2017-2018学年四川省广安第二中学校高二下学期第二次月考数学（理）试题-解析版

2017-2018学年四川省广安第二中学校高二下学期第二次月考数学（理）试题-解析版

绝密★启用前 四川省广安第二中学校 2017-2018 学年高二下学期第二次月 考数学（理）试题 评卷人 得分 一、单选题 1．已知函数 ，则 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 求导，将 代入即可求出 .. 【详解】 已知函数 则 故选 A. 【点睛】 本题考查函数在一点处的导数的求法，属基础题. 2．已知复数 （ 是虚数单位）是纯虚数，则实数 （ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 【分析】 利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部为 0 且虚部不为 0 求解． 【详解】 为纯虚数， ，即 ． 故选 A.． 【点睛】 本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题． 3．把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下，第二次抛出的也 是偶数点的概率为( ) A． 1 B． 1 2 C． 1 3 D． 1 4 【答案】B 【解析】本题考查古典概型.   AP A  包含的基本事件的个数 基本事件的总数 . 把一枚骰子连续掷两次，已知在第一次抛出的是偶数点的情况下,基本事件的数是 3 6=18 ；第二次抛出的也是偶数点包含的基本事件个数为 3 3=9 ；则所求概率为 9 1= .18 2 故选 B 4．已知随机变量 服从正态分布 2(3 )N ， ，且 ( 2) 0.3P    ，则 (2 4)P   的 值等于（ ） A．0.5 B．0.2 C．0.3 D．0.4 【答案】D 【解析】 试题分析：因为随机变量 服从正态分布 2(3 )N ， ,所以其正态曲线关于直线 3x 对 称 , 如 图 , 又 因 为 ( 2) 0.3P    , 由 对 称 性得 3.0)4( P ,从而有： (2 4)P   4.03.021)2(21  P ,故选 D. 考点：正态分布． 5．设随机变量 X 服从二项分布 ，则函数 存在零点的概率是( ) A． B． C． D． 【答案】C 【解析】 【分析】 函数 存在零点，可得 ，随机变量 服从二项分布 ，可求 ． 【详解】 ∵函数 存存在零点， ∵随机变量 服从二项分布 ， ． 故选：C． 【点睛】 本题考查函数的零点，考查随机变量 X 服从二项分布，属于中档题． 6．经过对 K2 的统计量的研究，得到了若干个观测值，当 K2≈6.706 时，我们认为两分 类变量 A、B( ) A． 有 67.06%的把握认为 A 与 B 有关系 B． 有 99%的把握认为 A 与 B 有关系 C． 有 0.010 的把握认为 A 与 B 有关系 D． 没有充分理由说明 A 与 B 有关系 【答案】B 【解析】 【分析】 根据所给的观测值，同临界值表中的临界值进行比较，根据 P（K2＞3.841）=0.05，得 到我们有 1-0.05=95%的把握认为 A 与 B 有关系． 【详解】 依据下表： P（ K2≥k） 0.50 0.40 0.25 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k 0.455 0.708 1.323 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 ， ∴我们在错误的概率不超过 0.01 的前提下有 99%的把握认为 A 与 B 有关系， 故选：B． 【点睛】 本题考查独立性检验的应用，本题解题的关键是正确理解临界值对应的概率的意义，本 题不用运算只要理解概率的意义即可． 7．如果命题 对于 成立，同时，如果 成立，那么对于 也成立。这样， 下述结论中正确的是 （ ） A． 对于所有的自然数 成立 B． 对于所有的正奇数 成立 C． 对于所有的正偶数 成立 D． 对于所有大于 3 的自然数 成立 【答案】B 【解析】 【分析】 根据题意可得，当命题 成立，可推 均成立． 