2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷）

2013年普通高等学校招生全国统一考试数学文试题（福建卷）

‎2013年普通高等学校招生全国统一考试（福建卷）‎ 数学试题（文史类）‎ 第I卷（选择题 共60分）‎ 一．选择题 ‎1．复数（为虚数单位）在复平面内对应的点位于（ ）‎ A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 ‎2．设点，则“且”是“点在直线上”的（ ）‎ A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 ‎ C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎3．若集合，则的子集个数为（ ）‎ A．2 B．‎3 C．4 D．16‎ ‎4．双曲线的顶点到其渐近线的距离等于（ ）‎ A． B． C．1 D．‎ ‎5．函数的图象大致是（ ）‎ ‎ A． B． C． D．‎ ‎6．若变量满足约束条件，则的最大值和最小值分别为（ ）‎ A．4和3 B．4和‎2 C．3和2 D．2和0‎ ‎7．若，则的取值范围是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎8．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，如果输入某个正整数后，输出的，那么的值为（ ）‎ A．3 B．‎4 C．5 D．6‎ - 9 -‎ ‎9．将函数的图象向右平移个单位长度后得到函数的图象，若的图象都经过点，则的值可以是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎10．在四边形中，，则该四边形的面积为（ ）‎ A． B． C．5 D．10‎ ‎11．已知与之间的几组数据如下表：‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎0‎ ‎2‎ ‎1‎ ‎3‎ ‎3‎ ‎4‎ 假设根据上表数据所得线性回归直线方程为．若某同学根据上表中前两组数据和求得的直线方程为，则以下结论正确的是（ ）‎ A． B． C． D．‎ ‎12．设函数的定义域为，是的极大值点，以下结论一定正确的是（ ）‎ A． B．是的极小值点 C．是的极小值点 D．是的极小值点 二．填空题 ‎13．已知函数，则 ‎ ‎14．利用计算机产生之间的均匀随机数，则事件“”发生的概率为 ‎ - 9 -‎ ‎15．椭圆的左、右焦点分别为，焦距为．若直线与 椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 ‎ ‎16．设是的两个非空子集，如果存在一个从到的函数满足；‎ ‎（i）；（ii）对任意，当时，恒有．‎ 那么称这两个集合“保序同构”．现给出以下3对集合：‎ ‎①；‎ ‎②；‎ ‎③．‎ 其中，“保序同构”的集合对的序号是 （写出所有“保序同构”的集合对的序号）‎ 三．解答题 ‎17．（本小题满分12分）已知等差数列的公差，前项和为．‎ ‎（1）若成等比数列，求；‎ ‎（2）若，求的取值范围．‎ ‎ ‎ ‎18．（本小题满分12分）如图，在四棱锥中，，，，，，，．‎ ‎（1）当正视图方向与向量的方向相同时，画出四棱锥的正视图.（要求标出尺寸，并画出演算过程）；‎ ‎（2）若为的中点，求证：；‎ ‎（3）求三棱锥的体积．‎ ‎19．（本小题满分12分）某工厂有25周岁以上（含25周岁）工人300名，25周岁以下工人200名．为研究工人的日平均生产量是否与年龄有关．现采用分层抽样的方法，从中抽取了100名工人，先统计了他们某月的日平均生产件数，然后按工人年龄在“25周岁以上（含25周岁）”和“25周岁以下”分为两组，在将两组工人的日平均生产件数分成5组：，，，，‎ - 9 -‎ 分别加以统计，得到如图所示的频率分布直方图．‎ ‎（1）从样本中日平均生产件数不足60件的工人中随机抽取2人，求至少抽到一名“25周岁以下组”工人的频率．‎ ‎（2）规定日平均生产件数不少于80件者为“生产能手”，请你根据已知条件完成的列联表，并判断是否有 ‎ 的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”？‎ ‎ ‎ 附表：‎ ‎ ‎ ‎20．