2017-2018学年江西省奉新县第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题

2017-2018学年江西省奉新县第一中学高二下学期第一次月考数学（理）试题

奉新一中2019届高二下学期第一次月考数学试卷（理）‎ ‎ 命题人：余运高 2018.03‎ 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。)‎ ‎1．i是虚数单位，若集合S＝{－1,0,1}，则(　 　)‎ A．i∈S　　　　　B．i2∈S C．i3∈S　　　　D.∈S ‎2．下列求导运算正确的是(　 )‎ A.′＝1＋ B．(log2x)′＝ C．(3x)′＝3xlog3e D．(x2cos x)′＝2xsin x ‎3.一个奇数列1,3,5,7,9，…，现在进行如下分组：第一组含一个数{1}；第二组含二个数{3,5}；第三组含三个数{7,9,11}；…；试观察每组内各数之和与其组的编号数n有什么关系(　 　)‎ A．等于n2　　　　　B．等于n‎3 C．等于n4 D．等于n(n＋1)‎ ‎4. (x2＋2)(－1)5的展开式的常数项是(　　)‎ A．－3 B．－‎2 C．2 D．3‎ ‎5．已知y＝sin 2x＋sin x，则y′(　 　)‎ A．仅有最小值的奇函数 B．既有最大值又有最小值的偶函数 C．仅有最大值的偶函数 D．非奇非偶函数 ‎6．已知a≥0，b≥0，且a＋b＝2，则(　 　)‎ A．a≤ B．ab≥ C．a2＋b2≥2 D．a2＋b2≤3‎ ‎7.对于函数f(x)，g(x)和区间D，如果存在x0∈D，使|f(x0)－g(x0)|≤1，则称x0是函数f(x)与g(x)在区间D上的“友好点”．现给出下列四对函数：‎ ‎①f(x)＝x2，g(x)＝2x－3；　②f(x)＝，g(x)＝x＋2；‎ ‎③f(x)＝e－x，g(x)＝－；　④f(x)＝ln x，g(x)＝x－.‎ 其中在区间(0，＋∞)上存在“友好点”的是(　 　)‎ A．①②　　　　　　　B．②③　　　　　　　C．③④　　　　　　　D．①④‎ ‎8. 从6个人中选出4人参加数、理、化、英语比赛，每人只能参加其中一项，每项都有人参加，其中甲、乙两人都不参加英语比赛，则不同的参赛方案的种数共有(　 　)‎ A．96 B．‎180 C．240 D．288‎ ‎9．已知f(x)＝x3＋x，a，b∈R，且a＋b>0，则f(a)＋f(b)的值一定(　 　)‎ A．大于零 B．等于零 C．小于零 D．正负都有可能 ‎10. 名同学报考三所院校，如果每一所院校至少有人报考，且每人只能报一所院校，则不同的报考方法共有（　 ）．‎ ‎ A．种　　　B．种　　　 C．种　　　　D．种 ‎11.已知等比数列{an}的前n项和为Sn，则下列说法中一定成立的是(　 　)‎ A．若a3＞0，则a2 015＜0 B．若a4＞0，则a2 016＜0‎ C．若a3＞0，则S2 015＞0 D．若a4＞0，则S2 016＞0‎ ‎12.已知 函数f(x)＝x3－ln(－x)，则对于任意实数a，b(a＋b≠0)，则的值为(　 )‎ A.恒正 B.恒等于‎0 C.恒负 D.不确定 二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ ‎13.求值：＝________.‎ ‎14.设函数f(x)＝(x＞0)，观察：‎ f1(x)＝f(x)＝， f2(x)＝f[f1(x)]＝， f3(x)＝f[f2(x)]＝，‎ f4(x)＝f[f3(x)]＝，… 根据以上事实，由归纳推理可得：‎ 当n∈N＋且n≥2时，fn(x)＝f[fn－1(x)]＝________________.‎ ‎15. 平面上，周长一定的所有矩形中，正方形的面积最大。将这个结论类比到空间，可以得到的结论是___________________．‎ ‎16.已知函数f(x)＝ex－2x＋a有零点，则a的取值范围是________________．‎ 三：解答题(本大题共6小题，共70分．10+12+12+12+12+12=70解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)‎ ‎17.已知a，b，c，d∈(0，＋∞)，‎ 求证ac＋bd≤.‎ ‎18.(1)解关于的方程：； ‎ ‎（2）已知，求．‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎19.已知(1＋2)n的展开式中，某一项的系数恰好是它的前一项系数的2倍，而且是它的后一项系数的，试求展开式中二项式系数最大的项．‎ ‎20.已知数列，，…，，…，Sn为该数列的前n项和，‎ ‎(1).计算 ‎(2).观察上述结果，推测出Sn(n∈N)，并用数学归纳法加以证明．‎ ‎21.的内角所对的边分别为，已知，‎ ‎（1）求；‎ ‎（2）若，的面积为，求。‎ ‎22.已知函数f(x)＝.‎ ‎(1)讨论函数y＝f(x)在x∈(m，＋∞)上的单调性；‎ ‎(2)若m∈，则当x∈[m，m＋1]时，函数y＝f(x)的图像是否总在函数g(x)＝x2＋x图像上方？请写出判断过程.‎ ‎ 2019届高二下学期第一次月考数学参考答案（理）‎ 一、选择题：(本大题共12小题，每小题5分，共60分。)‎ BBBDB CCCAB CA 二:填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)‎ 13. ‎ 3 14. ‎ ‎15.　在空间几何体中，表面积一定的所有长方体中，正方体的体积最大。‎ ‎16 . 　(－∞，2ln 2－2]‎ 三:解答题（本大题共5小题， 10+12+12+12+12+12=70分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤．）‎ ‎17.解：证明：法一：(分析法)‎ 欲证ac＋bd≤，‎ 只需证(ac＋bd)2≤(a2＋b2)(c2＋d2)，‎ 即证a‎2c2＋2abcd＋b2d2≤a‎2c2＋b2d2＋a2d2＋b‎2c2，‎ 即证2abcd≤a2d2＋b‎2c2，‎ 即证0≤(bc－ad)2，‎ 而a，b，c，d∈(0，＋∞)，0≤(bc－ad)2显然成立，‎ 故原不等式成立．‎ 法二：(综合法)(a2＋b2)(c2＋d2)＝a‎2c2＋b2d2＋a2d2＋b‎2c2≥a‎2c2＋b2d2＋2abcd ‎＝(ac＋bd)2，‎ 所以≥ac＋bd．‎ 18. 解：（1）根据排列数公式，，‎ ‎ ，‎ 从而， ‎ 即，‎ 即，‎ 化简得，‎ 解得，或 （舍），故方程的解是，‎ ‎（2）的取值范围为，‎ 由已知，‎ 即 ‎，解得（舍）或，‎ ‎．‎ ‎19.解：　由题意知展开式中第k＋1项系数是第k项系数的2倍，是第k＋2项系数的，∴，解得n＝7，‎ ‎∴展开式中二项式系数最大两项是：‎ T4＝C(2)3＝280x与T5＝C(2)4＝560x2.‎ ‎20．解：(1)计算得S1＝， S2＝ ， S3＝， S4＝.‎ ‎(2)推测Sn＝(n∈N)．‎ 用数学归纳法证明如下：‎ ‎(1)当n＝1时，S1＝＝，等式成立；‎ ‎(2)假设当n＝k时等式成立，‎ 即Sk＝，那么当n＝k＋1时，‎ Sk＋1＝Sk＋＝＋ ‎＝＝ ‎＝＝＝.‎ 也就是说，当n＝k＋1时，等式成立．‎ ‎ 根据(1)和(2)，可知对一切n∈N，等式均成立．‎ ‎21.解：‎ ‎22.解:　(1)f′(x)＝＝， 2分 当x∈(m，m＋1)时，f′(x)＜0；当x∈(m＋1，＋∞)时，f′(x)＞0，‎ 所以函数f(x)在(m，m＋1)上递减，在(m＋1，＋∞)上递增. 4分 ‎(2)由(1)知f(x)在(m，m＋1)上递减，‎ 所以其最小值为f(m＋1)＝em＋1. 5分 因为m∈，g(x)在x∈[m，m＋1]最大值为(m＋1)2＋m＋1.‎ 所以下面判断f(m＋1)与(m＋1)2＋m＋1的大小，即判断ex与(1＋x)x的大小，其中x＝m＋1∈‎ .‎ 令m(x)＝ex－(1＋x)x，m′(x)＝ex－2x－1，‎ 令h(x)＝m′(x)，则h′(x)＝ex－2，‎ 因为x＝m＋1∈，所以h′(x)＝ex－2＞0，m′(x)递增. 8分 所以m′(1)＝e－3＜0，m′＝e－4＞0，故存在x0∈，使得m′(x0)＝ex0－2x0－1＝0，‎ 所以m(x)在(1，x0)上递减，在上递增，‎ 所以m(x)≥m(x0)＝ex0－x－x0＝2x0＋1－x－x0＝－x＋x0＋1，‎ 所以当x0∈时，m(x0)＝－x＋x0＋1＞0，‎ 即ex＞(1＋x)x，也即f(m＋1)＞(m＋1)2＋m＋1，‎ 所以函数y＝f(x)的图像总在函数g(x)＝x2＋x图像上方. 12分