数学（理）卷·2018届内蒙古赤峰二中高三上学期第三次月考（2017

数学（理）卷·2018届内蒙古赤峰二中高三上学期第三次月考（2017

赤峰二中高三数学（理）月考试题 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的． 1．已知集合  1,2,3,4A  ，  2| ,B x x n n A   ，则 A B  （ ）． A.  1,2 B.  1,4 C.  2,3 D.  9,16 2．在等比数列 na 中， 1 2 3 41, 9a a a a    ，那么 4 5a a  ( ) A. 27 B. 27 或 27 C. 81 D. 81或 81 3．已知条件 : 2 1 1 0p x x    ，条件 2: 11 xq x  ，则 p 是 q 成立的（ ） A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既非充分也非必要条件 4．若 ，则 （ ） A. 5 4 B. 5 4 C. 5 3 D. 5 3 5．如图，函数 （ ， ）的图象过点 ，则 的函数解析式为（ ） A. B. C. D. 6．已知点  , nn a 都在直线3 24 0x y   上，那么在数列 na 中有（ ） A. 7 9 0a a  B. 7 9 0a a  C. 7 9 0a a  D. 7 9 0a a  7．已知 是 内部一点， ， 且 ， 则 的面积为（ ） A. 3 3 B. 3 C. 2 3 D. 3 2 8．甲、乙、丙三人中，一人是工人，一人是农民，一人是知识分子.已知：丙的年龄比知识 分子大；甲的年龄和农民不同；农民的年龄比乙小.根据以上情况，下列判断正确的是（ ） A. 甲是工人，乙是知识分子，丙是农民 B. 甲是知识分子，乙是农民，丙是工人 C. 甲是知识分子，乙是工人，丙是农民 D. 甲是农民，乙是知识分子，丙是工人 9．在 Rt ABC 中， 4CA  ， 3CB  ， M ， N 是斜边 AB 上的两个动点，且 2MN  ， 则CM CN  的取值范围为（ ） A. 52, 2      B.  4,6 C. 119 48,25 5      D. 144 53,25 5      10．已知 ，若 ，则 （ ） A. 13 6 B. 6 13 C. 13 6 D. 6 13 11．已知双曲线 C： 2 2 x a - 2 2 y b =1（a＞0，b＞0）的右焦点 F 和 A（0，b）的连线与 C 的一条 渐近线相交于点 P，且 2PF AP  ，则双曲线 C 的离心率为（ ） A. 3 B. 3 C. 4 D. 2 12.已知函数   lnf x ax e x  与   2 ln xg x x e x   的图象有三个不同的公共点,其中 e 为自然对数的底数,则实数 a 的取值范围为( ) A. a e  B. 1a  C. a e D. 3a   或 1a  [学,科,] 二．填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分。 13．已知函数   21 , 1 1{ , 1x x xf x e x      则   2 1 df x x   =___________． 14．已知 3cos 6 3       ，则 5sin 26       _________. 15．在平面直角坐标系 xoy 中,已知点 ,A B 分别在 ,x y 轴上运动，且 AB =2，点 M 在 AB 上， 且满足 1 2 3 3OM OA OB    ，则 0M 的取值范围为___________[] 16． 3 22( ) 13f x x x ax    己知曲线存在两条斜率为 3 的切线，且切点的横坐标都大于零， 则实数 a 的取值范围为 三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17．已知向量  1, 3p  ，  cos ,sinq x x . （1）若 / /p q  ，求 2sin2 cosx x 的值； （2）设函数   ·f x p q   ，将函数的图像上所有的点的横坐标缩小到原来的 1 2 （纵坐标不变）， 再把所得的图像向左平移 3  个单位，得到函数  g x 的图像，求  g x 的单调增区间. 18．．已知数列 的首项为 ，且 . （1）求数列 的通项公式； （2）若 ，求数列 的前 项和 . 19.如图，在 ABC 中， 4AB  ， 1AC  ， 60BAC   （1）求 BC 的长和sin ACB 的值； （2）延长 AB 到 M ，延长 AC 到 N ，连结 MN ，若四边形 BMNC 的 面积为3 3 ，求 BM CN  的最大值． 20．已知抛物线C 的顶点在原点，焦点在 x 轴上，且抛物线上有一点  4,P m 到焦点的距离 为 5. （1）求该抛物线C 的方程； （2）已知抛物线上一点  ,4M t ，过点 M 作抛物线的两条弦 MD 和 ME ，且 MD ME ， 判断直线 DE 是否过定点？并说明理由. 21. 设函数 ． （1）求函数 的单调区间； （2）若函数 有两个零点，求满足条件的最小正整数 的值； （3）若方程 ，有两个不相等的实数根 ，比较 与 0 的大小． 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分． 22．[选修 4-4:坐标系与参数方程] 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 过点 1,0 ，倾斜角为 ，以坐标原点为极点， x 轴的正 半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极坐标方程是 2 4cos 1 cos    ． (1)写出直线l 的参数方程和曲线C 的直角坐标方程； (2)设直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点，证明: 2 4 sinAB  ． 23．