数学理卷·2018届山东省曲阜市高三上学期期中考试试题（解析版）

数学理卷·2018届山东省曲阜市高三上学期期中考试试题（解析版）

曲阜市2017-2018学年度第一学期期中教学质量检测 高三数学试题（理）‎ 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 已知集合，则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D 结合并集的定义可得：.‎ 本题选择D选项.‎ ‎2. 在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（ ）‎ A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 ‎【答案】D ‎【解析】，对应坐标为，对应的点位于第四象限，故选D.‎ ‎3. 下列说法不正确的是（ ）‎ A. 若“且”为假，则至少有一个是假命题 B. 命题“”的否定是“”‎ C. “”是“为偶函数”的充要条件 D. 当时，幂函数在上单调递减 ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：A.正确，当两个命题都是真命题，且才是真命题，B.正确，C. “”是“为偶函数”的充分不必要条件，不是充要条件，故不正确；D.正确，当时，幂函数在区间是增函数，当的，幂函数在区间是减函数，故选C.‎ 考点：命题 ‎4. 公比为的等比数列的各项都是正数，且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】试题分析：因为,且,所以,因为公比,所以,‎ 所以．故B正确．‎ 考点：1等比数列的通项公式,及性质;2对数的运算．‎ ‎5. 在下列区间中，函数的零点所在的区间为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为，所以零点所在的区间为 ‎，选C.‎ ‎6. 使函数为增函数的区间是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎ ‎ ‎7. 若非零向量满足 ，且，则与的夹角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由，知，又由 ，知,‎ ‎=,所以，故先A ‎8. 已知函数的定义域为的奇函数，当时，，且，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】∵的定义域为的奇函数，∴，即，‎ 把x换成x-2，可得：，又，‎ ‎∴，故函数周期为T=4‎ ‎，又 ‎∴，当时，，‎ ‎∴ ‎ ‎9. 如图，在中，是上的一点，若，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由图形可知 又因为，故，所以，故选B ‎10. 已知函数，若，使得，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由；因为,由若，，使得得,故选A.‎ 点睛：对于求不等式成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数，这样就把问题转化为一端是函数，另一端是参数的不等式，便于问题的解决.但要注意分离参数法不是万能的，如果分离参数后，得出的函数解析式较为复杂，性质很难研究，就不要使用分离参数法.‎ ‎11. 直线分别与曲线，与交于点，则的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】作出曲线与草图如下：‎ 过B作 ，要使取到最小值，只需取到最小值即可，为此对进行求导得，令，解得，代入，知，所以当取到最小值时，m=1，易知，故选D ‎12. 定义在上的函数满足：是的导函数，则不等式（其中为自然对数的底数）的解集为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由知，,构造函数 ‎，则，易知在R上单调递增，且任一点处斜率比相应点的斜率大，又，知0，故作出及的草图，如下：‎ 通过图像分析的解集为，故选A 点睛：构造函数，通过分析与的图像关系，作出图像，是解决本题的关键.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 计算定积分__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：‎ 考点：定积分计算 ‎14. 已知，且，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：由题可知，因为所以，则，故，则，故答案为.‎ 考点：1、同角三角函数之间的关系；2、两角和的正切公式及二倍角的正切公式.‎ ‎15. 若等差数列满足，则当__________时，的前项和最大．‎ ‎【答案】8‎ ‎【解析】试题分析：由等差数列的性质，，，又因为，所以 所以，所以，，故数列的前8项最大.‎ 考点：等差数列的性质，前项和的最值，容易题.‎ 视频 ‎16. 已知函数，若函数的所有零点依次记为，则__________．‎ ‎【答案】445π ‎【解析】 ,解得： ,函数在 的对称轴为 ， ，…… .相邻对称轴间的距离为 ，所以 ， ，以此类推， ，这 项构成以首项为 ，为公差的等差数列，第项为 ，所以 ，解得 ，所以 ‎ ‎【点睛】本题考查了三角函数的零点问题，三角函数的考查重点是性质的考查，比如周期性，单调性，对称性等，处理抽象的性质最好的方法就是画出函数的图象，这样根据对称性就比较好解决了，本题有一个易错点是，会算错定义域内的零点个数，这就需结合对称轴和数列的相关知识，防止出错.‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 在中，.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）设的中点为，求中线的长.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】解：(1)因为cosC＝，且C是三角形的内角，‎ 所以sinC＝＝．