数学卷·2017届上海市黄浦区高三下学期等级考调研测试（2017

数学卷·2017届上海市黄浦区高三下学期等级考调研测试（2017

黄浦区2017年高考模拟考 数 学 试 卷 2017年4月 ‎（完卷时间：120分钟 满分：150分）‎ 一、填空题（本大题共有12题，满分54分. 其中第1~6题每题满分4分，第7~12题每题满分5分）考生应在答题纸相应编号的空格内直接填写结果.[‎ ‎1．函数的定义域是 ． ‎ ‎2．若关于的方程组有无数多组解，则实数_________．‎ ‎3．若“”是“”的必要不充分条件，则的最大值为 ．‎ ‎4．已知复数，(其中i为虚数单位)，且是实数，则实数t等于 　 ． ‎ ‎5．若函数 (a>0,且a≠1)是R上的减函数，则a的取值范围是 　 ．‎ ‎6．设变量满足约束条件 则目标函数的最小值为 ．‎ ‎7. 已知圆和两点，若圆上至少存在一点，使得，则的取值范围是 　 ． ‎ ‎8. 已知向量，，如果∥，那么的值为 ．‎ ‎（第11题图）‎ ‎9．若从正八边形的8个顶点中随机选取3个顶点，则以它们作为顶点的三角形是直角三角形的概率是 ‎ 　 ． ‎ ‎10．若将函数的图像向左平移个单位后，所得 图像对应的函数为偶函数，则的最小值是 　 ．‎ ‎11．三棱锥满足：，，，，‎ 则该三棱锥的体积V的取值范围是 　 ．‎ ‎12．对于数列，若存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列是以为 周期的周期数列．设，对任意正整数n都有 若数列 是以5为周期的周期数列，则的值可以是 ．(只要求填写满足条件的一个m值即可) ‎ 二、选择题（本大题共有4题，满分20分．）每题有且只有一个正确答案，考生应在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格涂黑，选对得5分，否则一律得零分．‎ ‎13．下列函数中，周期为π，且在上为减函数的是 （ ）‎ A．y = sin(2x+ B．y = cos(2x+ ‎ C．y = sin(x+ D．y = cos(x+‎ ‎14．如图是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的 表面积是 （ ）‎ ‎　 A． 　　 B． ‎ ‎　 C． 　　 　 D．‎ ‎15．已知双曲线的右焦点到左顶点的距离等 于它到渐近线距离的2倍，则其渐近线方程为 （ ）‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎16．如图所示，，圆与分别相切于点，‎ ‎，点是圆及其内部任意一点，且 ‎，则的取值范围是 （　 ）‎ A．　　　 　 B． ‎ C． 　 　　 D．‎ 三、解答题（本大题共有5题，满分76分．）解答下列各题必须在答题纸相应编号的规定区域内写出必要的步骤．‎ ‎17．（本题满分14分） 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分8分．‎ 如图，在直棱柱中，，，分别是的中点． ‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）求与平面所成角的大小及点到平面的距离．‎ ‎18．（本题满分14分）本题共有2小题，第小题满分6分，第小题满分8分．‎ 在中，角的对边分别为，且成等差数列．‎ ‎（1）求角的大小；‎ ‎（2）若，，求的值． ‎ ‎19．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题6分，第2小题8分．‎ 如果一条信息有n种可能的情形（各种情形之间互不相容），且这些情形发生的概率分别为，则称（其中）为该条信息的信息熵．已知．‎ ‎（1）若某班共有32名学生，通过随机抽签的方式选一名学生参加某项活动，试求“谁被选中”的信息熵的大小；‎ ‎（2）某次比赛共有n位选手（分别记为）参加，若当时，选手获得冠军的概率为，求“谁获得冠军”的信息熵关于n的表达式．‎ ‎20．（本题满分16分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分6分．‎ ‎　 设椭圆M:的左顶点为、中心为，若椭圆M过点，且．