[选修 4—5：不等式选讲] 设 a ， b ， c 均为正数，且 1a b c   ，证明： (1) ab bc ac  ≤ 1 3 ； (2) 2 2 2 1a b c b c a    [] 理数参考答案 1-5．BBBCB 6-10．CACCA 11-12．DB 13． 2 2 e e   14． 1 3  15． 2 4,3 3      16． )2 7,3( 17．（1） 2 3 1 4  ；（2） π πkπ kπ3 6      － ＋ ， ＋ kZ. 试题解析：（1）∵ / /p q  ,∴sin x = 3 cos ,tanx x = 3 , ∴sin 2x －cos2x= 2 2 2 2sin cos cos sin cos x x x x x   = 2 2tan 1 tan 1 x x   = 2 3 1 4  （2）f(x)= p q = cos x + 3sin x =2sin 6x     ,由题意可得 g (x)= 2 5sin 2 6x     , g (－x)= 2sin 2 6x     ，由 kπ ＋２２ 2x+ π kπ6   ＋２２ , － kπ ＋３ x kπ6  ＋ ,∴单调递增区间为 kπ kπ3 6       － ＋ ， ＋ kZ. 18．（1） （2） 试题解析：解：（Ⅰ）由 得 ， 则数列 是以 3 为首项，以 2 为公比的等比数列， 可得 ，从而 . （ Ⅱ ） 依 题 意 ， ， 故 ， 故 . 1．19.（1） 2 3913 sin 13BC ACB ， ；（2）2． （1）由余弦定理,得 2 2 2BC AB AC 2AB AC cos BAC 13      ，  BC 13 . 由正弦定理,得 AB BC sin ACB sin BAC  ， 34AB sin BAC 2 392sin ACB .BC 1313      （ 2 ） ΔAMN ΔABC BMNC 1 3S S S 4 3 3 4 32 2        ， 设 BM x,CN y  ， x 0, y 0  ， 则有   1 34 x 1 y 4 32 2    ，∴  x 4 y 1 16    xy x 4y 12   ， ∵ x 0, y 0  ，  x 4y 12 xy 2 x 4y 4 xy      ，∴ xy 4 xy 12 0   ，  6 xy 2   ，∴ xy 的最大值为 4 ，当且仅当 x 4, y 1  时等号成立． 1BM CN xycos60 xy 2,2       当 BM 4,CN 1  时， BM CN  的最大值为 2． 20．（1） 2 4y x .（2） 8, 4 试题解析：（1）由题意设抛物线方程为 2 2y px ， 其准线方程为 2 px   ，∵  4,P m 到焦点的距离等于 A 到其准线的距离， ∴ 4 52 p  ，∴ 2p  .∴抛物线C 的方程为 2 4y x . （2）由（1）可得点  4,4M ，可得直线 DE 的斜率不为 0，设直线 DE 的方程为： x my t  ， 联立 2{ 4 x my t y x    ，得 2 4 4 0y my t   ，则 216 16 0m t    ①. 设    1 1 2 2, , ,D x y E x y ， 则 1 2 1 24 , 4y y m y y t    . ∵    1 1 2 24, 4 4, 4MD ME x y x y          1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 16x x x x y y y y          2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 24 16 4 164 4 4 4 y y y y y y y y                   2 21 2 1 2 1 2 1 23 4 3216 y y y y y y y y       2 216 12 32 16 0t m t m      即 2 212 32 16 16t t m m    ，得：    2 26 4 2 1t m   ，∴  6 2 2 1t m    ，即 4 8t m  或 4 4t m   ，代人①式检验均满足 0  ， ∴直线 DE 的方程为：  4 8 4 8x my m m y      或  4 4x m y   . ∴直线过定点 8, 4 （定点 4,4 不满足题意，故舍去）. 21．1)解： ． 当时， ，函数 在 上单调递增，函数 的单调增区间为 ． 当 时，由 ，得 ；由 ，得 . 所以函数 的单调增区间为 ，单调减区间为 . (3)证明：因为 是方程 的两个不等实根，由(1)知 . 不妨设 ，则 ， . 两式相减得 ， 即 ． 所以.因为 ， 当时， ， 当 x∈ 时， ，[] 故只要证 即可，即证明， 即证明， 即证明.设 ． 令 ，则 . 因为 ，所以 ，当且仅当 t＝1 时， ，所以 在 上是增函数． 又 ，所以当时， 总成立．所以原题得证 22．（1） 2 4y x ；（2） 2 4 sin  [] 试题解析：（1）直线l 的参数方程为 1{ x tcos y tsin      （t 为参数），曲线C 的直角坐标方程为 2 4y x . （2）设直线l 与曲线C 交于 ,A B 两点所对应的参数为 1 2,t t ，则   2sin 4 1 cost t   ， 即 2 2sin 4 cos 4 0t t    ， 而 1 2 2sinAB t t      2 2 2 2 4cos 4 sin 4 4 sin sin         23． 证明：(1)由 a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca 得 a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca. 由题设得(a＋b＋c)2＝1， 即 a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1， 所以 3(ab＋bc＋ca)≤1，即 ab＋bc＋ca≤ . (2)因为 故 ＋(a＋b＋c)≥2(a＋b＋c)， 即 ≥a＋b＋c. 所以 ≥1.