【详解】 由于若命题 对 成立，则它对 也成立． 又已知命题 成立， 可推出 均成立， 即 对所有正奇数 都成立 故选：B． 【点睛】 本题考查用数学归纳法证明数学命题，注意 只能取连续的正奇数． 8．  2 2 sin sinx x dx     （ ） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3 【答案】C 【解析】原式 π π π 2 2 2 π π 0 2 2 sin sin 0 2 sin 2 1 2xdx x dx xdx            . 9．我国古代数学名著《九章算术》的论割圆术中有：“割之弥细，所失弥少，割之又割， 以至于不可割，则与圆周盒体而无所失矣.”它体现了一种无限与有限的转化过程.比如在 表达式 11 11 1    中“...”即代表无限次重复，但原式却是个定值，它可以通过方程 11 xx   求得 1 5 2x  ，类似上述过程，则 3 3   （ ） A． 13 1 2  B． 3 C． 6 D． 2 2 【答案】A 【解析】由已知代数式的求值方法：先换元，再列方程，解方程，求解（舍去负根）， 可 得 要 求 的 式 子 ， 令  3 3 ... 0m m    ， 则 两 边 平 方 得 ， 得 23 3 3 ... m    ，即 23 m m  ，解得 1+ 13 1 13,2 2m m   舍去，故选 A. 10．随机变量 X 的分布列如下表，且 E(X)＝2，则 D(2X－3)＝（ ） A． 2 B． 3 C． 4 D． 5 【答案】C 【解析】 ， ∴ ∴ 点晴：本题考查的是离散型随机变量的期望,方差和分布列中各个概率之间的关系.先根 据概率之和为 1，求出 p 的值，再根据数学期望公式，求出 a 的值，再根据方差公式求 出 D（X），继而求出 D（2X-3）．解决此类问题的关键是熟练掌握离散型随机变量的分布 列与数学期望． 11．（题文）从正方体六个面的对角线中任取两条作为一对，其中所成的角为 60°的共 有（ ） A． 24 对 B． 30 对 C． 48 对 D． 60 对 【答案】C 【解析】 试题分析：由题意得，正方体六个面共有 条对角线，任选其中一条，如 ，则与 成 角的有 ，共 条，所以从正方体六个面的对角线中 任取两条作为一对，其中所成的角为 的共有 条，故选 C． 考点：排列、组合的应用． 【方法点晴】本题主要以正方体为背景考查了排列、组合的实际应用问题，其中正确的 理解题意，明确求解的问题，选择恰当的方法是解答的关键，着重考查了分析问题和解 答问题的能力，属于中档试题，本题的解答中，根据正方体的结构特征，任选其中一条， 如 ，则与 成 角的有 ， 共 条，从而得到本题的 结果． 12．若曲线 与曲线 存在公共切线，则 a 的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】 【分析】 分别求出两个函数的导函数，由两函数在切点处的导数相等，并由斜率公式，得到由此 得到 ，则 有解．再由导数即可进一步求得 的取值． 【详解】 设 在点 处的切线斜率为 ， 在点 的切线斜率为 ， 如果两个曲线存在公共切线，那么： ． 又由斜率公式得到， ， 由此得到 ， 则 有解． 由 的图象有交点即可． 设切点为 ，则 ，且 ， 即有切点（2，4）， ， 故 的取值范围是： 且 ．又 ，. 故答案为： ． 选 D. 【点睛】 本题考查利用导数研究曲线上某点的切线方程，过曲线上某点处的切线的斜率，就是函 数在该点处的导数值，考查转化思想和运算能力，是中档题． 第 II 卷（非选择题） 请点击修改第 II 卷的文字说明 评卷人 得分 二、填空题 13．函数 的单调减区间为______． 【答案】（0,1） 【解析】函数有意义，则 ， 且导函数： ， 由 结合函数的定义域可得函数的单调减区间为（0,1）. 14．用两个 1，一个 2，一个 0，可组成不同四位数的个数是 _________ ． 【答案】9 【解析】 【分析】 根据题意，分 3 步进行分析：①，0 可以放在百位、十位和个位，分析可得 0 的可能情 况，②，在剩下的 3 个数位中任选 1 个，安排 2，③，最后 2 个数位安排 2 个 1，由分 步计数原理，计算可得答案 【详解】 根据题意，分 3 步进行分析： ①，0 不能放在千位，可以放在百位、十位和个位，有 3 种情况， ②，在剩下的 3 个数位中任选 1 个，安排 2，有 3 种情况， ③，最后 2 个数位安排 2 个 1，有 1 种情况， 则可组成 个不同四位数 即答案为 9. 