 故答案为:.‎ ‎ ‎ ‎15.已知椭圆C: +=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,),椭圆C的方程为 +y2=1 .‎ ‎【考点】椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】利用椭圆的定义求出a,从而可得b,即可求出椭圆C的方程.‎ ‎【解答】解:∵椭圆C: +=1(a>b>0)的两个焦点分别为F1(﹣1,0),F2(1,0),且椭圆C经过点P(,),‎ ‎∴2a=|PF1|+|PF2|=2.‎ ‎∴a=.‎ 又由已知c=1,∴b=1,‎ ‎∴椭圆C的方程为+y2=1.‎ 故答案为: +y2=1.‎ ‎ ‎ ‎16.α,β是两个平面,m,n是两条直线,有下列四个命题:‎ ‎①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α⊥β;‎ ‎②如果m⊥α,n∥α,那么m⊥n;‎ ‎③如果α∥β,m⊂α,那么m∥β;‎ ‎④如果m∥n,m⊂α,n⊂β,则α∥β.‎ 其中正确的命题有 ②③ .(填写所有正确命题的编号)‎ ‎【考点】命题的真假判断与应用.‎ ‎【分析】根据空间直线与直线,直线与平面的关系,逐一分析四个命题的真假,可得答案.‎ ‎【解答】解:①如果m⊥n,m⊥α,n∥β,那么α与β的关系不确定,故错误;‎ ‎②如果m⊥α,n∥α,那么平面α内存在直线l使,m⊥l,n∥l 故m⊥n,故正确;‎ ‎③如果α∥β,m⊂α,那么m与β无公共点,则m∥β,故正确;‎ ‎④如果m∥n,m⊂α,n⊂β,那么α与β的关系不确定,故错误;‎ 故答案为:②③‎ ‎ ‎ 三、解答题(本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.)‎ ‎17.(1)求经过直线l1:2x+3y﹣5=0与l2:7x+15y+1=0的交点,且平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程;‎ ‎(2)求与直线3x+4y﹣7=0垂直,且与原点的距离为6的直线方程.‎ ‎【考点】直线的一般式方程与直线的平行关系.‎ ‎【分析】(1)联立两直线解析式求出交点坐标,设出平行于直线x+2y﹣3=0的方程,将交点坐标代入即可;‎ ‎(2)设出与直线垂直的直线方程,根据与原点距离为6确定出所求直线即可.‎ ‎【解答】解:(1)联立,‎ 解得,‎ ‎∴交点P的坐标(,﹣),‎ 设平行于直线x+2y﹣3=0的直线方程为x+2y+n=0,‎ 代入得+2×(﹣)+n=0,‎ 解得:n=﹣,‎ ‎∴所求直线方程为x+2y﹣=0,即9x+18y﹣4=0;‎ ‎(2)设与直线3x+4y﹣7=0垂直的直线方程为4x﹣3y+m=0,‎ ‎∵与原点的距离为6,‎ ‎∴=6,‎ 解得:m=±30,‎ 则所求直线方程为4x﹣3y±30=0.‎ ‎ ‎ ‎18.已知坐标平面上一点M(x,y)与两个定点M1(26,1),M2(2,1),且=5.‎ ‎(Ⅰ)求点M的轨迹方程,并说明轨迹是什么图形;‎ ‎(Ⅱ)记(Ⅰ)中的轨迹为C,过点M(﹣2,3)的直线l被C所截得的线段的长为8,求直线l的方程.‎ ‎【考点】轨迹方程.‎ ‎【分析】(Ⅰ)直接利用距离的比,列出方程即可求点M的轨迹方程,然后说明轨迹是什么图形;‎ ‎(Ⅱ)设出直线方程,利用圆心到直线的距离,半径与半弦长满足的勾股定理,求出直线l的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)由题意,得=5.,‎ 化简,得x2+y2﹣2x﹣2y﹣23=0…‎ 即(x﹣1)2+(y﹣1)2=25.‎ ‎∴点M的轨迹方程是(x﹣1)2+(y﹣1)2=25,‎ 轨迹是以(1,1)为圆心,以5为半径的圆.…‎ ‎(Ⅱ)当直线l的斜率不存在时,l:x=﹣2,此时所截得的线段的长为2=8,‎ ‎∴l:x=﹣2符合题意.…‎ 当直线l的斜率存在时,设l的方程为y﹣3=k(x+2),即kx﹣y+2k+3=0,‎ 圆心到l的距离d=,由题意,得()2+42=52,解得k=.‎ ‎∴直线l的方程为x﹣y+=0,即5x﹣12y+46=0.‎ 综上,直线l的方程为x=﹣2,或5x﹣12y+46=0…‎ ‎ ‎ ‎19.如图,AA1B1B是圆柱的轴截面,C是底面圆周上异于A,B的一点,AA1=AB=2.‎ ‎(1)求证:平面AA1C⊥平面BA1C;‎ ‎(2)若AC=BC,求几何体A1﹣ABC的体积V.‎ ‎【考点】平面与平面垂直的判定.