2020学年度高中数学 周练卷（三）新人教A版必修1

2020学年度高中数学 周练卷（三）新人教A版必修1

周练卷(三)‎ ‎(时间:90分钟　满分:120分)‎ ‎【选题明细表】‎ 知识点、方法 题号 函数单调性 ‎1,4,5,9,13,16‎ 函数最值 ‎7,10,17‎ 函数奇偶性 ‎3,6,11,14,15‎ 函数性质综合 ‎2,8,12,18,19,20‎ 一、选择题(每小题5分,共60分)‎ ‎1.函数g(x)=在[1,2]上为减函数,则a的取值范围为(　C　)‎ ‎(A)(-∞,0) (B)[0,+∞)‎ ‎(C)(0,+∞) (D)(-∞,0]‎ 解析:因为y=在[1,2]上是减函数,‎ 所以要使g(x)=在[1,2]上是减函数,‎ 则有a>0.故选C.‎ ‎2.f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,则f(x)在区间(2,5)上是(　A　)‎ ‎(A)减函数 (B)增函数 ‎(C)有增有减 (D)增减性不确定 解析:f(x)=(m-1)x2+2mx+3为偶函数,‎ 所以m=0,‎ 所以f(x)=-x2+3,开口向下,f(x)在区间(2,5)上是减函数.故选A.‎ ‎3.函数f(x)=ax2+bx-2是定义在[1+a,2]上的偶函数,则f(x)在区间[1,2]上是(　B　)‎ ‎(A)增函数 (B)减函数 ‎(C)先增后减函数 (D)先减后增函数 解析:因为函数f(x)=ax2+bx-2是定义在[1+a,2]上的偶函数,‎ 所以1+a+2=0,解得a=-3,‎ 由f(x)=f(-x)得,b=0,‎ 即f(x)=-3x2-2.‎ 其图象是开口向下,对称轴是y轴的抛物线,‎ 则f(x)在区间[1,2]上是减函数.故选B.‎ ‎4.若函数y=x2+(‎2a-1)x+1在区间(-∞,2]上是减函数,则实数a的取值范围是(　B　)‎ ‎(A)[-,+∞) (B)(-∞,-]‎ ‎(C)[ ,+∞) (D)(-∞,]‎ - 8 -‎ 解析:因为函数y=x2+(‎2a-1)x+1的图象是方向朝上,以直线x=为对称轴的抛物线,‎ 又因为函数在区间(-∞,2]上是减函数,‎ 故2≤,‎ 解得a≤-,故选B.‎ ‎5.函数f(x)=x|x-2|的增区间是(　C　)‎ ‎(A)(-∞,1] (B)[2,+∞)‎ ‎(C)(-∞,1],[2,+∞) (D)(-∞,+∞)‎ 解析:f(x)=x|x-2|=‎ 作出f(x)简图如图,‎ 由图象可知f(x)的增区间是(-∞,1],[2,+∞).‎ ‎6.设f(x)是R上的任意函数,则下列叙述正确的是(　D　)‎ ‎(A)f(x)f(-x)是奇函数 ‎(B)f(x)|f(-x)|是奇函数 ‎(C)f(x)-f(-x)是偶函数 ‎(D)f(x)+f(-x)是偶函数 解析:若f(x)是R上的任意函数,则f(x)·f(-x)是偶函数,f(x)-f(-x)是奇函数,f(x)+f(-x)是偶函数,B项无法确定.选D.‎ ‎7.若函数y=x2-6x-7,则它在[-2,4]上的最大值、最小值分别是 ‎(　C　)‎ ‎(A)9,-15 (B)12,-15 (C)9,-16 (D)9,-12‎ 解析:函数的对称轴为x=3,‎ 所以当x=3时,函数取得最小值为-16,‎ 当x=-2时,函数取得最大值为9,故选C.‎ ‎8.若函数f(x)是定义在R上的偶函数,在(-∞,0]上是减函数,且f(2)=0,则使得f(x)<0的x的取值范围是(　B　)‎ ‎(A)(-∞,2) (B)(-2,2)‎ ‎(C)(2,+∞) (D)(-∞,-2)∪(2,+∞)‎ 解析:由题意知f(-2)=f(2)=0,f(x)的示意图如图所示.当x∈(-2,0]时,f(x)-,‎ 所以f(-1)>f(-),所以B不正确;‎ 对于C,f(2)=f(-2),‎ 因为f(x)在(-∞,0]上是增函数,-2<-,‎ 所以f(2)=f(-2)0,‎ 因为x≥0时,f(x)=x2-2x,‎ - 8 -‎ 所以f(-x)=x2+2x, ①‎ 又函数y=f(x)在R上为奇函数,‎ 所以f(-x)=-f(x), ②‎ 由①②得x<0时,f(x)=-x(x+2).故选A.