浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题9平面解析几何+第70练椭圆的定义与标准方程

浙江专用2020版高考数学一轮复习+专题9平面解析几何+第70练椭圆的定义与标准方程

第70练 椭圆的定义与标准方程 ‎[基础保分练]‎ ‎1.(2019·杭州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)，若长轴的长为6，且两焦点恰好将长轴三等分，则此椭圆的标准方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1‎ ‎2.(2019·杭州模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左、右顶点分别是A，B，左、右焦点分别是F1，F2，若|AF1|，|F1F2|，|F1B|成等比数列，则椭圆C的离心率为(　　)‎ A.B.C.D. ‎3.以椭圆上一点和两个焦点为顶点的三角形的面积的最大值为1，则椭圆长轴长的最小值为(　　)‎ A.1B.C.2D.2 ‎4.已知P为椭圆C上一点，F1，F2为椭圆的焦点，且|F1F2|＝2，若|PF1|与|PF2|的等差中项为|F1F2|，则椭圆C的标准方程为(　　)‎ A.＋＝1 B.＋＝1或＋＝1‎ C.＋＝1 D.＋＝1或＋＝1‎ ‎5.设P是椭圆＋＝1上一点，P到两焦点F1，F2的距离之差为2，则△PF1F2是(　　)‎ A.锐角三角形 B.直角三角形 C.钝角三角形 D.等腰直角三角形 ‎6.已知椭圆＋＝1(a>b>0)，M为椭圆上一动点，F1为椭圆的左焦点，则线段MF1的中点P的轨迹是(　　)‎ A.圆B.椭圆C.线段D.直线 ‎7.已知椭圆＋y2＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点M在该椭圆上，且·＝0，则点M到y轴的距离为(　　)‎ A.B.C.D. ‎8.设P是椭圆＋＝1上一点，M，N分别是两圆：(x＋4)2＋y2＝1和(x－4)2＋y2‎ ‎＝1上的点，则|PM|＋|PN|的最小值、最大值分别为(　　)‎ A.9,12B.8,11C.8,12D.10,12‎ ‎9.(2019·学军中学月考)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的右焦点为F(1,0)，其关于直线y＝bx的对称点Q在椭圆上，则离心率e＝________，S△FOQ＝________.‎ ‎10.(2018·广东五校协作体考试)已知椭圆C：＋y2＝1的两焦点为F1，F2，点P(x0，y0)满足0<＋y<1，则|PF1|＋|PF2|的取值范围是________.‎ ‎[能力提升练]‎ ‎1.已知椭圆＋＝1的上焦点为F，直线x＋y＋1＝0和x＋y－1＝0与椭圆相交于点A，B，C，D，则|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|等于(　　)‎ A.2B.4C.4D.8‎ ‎2.(2019·浙大附中模拟)已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F，直线y＝x与C相交于A，B两点，且AF⊥BF，则C的离心率为(　　)‎ A.B.－1C.D.－1‎ ‎3.(2019·金华十校联考)已知椭圆＋＝1(a>b>0)经过圆x2＋y2－4x－2y＝0的圆心，则ab的取值范围是(　　)‎ A. B.[4，＋∞)‎ C. D.(0,4]‎ ‎4.椭圆＋＝1的左、右焦点分别为F1，F2，点P是椭圆上任意一点，则||·||的取值范围是(　　)‎ A.(0,4] B.(0,3] C.[3,4) D.[3,4]‎ ‎5.已知椭圆＋＝1(m>0)的一个焦点是(0,1)，若椭圆上一点P与椭圆的两个焦点F1，F2构成的△PF1F2的面积为，则点P的坐标是______________.