‎ 所以sin∠BAC＝sin[π－(B＋C)]＝sin(B＋C)＝sinBcosC＋cosBsinC＝×＋×＝．‎ ‎(2)在△ABC中，由正弦定理，得＝，‎ 所以BC＝×sin∠BAC＝×＝6，‎ 于是CD＝BC＝3．‎ 在△ADC中，AC＝2，cosC＝，‎ 所以由余弦定理，得 AD＝‎ ‎＝＝．‎ 即中线AD的长为．‎ ‎18. 设为各项不相等的等差数列的前项和，已知.‎ ‎（1）求数列通项公式；‎ ‎（2）设为数列的前项和，求.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】【试题分析】（1）借助等差数列的通项公式及前项和公式建立方程组求解；（2）借助（1）的结论及列项相消法求解：‎ ‎（1）设的公差为，则由题意知 解得（舍去）或 ‎∴． ‎ ‎（2）∵，‎ ‎∴ ‎ ‎19. 已知函数.若的最小正周期为.‎ ‎（1）求函数的单调递增区间；‎ ‎（2）在中，角的对边分别为，且满足，求函数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】试题分析：（1）化简,由周期公式,可得的值,再由正弦函数的单调性可得的单调递增区间；（2）由正弦定理及两和的正弦公式可得,由三角形的内角和公式可得的范围,最后可得函数的取值范围.‎ 试题解析：（1）∵‎ ‎.‎ ‎∵，∴，由，，‎ 得.‎ ‎∴的单调递增区间为.‎ ‎（2）由正弦定理得，，∴.‎ ‎∵，∴.‎ 或：，，∴.‎ 又，∴，∴，‎ ‎∴，∴.‎ 考点：二倍角公式；两角和的正弦公式；正弦函数的性质；正弦定理.‎ ‎20. 已知等差数列满足，数列的前项和为，且满足.‎ ‎（1）求数列和的通项公式；‎ ‎（2）数列满足，求数列的前项和.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）设等差数列{an}的公差为d，利用等差中项的性质及已知条件“a1+a2+a3=9、a2+a8=18”可得公差，进而可得数列{an}的通项；利用“bn+1=Sn+1﹣Sn”及“b1=2b1﹣2”，可得公比和首项，进而可得数列{bn}的通项；‎ ‎（2）利用，利用错位相减法及等比数列的求和公式即得结论．‎ 试题解析：‎ 解：（1）设等差数列的公差为，‎ ‎，即，‎ ‎，即，‎ ‎，即，‎ ‎，‎ ‎.‎ 两式相减，得.‎ 即.‎ 又，‎ 数列是首项和公比均为的等比数列，.‎ 数列和的通项公式分别为.‎ ‎（2）由（1）知，‎ ‎，‎ ‎，‎ 两式相减，得 ‎，‎ ‎.‎ 点睛：用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“Sn”与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“Sn－qSn”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.‎ ‎21. 已知函数.‎ ‎（1）若曲线在点处的切线与直线平行，求实数的值；‎ ‎（2）若，求证.‎ ‎【答案】（1）4；（2）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）求导，由题意可知，即可求得a的值；‎ ‎（2）由题意可知：要证，即证只需证，构造辅助函数，求得，根据函数的单调性，即可求得函数的最小值，即可证明不等式成立．‎ 试题解析：‎ 解：（1）的导数为，‎ 可得在点处的切线斜率为，‎ 由在点处的切线与直线平行，‎ 可得，解得.‎ ‎（2）证明：若，要证，‎ 只需证，即证，‎ 令，‎ ‎，‎ 可得在递增，则有，‎ 即为，‎ 可得时，.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）若恒成立，试确定实数的取值范围；‎ ‎（3）证明.‎ ‎【答案】（1）函数的递增区间为，函数的递减区间为；（2）；（3）见解析.‎ ‎【解析】试题分析：（1）先求导数，再确定导函数在定义区间上零点情况：当k≤0时，导函数恒大于零，为增函数；当k＞0时，由一个零点x=，先减后增（2）不等式恒成立问题，一般转化Wie对应函数最值问题，即，结合（1）的单调性情况，可得k＞0且f（）=ln≤0解得k≥1，（3）利用导数证明不等式，一般方法为构造恰当函数，利用其增减性进行证明：因为k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2，令 ‎，则，代入叠加得证 试题解析：（I）∵f（x）=ln（x﹣1）﹣k（x﹣1）+1，（x＞1）‎ ‎∴f′（x）=﹣k，‎ 当k≤0时，f′（x）＞0恒成立，故函数在（1，+∞）为增函数，‎ 当k＞0时，令f′（x）=0，得x=‎ 当f′（x）＜0，即1＜x＜时，函数为减函数，‎ 当f′（x）＞0，即x＞时，函数为增函数，‎ 综上所述，当k≤0时，函数f（x）在（1，+∞）为增函数，‎ 当k＞0时，函数f（x）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．‎ ‎（Ⅱ）由（1）知，当k≤0时，f′（x）＞0函数f（x）在定义域内单调递增，f（x）≤0不恒成立，‎ 当k＞0时，函数f（x）在（1，）为减函数，在（，+∞）为增函数．‎ 当x=时，f（x）取最大值，f（）=ln≤0‎ ‎∴k≥1，即实数k的取值范围为[1，+∞）‎ ‎（Ⅲ）由（2）知k=1时，f（x）≤0恒成立，即ln（x﹣1）＜x﹣2‎ ‎∴＜1﹣，‎ ‎∵==＜=‎ 取x=3，4，5…n，n+1累加得 ‎∴+…+＜+++…+=，（n∈N，n＞1）．‎ 考点：利用导数求单调区间，利用导数研究不等式恒成立，利用导数证不等式 ‎【方法点睛】利用导数解决不等式恒成立问题的“两种”常用方法 ‎（1）分离参数法：将原不等式分离参数，转化为不含参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的最值，根据要求得所求范围．一般地，f（x）≥a恒成立，只需f（x）min≥a即可；f（x）≤a恒成立，只需f（x）max≤a即可．（2）函数思想法：将不等式转化为某含待求参数的函数的最值问题，利用导数求该函数的极值（最值），然后构建不等式求解．‎ ‎ ‎ ‎ ‎