【点睛】 本题考查排列．组合的应用，涉及分步计数原理的应用，注意其中两个 1 是相同的． 15．若 是函数 的极值点，则 的极小值为 _________ ． 【答案】 【解析】 【分析】 求出函数的导数，利用极值点，求出 a，然后判断函数的单调性，求解函数的极小值即 可． 【详解】 函数 ， 可得 ， 是函数 的极值点， 可得 ，即 ． 解得 ． 可得 ， 函数的极值点为： ， 当 ， 函数是增函数， 时，函数是减函数， 时， 函数取得极小值： ． 即答案为-1. 【点睛】 本题考查函数的导数的应用，函数的单调性以及函数的极值的求法，考查计算能力． 16．已知函数 f（x）= ,若函数 y=f（f（x）﹣a）﹣1 有三个零点,则 a 的 取值范围是_________ ． 【答案】 【解析】 【分析】 先求出 的零点，然后求出 f 的值，作出函数 的图象，利用数形结合 以及排除法进行求解即可． 【详解】 当 时，由 得 ，得 ， 当 时，由 得 ，得 ， 由 得 ， 即 ， ， 作出函数 的图象如图： ， 当 时， ，函数是增函数， 时， ，函数是减函数， 时，函数取得最大值： ， 当 时，即 时， 有 4 个零点； 当 时，即 时 有三个零点； 当 时， 有 1 个零点； 当 时，则 有 2 个零点， 当 时，即 时， 有三个零点； 当 ，解得 函数有三个零点， 综上 ，函数有 3 个零点． 故答案为： ． 【点睛】 本题主要考查函数与方程的应用，求出函数的零点，利用数形结合以及分类讨论是解决 本题的关键． 评卷人 得分 三、解答题 17．已知△ABC 的三边长分别为 ，且其中任意两边长均不相等，若 ， ， 成等差 数列，用反证法证明：b 不可能是最大边长． 【答案】见解析 【解析】 【分析】 假设 b 为最大边，则 b>a，b>c，所以 > >0， > >0，则 ＋ > ＋ ＝ 即可导出矛盾. 【详解】 假设 b 为最大边，则 b>a，b>c， 所以 > >0， > >0，则 ＋ > ＋ ＝ ， 这就与已知条件 相矛盾， 所以假设不成立，故 b 不可能是最大边长． 【点睛】 本题考查反证法的应用，考查分析问题解决问题的能力． 18．若 展开式中前三项的系数之和为 15， (1)展开式中是否有常数项，说明理由； (2)求展开式中系数最大的项． 【答案】（1）无常数项；（2） 【解析】 【分析】 由已知得： ，解得 ，代入通项公式，整理令 无整数解，所以 展开式中无常数项； (2) 由 知展开式中各项系数的绝对值就为二项式系数，所以展开式中 的第 5 项为系数最大的项 【详解】 ，所以由已知得： ，解得 ， 所以 （ ） 因为 无整数解，所以展开式中无常数项； （2）由 知展开式中各项系数的绝对值就为二项式系数，所以展开式 中的第 5 项为系数最大的项，即 。 【点睛】 本题以二项式为载体，考查展开式的通项公式以及展开式中系数最大的项，考查二项展 开式中的系数最大的项的求法，是圣. 19．已知函数 ,且 ． （1）讨论函数 的单调性； （2）求函数 在 上的最大值和最小值． 【答案】（1）在 上单调递增；在 上单调递减（2） 【解析】试题分析：(1)先求出 ，由 求出 的值，再由 得增区间， 得减区间；（2）根据（1）的结论求出函数的极值，与端点处函数值进行比较即可结果. 试 题 解 析 ： (1) 函 数 ), . ,解得 . 则 . ,令 ，解 得 .由 得 或 ，此时函数单调递增，由 得 ，此时函 数单调递减，即函数的单调递增区间为 ，单调递减区间为 . （2）当 时，函数 与 的变化如下表： 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 由表格可知：当 时，函数 取得极大值， ，当 时，函数 取得极小 值， ，又 ，可知函数 的最大值为 ，最小值为 . 【方法点睛】本题主要考查利用导数判断函数的单调性以及函数的极值及闭区间上的最 值，属于难题.