（本小题满分12分）如图，在抛物线的焦点为，准线与轴的交点为．点在抛物线上，以为圆心为半径作圆，设圆与准线的交于不同的两点．‎ ‎（1）若点的纵坐标为2，求；‎ ‎（2）若，求圆的半径．‎ ‎ ‎ ‎21（本小题满分12分）如图，在等腰直角三角形中，，，点在线段上．‎ ‎（1）若，求的长；‎ ‎（2）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小 - 9 -‎ ‎ 值．‎ ‎22（本小题满分14分）已知函数（，为自然对数的底数）．‎ ‎（1）若曲线在点处的切线平行于轴，求的值；‎ ‎（2）求函数的极值；‎ ‎（3）当的值时，若直线与曲线没有公共点，求的最大值．‎ ‎ ‎ 参考答案 一、选择题 ‎1．C ‎ ‎2．A ‎ ‎3．C ‎ ‎4．B ‎ ‎5．A ‎ ‎6．B ‎ ‎7．D ‎ ‎8．B ‎ ‎9．B ‎ ‎10．C ‎ ‎11．C ‎ ‎12．D ‎ ‎13． ．‎ ‎14． ‎ ‎15． ‎ ‎16．①②③ ‎ ‎17．解：（1）因为数列的公差，且成等比数列，‎ ‎ 所以，‎ 即，解得或．‎ - 9 -‎ ‎ （2）因为数列的公差，且，‎ ‎ 所以；‎ ‎ 即，解得 ‎18．解法一：（Ⅰ）在梯形中，过点作，垂足为，‎ 由已知得，四边形为矩形，‎ 在中，由，,依勾股定理得：‎ ‎，从而 又由平面得，‎ 从而在中，由，,得 正视图如右图所示：‎ ‎（Ⅱ）取中点，连结，‎ 在中，是中点，‎ ‎∴，，又,‎ ‎∴，‎ ‎∴四边形为平行四边形，∴‎ 又平面，平面 ‎∴平面 ‎（Ⅲ）‎ 又，，所以 解法二：‎ ‎（Ⅰ）同解法一 ‎（Ⅱ）取的中点，连结,‎ 在梯形中，，且 ‎∴四边形为平行四边形 ‎∴，又平面，平面 ‎∴平面，又在中，‎ 平面,平面 ‎∴平面.又,‎ ‎∴平面平面，又平面 ‎∴平面 ‎（Ⅲ）同解法一 ‎19．解：（Ⅰ）由已知得，样本中有周岁以上组工人名，周岁以下组工人名 所以，样本中日平均生产件数不足件的工人中，周岁以上组工人有（人），‎ 记为，，；周岁以下组工人有（人），记为，‎ 从中随机抽取名工人，所有可能的结果共有种，他们是：，，，，，，，，，‎ - 9 -‎ 其中，至少有名“周岁以下组”工人的可能结果共有种，它们是：，，，，，，.故所求的概率：‎ ‎（Ⅱ）由频率分布直方图可知，在抽取的名工人中，“周岁以上组”中的生产能手（人），“周岁以下组”中的生产能手（人），据此可得列联表如下：‎ 生产能手 非生产能手 合计 周岁以上组 周岁以下组 合计 所以得：‎ 因为，所以没有的把握认为“生产能手与工人所在的年龄组有关”‎ ‎20．解：（Ⅰ）抛物线的准线的方程为，‎ 由点的纵坐标为，得点的坐标为 所以点到准线的距离，又．‎ 所以.‎ ‎（Ⅱ）设，则圆的方程为，‎ 即.‎ 由，得 设，，则：‎ 由，得 所以，解得，此时 所以圆心的坐标为或 从而，，即圆的半径为 ‎21．解：（Ⅰ）在中，，，，‎ 由余弦定理得，，‎ - 9 -‎ 得，‎ 解得或．‎ ‎（Ⅱ）设，，‎ 在中，由正弦定理，得，‎ 所以，‎ 同理 故 ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 因为，，所以当时，的最大值为，此时的面积取到最小值．即2时，的面积的最小值为．‎ ‎22．解：（Ⅰ）由，得．‎ - 9 -‎ 又曲线在点处的切线平行于轴，‎ 得，即，解得．‎ ‎（Ⅱ），‎ ‎①当时，，为上的增函数，所以函数无极值．‎ ‎②当时，令，得，．‎ ‎，；，．‎ 所以在上单调递减，在上单调递增，‎ 故在处取得极小值，且极小值为，无极大值．‎ 综上，当时，函数无极小值；‎ 当，在处取得极小值，无极大值．‎ ‎（Ⅲ）当时，‎ 令，‎ 则直线：与曲线没有公共点，‎ 等价于方程在上没有实数解．‎ 假设，此时，，‎ 又函数的图象连续不断，由零点存在定理，可知在上至少有一解，与“方程在上没有实数解”矛盾，故．‎ 又时，，知方程在上没有实数解．‎ 所以的最大值为．‎ 解法二：‎ ‎（Ⅰ）（Ⅱ）同解法一．‎ ‎（Ⅲ）当时，．‎ 直线：与曲线没有公共点，‎ 等价于关于的方程在上没有实数解，即关于的方程：‎ - 9 -‎ ‎ （*）‎ 在上没有实数解．‎ ‎①当时，方程（*）可化为，在上没有实数解．‎ ‎②当时，方程（*）化为．‎ 令，则有．‎ 令，得，‎ 当变化时，的变化情况如下表：‎ 当时，，同时当趋于时，趋于，‎ 从而的取值范围为．‎ 所以当时，方程（*）无实数解，‎ 解得的取值范围是．‎ 综上，得的最大值为． ‎ - 9 -‎