上海市17区县2013届高三（数学理科）分类汇编：专题三 空间几何

上海市17区县2013届高三（数学理科）分类汇编：专题三 空间几何

专题三 空间几何 ‎2013年2月 ‎（黄浦区2013届高三一模 理科）15．在四边形ABCD中，，且·＝0，则四边形ABCD是 （ ）‎ A．菱形 B．矩形 C．直角梯形 D．等腰梯形 ‎15．A ‎ ‎（嘉定区2013届高三一模 理科）10．在△中，已知，，且△最大边的长为，则△最小边的长为____________．10． ‎ ‎（浦东新区2013届高三一模 理科）13．动点在边长为1的正方体的对角线上从向移动，点作垂直于 ‎ 面的直线与正方体表面交于，，‎ ‎ 则函数的解析式为 或给分.‎ ‎（虹口区2013届高三一模）16、已知、、是空间三条不同的直线，下列命题中正确的是（ ） ‎ 如果 ，．则． 如果，．则、、 共面． ‎ 如果 ，．则． 如果、、共点．则、、 共面． ‎ ‎16、A； ‎ ‎（青浦区2013届高三一模）6．‎ 若圆柱的侧面展开图是一个正方形，则它的母线长和底面半径的比值是 ．‎ ‎（奉贤区2013届高三一模）13、（理）在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“非常距离”‎ 给出如下定义：若，则点与点的“非常距离”为，‎ ‎ 若，则点与点的“非常距离”为．‎ 已知是直线上的一个动点，点的坐标是（0，1），则点与点的“非常距离”的最小值是_________．13． 理 ‎ ‎（杨浦区2013届高三一模 理科）7. 若圆椎的母线,母线与旋转轴的夹角,则该圆椎的侧面积为 ‎ . 7. ‎ ‎（浦东新区2013届高三一模 理科）9．若一个圆锥的轴截面是边长为的等边三角形，则这个圆锥的侧面积为 .‎ ‎（嘉定区2013届高三一模 理科）8．一个圆锥的侧面展开图是一个半径为的半圆，则这个圆锥的体积是________． 8．‎ ‎（金山区2013届高三一模）9．若直线l：y=kx经过点，则直线l的倾斜角为α = ． 9． ‎ ‎（杨浦区2013届高三一模 理科）14．在平面直角坐标系中，直线与圆相切，其中 ‎ ‎ ，．若函数的零点，,‎ ‎ 则________．14． 0；‎ ‎（青浦区2013届高三一模）13．正六边形的边长为1，它的6条对角线又围成了一个正六边形 ‎，如此继续下去，则所有这些六边形的面积和是 ． ‎ ‎（（青浦区2013届高三一模）5．已知：正三棱柱的底面正三角形边长为2，侧棱长为3，则它的体积 ． ‎ ‎（虹口区2013届高三一模）10、在中，，且，则的面积等于 ． 10、或； ‎ ‎（崇明县2013届高三一模）3、过点，且与直线垂直的直线方程是　　　　　　　　　. 3、 ‎ ‎（长宁区2013届高三一模）17、已知m，n是两条不同直线，是两个不同平面，下列命题中的假命题的是（ ）‎ A. B.‎ C. D.‎ ‎17、 ‎ ‎（宝山区2013届期末）12.已知半径为R的球的球面上有三个点，其中任意两点间的球面距离都等于，且经过这三个点的小圆周长为，则R= ．‎ ‎（青浦区2013届高三一模）11．已知与()．直线过点与点，则坐标原点到直线MN的距离是 1 ．‎ ‎（长宁区2013届高三一模）‎ ‎11、（理）我们知道，在平面中，如果一个凸多边形有内切圆，那么凸多边形的面积S、周长c与内切圆半径r之间的关系为。类比这个结论，在空间中，如果已知一个凸多面体有内切球，且内切球半径为R，那么凸多面体的体积V、表面积S＇与内切球半径R之间的关系是 。‎ ‎（文）已知长方体的三条棱长分别为，，，并且该长方体的八个顶点都在一个球的球面上，则此球的表面积为____________．11、（理），（文） ‎ ‎（崇明县2013届高三一模）8、若圆锥的侧面展开图是半径为‎1cm、圆心角为的 半圆，则这个圆锥的轴截面面积等于　　　　　　　　　. 8、 ‎ ‎（杨浦区2013届高三一模 理科）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．‎ P C D E ‎ 如图，在三棱锥中，平面，，，,‎ 分别是的中点，‎ ‎（1）求三棱锥的体积；‎ ‎（2）若异面直线与所成角的大小为，求的值.‎ ‎19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分5分，第2小题满分7分 ．‎ ‎(1)由已知得， ………2分 ‎ 所以 ，体积 ………5分 ‎(2)取中点，连接，则，‎ 所以就 是异面直线与所成的角. ………7分 由已知，， ‎ ‎. ………10分 在中，，‎ 所以，. ………12分 ‎(其他解法，可参照给分)‎ ‎（浦东新区2013届高三一模 理科）19．（本小题满分12分，第1小题满分6分，第2小题满分6分）‎ 如图，直三棱柱中，,.‎ ‎（1）求点到平面的距离；‎ ‎（2）求二面角的大小.‎ 解：（1），‎ ‎.‎ ‎. …3分 设点到平面距离为，由.点到平面距离为. ……6分 ‎（2）设的中点为，连结.‎ ‎.‎ 是二面角的平面角.………………………8分 二面角的大小为.………………………………12分 ‎（嘉定区2013届高三一模 理科）20．（本题满分14分）本题共有2个小题，第1小题满分8分，第2小题满分6分．‎ 如图，在三棱锥中，底面，，．‎ P A B C ‎（1）求异面直线与所成角的大小；‎ ‎（2）求三棱锥的表面积．