‎ ‎6.若椭圆＋＝1的焦点在x轴上，过点作圆x2＋y2＝1的切线，切点分别为A，B，直线AB恰好经过椭圆的右焦点和上顶点，则椭圆的方程为__________________________.‎ 答案精析 基础保分练 ‎1．B　2.A　3.D　4.B　5.B　6.B　7.B　8.C ‎9.　 解析　设点Q(x，y)，则由点Q与椭圆的右焦点F(1,0)关于直线y＝bx对称得解得 代入椭圆C的方程得 ＋＝1，‎ 结合a2＝b2＋1解得 则椭圆的离心率e＝＝，‎ S△FOQ＝|OF|· ‎＝×1×＝.‎ ‎10．[2,2)‎ 解析　由点P(x0，y0)满足0<＋y<1，‎ 可知P(x0，y0)一定在椭圆内(不包括原点)，因为a＝，b＝1，‎ 所以由椭圆的定义可知|PF1|＋|PF2|<2a＝2，‎ 当P(x0，y0)与F1或F2重合时，‎ ‎|PF1|＋|PF2|＝2，‎ 又|PF1|＋|PF2|≥|F1F2|＝2，‎ 故|PF1|＋|PF2|的取值范围是[2,2)．‎ 能力提升练 ‎1．D　[设椭圆的下焦点为F1，连接CF1，DF1，因为＋＝1，‎ 所以c＝1.‎ 所以F(0,1)，‎ F1(0，－1)，‎ 由题意知，直线x＋y－1＝0过点F，直线x＋y＋1＝0过点F1，‎ 由椭圆的对称性知，四边形CFBF1为平行四边形，AFDF1为平行四边形，‎ 所以|AF|＝|DF1|，|BF1|＝|CF|.‎ 所以|AF|＋|BF|＋|CF|＋|DF|＝|DF1|＋|BF|＋|BF1|＋|DF|＝4a＝8.]‎ ‎2．D　[由 得到(3a2＋b2)x2＝a2b2，‎ 解得x＝±，‎ 分别代入y＝x，可得y＝±，‎ 不妨令A，‎ B，‎ 则＝，‎ ＝，‎ 因为AF⊥BF，所以·＝0，‎ 即c2－－＝0，‎ 即c2＝，‎ 又b2＝a2－c2，‎ 所以c2(3a2＋a2－c2)＝4a2(a2－c2)，‎ 整理得4a2c2－c4＝4a4－4a2c2，‎ 两边同除以a4并整理得e4－8e2＋4＝0，‎ 解得e2＝4－2或e2＝4＋2(舍去)，‎ 由e2＝4－2可得e＝－1(舍负)．]‎ ‎3．B　[x2＋y2－4x－2y＝0即为(x－2)2＋(y－1)2＝5，圆心为(2,1)，‎ ‎∵＋＝1(a>b>0)经过圆x2＋y2－4x－2y＝0的圆心，∴＋＝1，‎ ‎∵＋＝1≥2＝，‎ ‎∴ab≥4，‎ 当且仅当b2＝2，a2＝8时等号成立．‎ 据此可得：ab的取值范围是[4，＋∞)．]‎ ‎4．D　[由椭圆定义，知||＋||＝4，‎ 且椭圆＋＝1的长轴长为4，焦距为2，‎ 所以1≤||≤3.令||＝t，‎ 则||＝4－t.‎ 令f(t)＝||·||＝t(4－t)‎ ‎＝－t2＋4t，t∈[1,3]，‎ 由二次函数的性质可知，函数f(t)在t＝2处取得最大值，‎ 即f(t)max＝f(2)＝－22＋4×2＝4，‎ 函数f(t)在t＝1或t＝3处取得最小值，‎ 由于f(1)＝f(3)＝3，‎ 故f(t)min＝3，即||·||的取值范围是[3,4]，故选D.]‎ ‎5．(±，0)‎ 解析　由题意知焦点在y轴上，‎ 所以a2＝3，b2＝m，由b2＝a2－c2＝2，‎ 得m＝2，由S＝|F1F2|×|xP|＝，‎ 得xP＝±，代入椭圆方程得yP＝0，‎ 故点P的坐标是(±，0)．‎ ‎6.＋＝1‎ 解析　由题意可设斜率存在的切线的方程为y－＝k(x－1)(k为切线的斜率)，即2kx－2y－2k＋1＝0，‎ 由＝1，解得k＝－，‎ 所以圆x2＋y2＝1的一条切线方程为3x＋4y－5＝0，‎ 求得切点A，‎ 当直线l与x轴垂直时，k不存在，直线方程为x＝1，‎ 易知另一切点为B(1,0)，‎ 则直线AB的方程为y＝－2x＋2，‎ 令y＝0得右焦点为(1,0)，即c＝1.‎ 令x＝0得上顶点为(0,2)，即b＝2，所以a2＝b2＋c2＝5，‎ 故所求椭圆的方程为＋＝1.‎