‎ ‎（1）求椭圆M的方程；‎ ‎（2）若△APQ的顶点Q也在椭圆M上，试求△APQ面积的最大值；‎ x y ‎（3）过点作两条斜率分别为的直线交椭圆M于两点，且，求证：直线恒过一个定点．‎ ‎21．（本题满分18分）本题共有3个小题，第1小题满分4分，第2小题满分6分，第3小题满分8分．‎ ‎　 若函数满足:对于任意正数，都有，且，则称函数为“L函数”．‎ ‎（1）试判断函数与是否是“L函数”；‎ ‎（2）若函数为“L函数”，求实数a的取值范围；‎ ‎（3）若函数为“L函数”，且，求证：对任意，都有 ‎．‎ 高三数学参考答案与评分标准 一、填空题：（1~6题每题4分；7~12题每题5分）‎ ‎1. ；　　2. ；　　3.；　　4.；　 　5.；　 　6. ； ‎ ‎7. ；　8. ；　9.； 10. ；　11. ； 12. （或，或）．‎ 二、选择题：（每题5分）‎ ‎13.A 14.D 15. C 16. B ‎ 三、解答题：（共76分）‎ x y z O ‎17．解：（1）以A为坐标原点、AB为x轴、为y轴、‎ 为z轴建立如图的空间直角坐标系．‎ 由题意可知，‎ 故，…………………4分 由，‎ 可知，即． …………………6分 ‎（2）设是平面的一个法向量，‎ 又，‎ 故由解得 故． …………9分 设与平面所成角为，则，…………12分 所以与平面所成角为，‎ 点到平面的距离为． …………………14分 ‎18．解：（1）由成等差数列，‎ 可得， 　 …………………2分 故，所以， ………4分 又，所以，故，‎ 又由，可知，故，所以．　 …………………6分 ‎（另法：利用求解）‎ ‎（2）在△ABC中，由余弦定理得，　 …………………8分 即，故，又，故，………………10分 所以 ‎ ‎ …………………12分 ‎，‎ 故．　　　　　　　　　　　　　　　　　　 …………………14分 ‎19．解：（1）由，可得，解之得.　 …………………2分 由32种情形等可能，故，　　　　　 　……………………4分 所以，‎ 答：“谁被选中”的信息熵为． ……………………6分 ‎（2）获得冠军的概率为，……………8分 当时，，又，‎ 故， ……………………11分 ‎，‎ 以上两式相减，可得，故，‎ 答：“谁获得冠军”的信息熵为． 　　　 ……………………14分 ‎20．解：（1）由，可知，‎ 又点坐标为故，可得，　……………………………2分 因为椭圆M过点，故，可得，‎ 所以椭圆M的方程为．　　　　　　　　　 ……………………………4分 ‎（2）AP的方程为，即， ‎ 由于是椭圆M上的点，故可设， ……………………………6分 所以 ……………………………8分 当，即时，取最大值．‎ 故的最大值为． ……………………………10分 法二：由图形可知，若取得最大值，则椭圆在点处的切线必平行于，且在直线的下方． …………………………6分 设方程为，代入椭圆M方程可得，‎ 由，可得，又，故． …………………………8分 所以的最大值． 　　　……………………………10分 ‎（3）直线方程为，代入，可得 ‎，，‎ 又故，，　　　 ………………12分 同理可得，，又且，可得且，‎ 所以，，， ‎ 直线的方程为， ………………14分 令，可得．‎ 故直线过定点．　　　　　　　　　　　　　　　　　 ………………16分 ‎（法二）若垂直于轴，则，‎ 此时与题设矛盾．‎ 若不垂直于轴，可设的方程为，将其代入，‎ 可得，可得，………12分 又，‎ 可得， ………………14分 故， ‎ 可得或，又不过点，即，故．‎ 所以的方程为，故直线过定点．　　　　 ………………16分 ‎21．解：（1）对于函数，当时，，‎ 又，所以，‎ 故是“L函数”. ………………2分 ‎ 对于函数，当时，， ‎ 故不是“L函数”. ………………4分 ‎（2）当时，由是“L函数”，‎ 可知，即对一切正数恒成立，‎ 又，可得对一切正数恒成立，所以． ………………6分 由，可得，‎ 故，又，故，‎ 由对一切正数恒成立，可得，即． ………………9分 综上可知，a的取值范围是． ………………………10分 ‎（3）由函数为“L函数”， 可知对于任意正数，‎ 都有，且，‎ 令，可知，即， ………………………12分 故对于正整数k与正数，都有 ‎， ………………………………14分 对任意，可得，又，‎ 所以，…………………16分 同理，‎ 故． ……………………………18分