2017-2018学年广东省潮州市高二上学期期末教学质量检测数学（理）试题 解析版

2017-2018学年广东省潮州市高二上学期期末教学质量检测数学（理）试题 解析版

绝密★启用前 广东省潮州市2017-2018学年高二上学期期末教学质量检测数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 ‎1．不等式的解集是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】不等式即： ，‎ 据此可得不等式的解集为： ，‎ 表示为区间形式即 .‎ 本题选择D选项.‎ ‎2．已知椭圆的焦点在轴上,且离心率,则（ ）‎ A． 9 B． 5 C． 25 D． -9‎ ‎【答案】C ‎【解析】椭圆的焦点位于轴，则，‎ 则： ，‎ 求解关于实数的方程可得： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎3．在中,“”是为钝角三角形的（ ）‎ A． 充分而不必要条件 B． 必要而不充分条件 C． 充分且必要条件 D． 既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】中，若，则，此时是钝角三角形，充分性成立；‎ 若为钝角三角形，若为钝角，则，充分性不成立；‎ 综上可得：在中,“”是为钝角三角形的充分而不必要条件.‎ 本题选择A选项.‎ ‎4．已知等比数列中, ，则其前项和（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得，等比数列的公比： ，‎ 则数列为常数列，其通项公式为： ，‎ 据此可得其前n项和.‎ 本题选择D选项.‎ ‎5．当满足不等式组时,目标函数最小直是（ ）‎ A． -4 B． -3 C． 3 D． ‎ ‎【答案】B ‎【解析】绘制不等式组表示的平面区域如图所示，结合目标函数的几何意义可得在点处取得最小值，‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在 y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大.‎ ‎6．若， ，则（ ）‎ A． B． ‎ C． D． 的大小与的取值无关 ‎【答案】B ‎【解析】由题意结合函数的解析式有：‎ 据此可得： .‎ 本题选择B选项.‎ ‎7．如图:在平行六面体中， 为的交点.若， ， ，则向量（）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可得：‎ ‎，‎ 本题选择A选项.‎ ‎8．在同一坐标系中，方程与 ，表示的曲线大致是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】因为，故是焦点在轴的椭圆，选项CD错误；‎ 将化为，显然是焦点在负半轴的抛物线，选项B错误；‎ 本题选择A选项.‎ ‎9．已知数列的前前项和,那么它的通项公式是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】分类讨论：当时， ，‎ 当时， ，‎ 且当时： ‎ 据此可得，数列的通项公式为： .‎ 本题选择C选项.‎ ‎10．海洋中有三座灯塔.其中之间距高为，在处观察,其方向是南偏东，观察,其方向是南偏东,在处現察,其方向是北偏东, 之的距离是（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】依题意可知， 中，A=30°,B=105°,C=45°,且，‎ 由正弦定理： 可得： .‎ 本题选择D选项.‎ ‎11．如果点是抛物线上的点,它的横坐标依次为， 是抛物线的焦点，若，则（ ）‎ A． 8 B． 18 C． 10 D． 20‎ ‎【答案】B ‎【解析】由抛物线方程可知，由抛物线定义可知：‎ ‎，‎ 本题选择B选项.‎ 点睛：抛物线的定义是解决抛物线问题的基础，它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化．如果问题中涉及抛物线的焦点和准线，又能与距离联系起来，那么用抛物线定义就能解决问题．‎ ‎12．已知， ，且，若恒成立，则实数的取值范围（ ）‎ A． B． C． D． ‎ ‎【答案】D ‎【解析】可化为，‎ 则 ，‎ 当且仅当时，等号成立，即的最小值为8，‎ 因为恒成立，所以，解得，‎ 表示为区间形式即.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：本题是含参数的不等式存在性问题，只要求存在满足条件的x即可，此类问题可转化为最值问题，即f(x)＜a恒成立⇔a＞f(x)max，f(x)＞a恒成立⇔a＜f(x)min.‎ 第II卷（非选择题）‎ 请点击修改第II卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 ‎13．命题若,则都为零的逆否命题是_______．‎ ‎【答案】若不全为零，则.‎ ‎【解析】‎ 命题若则的逆否命题为：若，则，‎ 据此可得：若,则都为零的逆否命题是：‎ 若不全为零，则.‎ ‎14．在中， ， ，则_________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可得： ，‎ 结合正弦定理可得：‎ ‎.‎ ‎15．若是为斜边的直角三角形的三个顶点,则_________.‎ ‎【答案】-11‎ ‎【解析】由题意可得，即，‎ ‎，即，‎ ‎，即，‎ 由勾股定理可得： ，‎ 即，‎ 求解关于实数的方程可得： .‎ ‎16．已知是等差数列的前项和，且， ，则当______时, ‎ 取得最大値.‎ ‎【答案】25.‎ ‎【解析】由可得： ，整理可得： ，‎ 即： ， ，‎ 又，据此可得数列单调递减， ，‎ 故时， 最大.‎ 点睛：在解有关等差数列的问题时可以考虑化归为a1和d等基本量，体现了方程思想和化归思想，等差数列{an}的单调性是由公差d决定的，由等差数列的单调性可以确定前n项和的最大(或最小)值.‎ 评卷人 得分 三、解答题 ‎17．已知中,角的对边分别为，且.