‎ G P A B C F E ‎20．（本题满分14分，第1小题8分，第2小题6分）‎ ‎（1）取中点，中点，中点，‎ 连结，，，则∥，∥，‎ 所以就是异面直线与所成的角（或 其补角）．…………（2分）‎ 连结，则，……（3分）‎ ‎， …………（4分）‎ 又，所以．…………（5分）‎ 在△中，，……（7分）‎ 故．所以异面直线与所成角的大小为．…………（8分）‎ ‎（2）因为底面，所以，，，‎ 又，所以平面，所以，…………（2分）‎ 所以△、△、△、△都是直角三角形．……（3分）‎ 所以，．……（6分）‎ ‎（黄浦区2013届高三一模 理科）19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．‎ 如图所示，在棱长为2的正方体中，,分别为线段,的 中点．‎ ‎（1）求异面直线与所成的角；‎ ‎（2）求三棱锥的体积．‎ ‎19．（本题满分12分）本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．‎ 解：（1）连，由、分别为线段、的中点，‎ 可得∥，故即为异面直线与所成的角． …………………2分 在正方体中，∵平面， ‎ 平面，∴，‎ 在△中，，，‎ ‎∴，∴ ．‎ 所以异面直线EF与BC所成的角为．……… 6分 ‎（2）在正方体中，由平面，平面，‎ 可知，∵，是中点，‎ ‎∴，又与相交，∴平面， …………………………9分 又， ‎ 故，‎ 所以三棱锥的体积为． ……………………………………12分 ‎（青浦区2013届高三一模）19．(本题满分12分) 本题共有2个小题，第1小题满分6分，第2小题满分6分．‎ 如图已知四棱锥中的底面是边长为6的正方形，侧棱的长为8，且垂直于底面，点分别是的中点．求 ‎（1）异面直线与所成角的大小（结果用反三角函数值表示）；‎ ‎（2）四棱锥的表面积.‎ ‎（1）解法 一：连结，可证∥，‎ 直线与所成角等于直线与所成角． …………………………2分 因为垂直于底面,所以,‎ 点分别是的中点, ‎ 在中,,,‎ ‎,…………………………4分 即异面直线与所成角的大小为．…………………………6分 解法二：以为坐标原点建立空间直角坐标系可得，，，，， …………………………2分 直线与所成角为，向量的夹角为 ‎ …………………………4分 又，，‎ 即异面直线与所成角的大小为．…………………………6分 ‎（说明：两种方法难度相当）‎ ‎(2) 因为垂直于底面,所以，即≌‎ ‎，同理≌…………8分 底面四边形是边长为6的正方形，所以 又 所以四棱锥的表面积是144 …………………………………………12分 ‎（崇明县2013届高三一模）20、（本题14分，第(1)小题6分，第(2)小题8分）‎ ‎（文科）如图，四面体中，、分别是、的中点，平面，‎ A B E O D C ‎．‎ ‎ （1）求三棱锥的体积；‎ ‎ （2）求异面直线与所成角的大小．‎ ‎ ‎ ‎（理科）如图，在长方体中, , 为中点．‎ A B C E D A1‎ D1‎ B1‎ C1‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若，求二面角的大小．‎ ‎20、（理科）‎ ‎（1）方法一、以A为坐标原点，以AB、AD、AA1分别为x轴、y轴、z轴方向建立空间直角坐标系,设，则，. ‎ 所以 , 。‎ 另解：为正方形，所以，。 ‎ ‎。‎ ‎（2）因为 所以取面AB1E的一个法向量为，同理可取面A1B1E一个法向量为， ‎ 设二面角A-B1E-A1为，则，即二面角A-B1E-A1的大小为. ‎ ‎（文科）‎ ‎（1）因为CO=，AO=1 所以 。 ‎ ‎（2）因为O、E为中点，所以OE//CD，所以的大小即为异面直线 AE与CD所成角。 ‎ 在直角三角形AEO中，，所以异面直线AE与CD所成角的大小为 ‎（虹口区2013届高三一模）19、（本题满分12分）在正四棱锥中，侧棱的长为，与所成的角的大小等于．‎ ‎（1）求正四棱锥的体积；‎ ‎（2）若正四棱锥的五个顶点都在球的表面上，求此球的半径．‎ ‎ 19、(12分) 解：（1）取的中点，记正方形对角线的交点为，连，，，则过．‎ ‎，，又，，得.………………4分 ‎，‎ 正四棱锥的体积等于（立方单位）．………………8分 ‎（2）连，，设球的半径为，则，，在中有，得。…………12分 ‎（宝山区2013届期末）19. (本题满分12分)‎ 如图，直三棱柱的体积为8，且，∠，E是 的中点，是的中点.求异面直线与所成角的大小．（结果用反三角函数值表示）‎ 解：由得，………………………3分 取BC的中点F，联结AF，EF，则，‎ 所以即是异面直线与所成的角，记为． ………………………5分 ‎，，，………………………8分 ‎，………………………11分 因而………………………………………………12分 ‎（长宁区2013届高三一模）20、（本题满分12分）如图，△中，， ，，在三角形内挖去一个半圆（圆心在边上，半圆与、分别相切于点、，与交于点），将△绕直线旋转一周得到一个旋转体。‎ ‎（1）求该几何体中间一个空心球的表面积的大小；‎ ‎（2）求图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积．‎ B M N C A O 第20题 ‎20、解（1）连接，则 ‎， …………3分 设，则 ‎，又，所以，…………6分 所以， …………8分 ‎（2）…………12分