2020高中数学 第3章 不等式 第四节 基本不等式2 基本不等式的应用习题 苏教版必修5

2020高中数学 第3章 不等式 第四节 基本不等式2 基本不等式的应用习题 苏教版必修5

基本不等式的应用 ‎（答题时间：40分钟）‎ ‎**1. 若一个直角三角形的周长为定值l（l＞0），求该三角形面积的最大值。‎ ‎*2. 已知x＞1，则函数y＝x＋的值域为________。‎ ‎3. 已知a，b＞0且‎2a＋b＝4，则ab的最大值为________。‎ ‎**4. 已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点，则点P到AC，BC的距离的乘积的最大值是________。‎ ‎***5. 若a＞b＞0，则代数式a2＋的最小值为________。‎ ‎***6. 已知M是△ABC内的一点，且，∠BAC＝30°，若△MBC，△MCA，△MAB的面积分别为，x，y，则的最小值为________。‎ ‎**7. 已知x＞0，y＞0，且x＋y＝1， ‎ ‎（1）求的最小值； ‎ ‎（2）求的最大值。‎ ‎*8. 求函数y＝ （x＞1）的最小值。‎ ‎**9. 经过长期观测得到：在交通繁忙的时段内，某公路段汽车的车流量y（千辆/小时）与汽车的平均速度v（千米/小时）之间的函数关系为：y＝ （v＞0）。‎ ‎（1）在该时段内，当汽车的平均速度v为多少时，车流量最大？最大车流量为多少？（精确到0.1千辆/小时）‎ ‎（2）若要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应在什么范围内？‎ 3‎ ‎1. 解析：设直角三角形的两条直角边长分别为a，b，则a＋b＋＝l，∵a＋b≥2，a2＋b2≥2ab，∴l＝a＋b＋≥2＋2，当且仅当a＝b时等号成立，‎ ‎∴≤，此时三角形为等腰直角三角形。‎ ‎2. [16，＋∞） 解析：∵x＞1，∴x－1＞0，∴y＝x＋＝x＋＝x＋9＋＝x－1＋＋10≥2＋10＝16， ‎ 当且仅当x－1＝，即x＝4时，y取最小值16， ‎ ‎∴函数y＝x＋的值域为[16，＋∞）。‎ ‎3. 2 解析：由‎2a＋b＝4，∴4＝‎2a＋b≥2，‎ ‎∴≤2，∴2ab≤4，∴ab≤2，即（ab）max＝2。‎ ‎4. 3 解析：设点P到AC，BC的距离分别为x，y，则由题意得，所以4x＋3y＝12，而4x＋3y≥2，所以xy≤3，当且仅当4x＝3y，且4x＋3y＝12，即x＝，y＝2时，取“＝”。‎ ‎5. 4 解析：依题意得a－b＞0，‎ 所以代数式a2＋＝4，当且仅当即a＝，b＝时取等号，因此a2＋的最小值是4。‎ ‎6. 18 解析：依题意得＝cos 30°＝2，则＝4，故S△ABC＝sin 30°＝1，即＋x＋y＝1，x＋y＝，所以＝2（x＋y）（ ）＝2[5＋（）]≥2（5＋2）＝18，当且仅当，即y＝2x＝时，等号成立，因此的最小值为18。‎ ‎7.（1）18 （2）2‎ 解析：（1）＝（）（x＋y）＝10＋≥10＋2＝18，‎ 3‎ 当且仅当，即x＝，y＝时，有最小值18。‎ ‎（2）＝2，‎ 当且仅当2x＋1＝2y＋1，即x＝y＝时，取最大值2。‎ ‎8. 8 解析：y＝＝（x－1）＋＋2。‎ 由题意知x－1＞0，∴y≥2＋2＝8，‎ 当且仅当x－1＝，即x＝4时取“＝”，∴ymin＝8。‎ ‎9. （1）v＝40时，ymax≈11.1千辆/小时 （2） 大于25千米/小时且小于‎64千米/小时。‎ 解析：（1）依题意，y＝，当且仅当v＝，即v＝40时，上式等号成立，‎ 所以ymax＝≈11.1（千辆/小时）。‎ ‎（2）由条件得＞10，整理得v2－89v＋1 600＜0，‎ 即（v－25）（v－64）＜0，‎ 解得25＜v＜64。‎ 答：当v＝‎40千米/小时时，车流量最大，最大车流量约为11.1千辆/小时。如果要求在该时段内车流量超过10千辆/小时，则汽车的平均速度应大于‎25千米/小时且小于‎64千米/小时。‎ 3‎