‎ ‎12.定义在R上的奇函数f(x),满足f()=0,且在(0,+∞)上单调递减,则xf(x)>0的解集为(　B　)‎ ‎(A){x|x<-或x>}‎ ‎(B){x|0}‎ 解析:函数为奇函数,‎ 因为f()=0,‎ 所以f(-)=0,不等式xf(x)>0化为或结合函数图象可知的解集为00时,f(x)=x2+|x|-1,那么x<0时,f(x)=　　　　. ‎ 解析:由题意,当x>0时,f(x)=x2+|x|-1=x2+x-1,‎ 当x<0时,-x>0,‎ 所以f(-x)=(-x)2+(-x)-1=x2-x-1,‎ 又因为f(-x)=-f(x),所以-f(x)=x2-x-1,‎ 即f(x)=-x2+x+1.‎ 答案:-x2+x+1‎ ‎16.若定义在R上的二次函数f(x)=ax2-4ax+b在区间[0,2]上是增函数,且f(m)≥f(0),则实数m的取值范围是　　　　. ‎ 解析:由于f(x)在区间[0,2]上是增函数,所以f(2)>f(0),解得a<0.又因f(x)图象的对称轴为x=-=2.所以x在[0,2]上的值域与在[2,4]上的值域相同,所以满足f(m)≥f(0)的m的取值范围是0≤m≤4.‎ 答案:[0,4]‎ 三、解答题(共40分)‎ ‎17.(本小题满分8分)‎ 已知函数f(x)=x2-2x-3,若x∈[t,t+2],求函数f(x)的最值.‎ 解:因为对称轴为x=1,‎ ‎①当1≥t+2即t≤-1时,‎ f(x)max=f(t)=t2-2t-3,‎ f(x)min=f(t+2)=t2+2t-3.‎ ‎②当≤11时,‎ f(x)max=f(t+2)=t2+2t-3,‎ - 8 -‎ f(x)min=f(t)=t2-2t-3.‎ 设函数最大值为g(t),最小值为(t)时,则有 g(t)=‎ ‎(t)=‎ ‎18.(本小题满分10分)‎ 已知y=f(x)是奇函数,它在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,试问F(x)=在(-∞,0)上是增函数还是减函数?证明你的结论.‎ 解:F(x)在(-∞,0)上是减函数.‎ 证明如下:任取x1,x2∈(-∞,0),且x1-x2>0.‎ 因为y=f(x)在(0,+∞)上是增函数,且f(x)<0,所以f(-x2)f(x1)>0.于是F(x1)-F(x2)=>0,即F(x1)>F(x2),所以F(x)=在(-∞,0)上是减函数.‎ ‎19.(本小题满分10分)‎ 已知函数f(x)的定义域为D={x|x∈R且x≠0},且满足对于任意的x1,x2∈D都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2).‎ ‎(1)求f(1)及f(-1)的值;‎ ‎(2)判断f(x)的奇偶性并证明.‎ 解:(1)令x1=x2=1,得f(1)=f(1)+f(1),所以f(1)=0,令x1=x2=-1,得f(1)=f(-1)+f(-1)=0,所以f(-1)=0.‎ ‎(2)f(x)是偶函数.令x1=x,x2=-1,得f(-x)=f(x)+f(-1),即f(-x)=‎ f(x),故对任意的x≠0都有f(-x)=f(x).所以f(x)是偶函数.‎ ‎20.(本小题满分12分)‎ 已知函数f(x)=,若函数f(x)是奇函数,且f(1)=3,f(2)=5.‎ ‎(1)求函数f(x)的解析式;‎ ‎(2)若g(x)=‎3f(x)+,试证明函数g(x)在(0,1)上是减函数;‎ ‎(3)若不等式g(x)≤m在[,]上恒成立,求m的取值范围.‎ ‎(1)解:因为f(x)=是奇函数,‎ 所以f(-x)=-f(x).‎ - 8 -‎ 所以=-.‎ 即=-.‎ 所以-bx+c=-(bx+c).‎ 所以c=-c.‎ 所以c=0.‎ 所以f(x)=.‎ 因为f(1)=3,f(2)=5,‎ 所以=3,=5.‎ 所以a=,b=.所以f(x)=.‎ ‎(2)证明:g(x)=‎3f(x)+==7(x+).‎ 设x1,x2∈(0,1)且x10.‎ 所以g(x2)-g(x1)<0,g(x2)

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