‎ ‎(l)求的面积；‎ ‎(2)求中最大角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合同角三角函数基本关系可得，则△ABC的面积为；‎ ‎(2)由余弦定理可得，则，利用大边对大角可得最大角的余弦值为.‎ 试题解析：‎ ‎（1）因为， ， 所以 所以△ABC的面积为 ‎（2）因为 所以 ，所以最大角为B，‎ 所以 ‎18．已知等差数列的前项和为, 且满足， ‎ ‎（1）求的通项公式；‎ ‎（2）求数列的前项和.‎ ‎【答案】(1) ;(2) .‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意结合等差数列的性质可得，据此列方程组可得： ，结合等差数列通项公式可得；‎ ‎(2)由题意结合(1)的结论和等差数列前n项和公式可得，裂项求和可得.‎ 试题解析：‎ ‎（1）由得，即 ‎ ‎ ‎，即 ‎（2）由（1）知 ‎∴‎ ‎∴‎ ‎ ‎ ‎∴‎ 点睛：数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法．使用裂项法求和时，要注意正负项相消时消去了哪些项，保留了哪些项，切不可漏写未被消去的项，未被消去的项有前后对称的特点，实质上造成正负相消是此法的根源与目的．‎ ‎19．已知,命题，命题.‎ ‎（1）若为真命题，求实数的取值范围；‎ ‎（2）若命题是假命题, 命题是真命题,求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）的取值范围是[1,2]；（2）或..‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)为真命题，则，即，求解关于实数m的不等式可得的取值范围是[1,2]；‎ ‎(2)由题意可得，命题为真命题时. 满足题意时命题、一真一假.据此分类讨论可得实数的取值范围是或.‎ 试题解析：‎ ‎(1)∵，‎ ‎∴，即，‎ 解得， ‎ 即为真命题时，的取值范围是[1,2]. ‎ ‎(2)∵∴，‎ 即命题满足. ‎ ‎∵命题“”是假命题，命题“”是真命题，‎ ‎∴、一真一假.‎ 当真假时，则，即， ‎ 当假真时，，即. ‎ 综上所述，或.‎ ‎20．某玩具生产公司计划每天生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共100个，生产一个卫兵需5分钟，生产一个骑兵需7分钟，生产一个伞兵兵需4分钟，已知总生产时间不超过10小时.若生产一个卫兵可获利润5元，生产一个骑兵可获利润6元，生产一个伞兵可获利润3元.‎ ‎（1)试用每天生产的卫兵个数与骑兵个数，表示每天的利润（元）；‎ ‎（2）怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少.‎ ‎【答案】(1) ;(2) 每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元.‎ ‎【解析】试题分析：‎ ‎(1)由题意可得每天生产的伞兵个数为（），结合每种玩具获得的利润整理计算可得.‎ ‎(2)根据题目信息可得，约束条件为： ，目标函数为.结合线性规划相关知识求解目标函数的最值可得每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元.‎ 试题解析：‎ ‎（1）依据题意可得每天生产的伞兵个数为（），‎ ‎∴利润 即. ‎ ‎（2）根据题目信息可得：‎ 约束条件为： 整理可得 目标函数为： .‎ 作出可行域，如图所示.‎ 初始直线： ，平移初始直线经过点A时， 有最大值.‎ 由可得，最优解为A（50，50），‎ ‎∴，即的最大值为550元. ‎ 故每天生产卫兵50个，骑兵50个，伞兵0个时利润最大，最大利润为550元.‎ 点睛：含有实际背景的线性规划问题其解题关键是找到制约求解目标的两个变量，用这两个变量建立可行域和目标函数，在解题时要注意题目中的各种相互制约关系，列出全面的制约条件和正确的目标函数．‎ ‎21．如图，四棱锥底面为菱形，平面平面, , ,, 为的中点.‎ ‎(1)证明： ；‎ ‎（2）二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）取的中点，连接根据条件可得， ， 进而面；‎ ‎（2）先证两两垂直，以分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直接坐标系， 为面的法向量，再求出面 的法向量，根据求二面角的余弦值即可.‎ 试题解析：‎ ‎（1）取的中点，连接为菱形， ，‎ 分别为的中点， .‎ 为的中点， ，‎ 又面面，‎ 面面面，‎ ‎，‎ 面.‎ ‎（2）连接为菱形，‎ 为等边三角形， 为的中点， ，‎ 面两两垂直.‎ 以分别为轴、轴、轴建立如图所示的空间直接坐标系，则为面的法向量，‎ 设面的法向量，‎ 则即，取，则， ，‎ ‎，‎ 结合图形可知二面角的余弦值为.‎ ‎22．如图，在直角坐标中，设椭圆 的左右两个焦点分别为，过右焦点且与轴垂直的直线与椭圆相交，其中一个交点为.‎ ‎(1)求椭圆的方程；‎ ‎(2)已知经过点且斜率为直线与椭圆有两个不同的和交点,请问是否存在常数，使得向量与共线？如果存在，求出的值；如果不存在，请说明理由 ‎【答案】（1）椭圆C的方程为；（2）不存在常数，使得向量与共线，理由见解析。‎ ‎【解析】‎ 试题分析：‎ ‎(1)由题意结合椭圆的定义有：，在中应用勾股定理可得，结合可得，则椭圆的方程为.‎ ‎(2)当直线的斜率不存在时，不满足题意；‎ 当直线斜率存在时：设直线的方程为，与椭圆方程联立可得 ‎，由判别式大于零可得．设,由韦达定理可得 ，，而，则原问题等价于．联立方程可得．而，故不存在常数，使得向量与共线．‎ 试题解析：‎ ‎(1)由椭圆定义可知.‎ 由题意,.‎ 又由△可知，,，‎ 又，得.‎ 椭圆的方程为.‎ ‎（2）当直线的斜率不存在时，不满足题意；‎ 直线斜率存在时，设直线的方程为，‎ 代入椭圆方程，得．‎ 整理，得①‎ 因为直线与椭圆有两个不同的交点和等价于，‎ 解得．‎ 设,则＝,‎ 由①得②‎ 又③‎ 因为，所以．‎ 所以与共线等价于．‎ 将②③代入上式，解得．‎ 因为 所以不存在常数，使得向量与共线．‎