求函数 极值的步骤：(1) 确定函数的定义域；(2) 求导数 ；(3) 解 方程 求出函数定义域内的所有根；(4) 列表检查 在 的根 左右两侧值 的符号，如果左正右负（左增右减），那么 在 处取极大值，如果左负右正（左减右 增），那么 在 处取极小值. （5）如果只有一个极值点，则在该处即是极值也是最值； （6）如果求闭区间上的最值还需要比较端点值得函数值与极值的大小 20．假设关于某种设备的使用年限 (年)与所支出的维修费用 (万元)有如下统计资料： x 2 3 4 5 6 y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0 已知 ， . ， (1)求 ， ； (2)若 与 具有线性相关关系，求出线性回归方程； (3)估计使用年限为 10 年时，维修费用约是多少？ 【答案】（1）4,5（2） =1.23x+0.08（3）12.38 万元 【解析】 【分析】 （1）根据公式易得 ， (2)根据（1） ， ，根据最小二乘法做出线性回归方程的系数 ，再根据样本中心点一 定在线性回归直线上，求出 的值．写出线性回归方程 （2）根据线性回归方程，，当自变量为 10 时，代入线性回归方程，求出维修费用，这 是一个预报值． 【详解】 （1） = （2+3+4+5+6）=4， = （2.2+3.8+5.5+6.5+7）=5， （2） =2×2.2+3×3.8+4×5.5+5×6.5+6×7=112.3， =90 ∴b=1.23，a=﹣b=5﹣1.23×4=0.08． ∴回归直线方程为 =1.23x+0.08． （3）当 x=10 时，=1.23×10+0.08=12.38（万元）， 即估计使用 10 年时维修费约为 12.38 万元． 【点睛】 本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性 回归方程的步骤之一． 21．甲、乙两支球队进行总决赛，比赛采用五场三胜制，即若有一队先胜三场，则此队 为总冠军，比赛就此结束．因两队实力相当，每场比赛两队获胜的可能性均为二分之 一．据以往资料统计，第一场比赛可获得门票收入 40 万元，以后每场比赛门票收入比 上一场增加 10 万元． (1)求总决赛中获得门票总收入恰好为 150 万元且甲获得总冠军的概率； (2)设总决赛中获得的门票总收入为 ，求 的分布列和数学期望 ． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】 （1）由已知总决赛中获得门票总收入恰好为 150 万元且甲获得总冠军即甲连胜 3 场 ， 由此能求出总决赛中获得门票总收入恰好为 150 万元且甲获得总冠军的概率． （2）由已知得 ，分别求出相应的概率，由此能求出 的分布列和数学 期望 ． 【详解】 （1）已知总决赛中获得门票总收入恰好为 150 万元且甲获得总冠军即甲连胜 3 场，则 其概率为 ； （2）随机变量 X 可取的值为 150，220，300. 又 P(X＝150)＝2× ＝ ，P(X＝220)＝C × × ＝ ，P(X＝300)＝C × × ＝ . 分布列如下： 所以 X 的数学期望为 E(X)＝150× ＋220× ＋300× ＝232.5(万元)． 【点睛】 本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题． 22．已知函数 (其中 , 是自然对数的底数, =2.71828…). (1)当 时,过点 作曲线 的切线 ，求 的方程； (2)当 时,求证 ; (3)求证:对任意正整数 ,都有 ． 【答案】（1） （2）0≤a≤1（3）见解析 【解析】 【分析】 （1）求出函数的导数，得出单调区间，从而求出极值； （2）只要求出函数的最小值，证明函数的最小值大于等于 0 即可； （3）由函数的最小值，构造不等式，令 ，得出关于正整数 n 的不等式 ，运用累加法即可证明． 【详解】 （1） ； (2)解:由 f(x)=ex-ax-a,f′(x)=ex-a ①当 a=0 时,f(x)=ex≥0 恒成立,满足条件, ②当 00, 所以函数 f(x)在(-∞,ln a)上单调递减,在(ln a,+∞)上单调递增, 所以函数 f(x)在 x=ln a 处取得极小值即为最小值, f(x)min=f(ln a)=eln a-aln a-a=-aln a. 因为 0

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