‎ ‎【分析】(1)证明BC⊥平面AA1C,即可证明平面AA1C⊥平面BA1C;‎ ‎(2)求出AC,直接利用体积公式求解即可.‎ ‎【解答】(1)证明:因为C是底面圆周上异于A,B的一点,AB是底面圆的直径,‎ 所以AC⊥BC.‎ 因为AA1⊥平面ABC,BC⊂平面ABC,所以AA1⊥BC,‎ 而AC∩AA1=A,所以BC⊥平面AA1C.‎ 又BC⊂平面BA1C,所以平面AA1C⊥平面BA1C.…‎ ‎(2)解:在Rt△ABC中,AB=2,则由AB2=AC2+BC2且AC=BC,‎ 得,‎ 所以.…‎ ‎ ‎ ‎20.已知圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25,直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0(m∈R)‎ ‎(Ⅰ)证明:无论m取什么实数,l与圆恒交于两点;‎ ‎(Ⅱ)求直线被圆C截得的弦长最小时l的方程.‎ ‎【考点】直线与圆相交的性质.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求得所给的直线经过x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M(3,1),而点M在圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25的内部,从而得到l与圆恒交于两点.‎ ‎(Ⅱ)弦长最小时,MC和弦垂直,再利用点斜式求得弦所在的直线的方程.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)证明:直线l:(2m+1)x+(m+1)y﹣7m﹣4=0,即 x+y﹣4+m(2x+y﹣7)=0,‎ 恒经过直线x+y﹣4=0 和2x+y﹣7=0的交点M(3,1),‎ 而点M到圆心C(1,2)的距离为MC==<半径5,‎ 故点M在圆C:(x﹣1)2+(y﹣2)2=25的内部,故l与圆恒交于两点.‎ ‎(Ⅱ)弦长最小时,MC和弦垂直,故弦所在的直线l的斜率为==2,‎ 故直线l的方程为y﹣1=2(x﹣3),即 2x﹣y﹣5=0.‎ ‎ ‎ ‎21.如图,已知矩形ABCD所在平面外一点P,PA⊥平面ABCD,E、F分别是AB、PC的中点.‎ ‎(1)求证:EF∥平面PAD;‎ ‎(2)求证:EF⊥CD.‎ ‎【考点】直线与平面平行的判定;空间中直线与直线之间的位置关系.‎ ‎【分析】(1)取PD中点Q,连AQ、QF,易证EF∥AQ,根据直线与平面平行的判定定理可证得EF∥面PAD;‎ ‎(2)欲证CD⊥EF,可先证直线与平面垂直,CD⊥AD,CD⊥PA,PA∩AD=A,根据直线与平面垂直的判定定理可知CD⊥面PAD,从而得到CD⊥EF;‎ ‎【解答】证明:(1)取PD中点Q,连AQ、QF,则AE∥QF ‎∴四边形AEFQ为平行四边形 ‎∴EF∥AQ 又∵AQ在平面PAD内,EF不在平面PAD内 ‎∴EF∥面PAD;‎ ‎(2)∵CD⊥AD,CD⊥PA,PA∩AD=A PA在平面PAD内,AD在平面PAD内 ‎∴CD⊥面PAD 又∵AQ在平面PAD同 ‎∴CD⊥AQ ‎∵EF∥AQ ‎∴CD⊥EF;‎ ‎ ‎ ‎22.已知在平面直角坐标系中的一个椭圆,它的中心在原点,左焦点为,且过点D(2,0).‎ ‎(1)求该椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设点,若P是椭圆上的动点,求线段PA的中点M的轨迹方程.‎ ‎【考点】轨迹方程;椭圆的标准方程.‎ ‎【分析】(1)设椭圆方程为,根据题意可得a=2且c=,从而b==1,得到椭圆的标准方程;‎ ‎(2)设点P(x0,y0),线段PA的中点为M(x,y),根据中点坐标公式将x0、y0表示成关于x、y的式子,将P(x0,y0)关于x、y的坐标形式代入已知椭圆的方程,化简整理即可得到线段PA的中点M的轨迹方程.‎ ‎【解答】解:(1)由题意知椭圆的焦点在x轴上,设椭圆的标准方程是 ‎∵椭圆经过点D(2,0),左焦点为,‎ ‎∴a=2,,可得b==1‎ 因此,椭圆的标准方程为.‎ ‎(2)设点P的坐标是(x0,y0),线段PA的中点为M(x,y),‎ 由根据中点坐标公式,可得,整理得,‎ ‎∵点P(x0,y0)在椭圆上,‎ ‎∴可得,化简整理得,‎ 由此可得线段PA中点M的轨迹方程是.‎
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