2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题10 解析几何（讲）（解析版）

2020年高考数学(理)二轮复习讲练测 专题10 解析几何（讲）（解析版）

专题10 解析几何 ‎1．【2019年高考北京卷理数】已知椭圆(a＞b＞0)的离心率为，则 A．a2=2b2 B．3a2=4b2 C．a=2b D．3a=4b ‎【答案】B ‎【解析】椭圆的离心率，化简得，故选B.‎ ‎【名师点睛】本题考查椭圆的标准方程与几何性质，属于容易题，注重基础知识､基本运算能力的考查.由题意利用离心率的定义和的关系可得满足题意的等式.‎ ‎2．【2019年高考全国Ⅱ卷理数】若抛物线y2=2px(p>0)的焦点是椭圆的一个焦点，则p=‎ A．2 B．3 C．4 D．8‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为的焦点是椭圆的一个焦点，所以，解得，故选D．‎ ‎【名师点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养．解答时，利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于的方程，从而解出，或者利用检验排除的方法，如时，抛物线焦点为(1，0)，椭圆焦点为(±2，0)，排除A，同样可排除B，C，从而得到选D．‎ ‎3．【2019年高考天津卷理数】已知抛物线的焦点为，准线为，若与双曲线的两条渐近线分别交于点和点，且(为原点)，则双曲线的离心率为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】抛物线的准线的方程为，双曲线的渐近线方程为，则有 ‎，∴，，，∴.故选D.‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线和双曲线的性质以及离心率的求解，解题关键是求出AB的长度.解答时，只需把用表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率.‎ ‎4、【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．‎ ‎【答案】，‎ ‎【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.‎ ‎【名师点睛】本题主要考查圆的方程、直线与圆的位置关系.首先通过确定直线的斜率，进一步得到其方程，将代入后求得，计算得解.解答直线与圆的位置关系问题，往往要借助于数与形的结合，特别是要注意应用圆的几何性质.‎ ‎5、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，P是曲线上的一个动点，则点P到直线x+y=0的距离的最小值是 ▲ .‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】当直线x+y=0平移到与曲线相切位置时，切点Q即为点P，此时到直线x+y=0的距离最小.由，得，，即切点，则切点Q到直线x+y=0的距离为，故答案为．‎ ‎【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.采取导数法和公式法，利用数形结合和转化与化归思想解题.‎ ‎6．【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．‎ ‎(1)若|AF|+|BF|=4，求l的方程；(2)若，求|AB|．‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】设直线．‎ ‎(1)由题设得，故，由题设可得．‎ 由，可得，则．‎ 从而，得．所以的方程为．‎ ‎(2)由可得．由，可得．所以．‎ 从而，故．代入的方程得．故．‎ ‎【名师点睛】本题考查抛物线的几何性质、直线与抛物线的综合应用问题，涉及平面向量、弦长的求解方法，解题关键是能够通过直线与抛物线方程的联立，利用根与系数的关系构造等量关系.‎ 一、考向分析： ‎ 解析几何 直线与圆 圆锥曲线 ‎ ‎ 直线与圆 直线 圆 倾斜角 与斜率 两条直线位置关系 圆的方程 直线与圆的 位置关系 与直线有关 的最值问题 与圆有关的最值问题 圆与圆的 位置关系 圆锥曲线 椭圆 抛物线 定义 几何 性质 定义 几何 性质 双曲线 直线与圆锥曲线 定义 几何 性质 弦长及中点弦 问题 定点定 值问题 曲线和方程 范围及最值问题 问题 与平面向 量相结合 二、考向讲解 考查内容 ‎ 解 题 技 巧 ‎ 直线的 倾斜角 ‎1．求倾斜角的取值范围的一般步骤：①求出斜率k＝tan α的取值范围；②利用正切函数的单调性，借助图象或单位圆数形结合，确定倾斜角α的取值范围。‎ ‎2．求倾斜角时要注意斜率是否存在。‎ ‎3．斜率公式k＝(x1≠x2)的计算与两点坐标的顺序无关，当x1＝x2，y1≠y2时，直线的倾斜角为90°。‎ 两条直线 位置关系 ‎1．当直线方程中存在字母参数时，不仅要考虑到斜率存在的一般情况，也要考虑到斜率不存在的特殊情况。同时还要注意x、y的系数不能同时为零这一隐含条件。‎ ‎2．在判断两直线平行、垂直时，也可直接利用直线方程的系数间的关系得出结论。设直线l1方程为A1x＋B1y＋C1＝0，直线l2方程为A2x＋B2y＋C2＝0。若l1∥l2⇔若l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0。‎ ‎3．求过两直线交点的直线方程的方法： 求过两直线交点的直线方程，先解方程组求出两直线的交点坐标，再结合其他条件写出直线方程。‎ ‎4．利用距离公式应注意：①点P(x0，y0)到直线x＝a的距离d＝|x0－a|，到直线y＝b的距离d＝|y0－b|；②应用两平行线间的距离公式要把两直线方程中x，y的系数分别化为相等。‎ 与直线有关的最值问题 ‎1．求解与直线方程有关的最值问题。先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值。‎ ‎2．求参数值或范围。注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解。‎ 圆的方程 用待定系数法求圆的方程的一般步骤 ‎1．选用圆的方程两种形式中的一种(若知圆上三个点的坐标，通常选用一般方程；若给出圆心的特殊位置或圆心与两坐标轴间的关系，通常选用标准方程)。‎ ‎2．根据所给条件，列出关于D，E，F或a，b，r的方程组。‎ ‎3．解方程组，求出D，E，F或a，b，r的值，并把它们代入所设的方程中，得到所求圆的方程。‎ 求与圆有关的轨迹问题时，根据题设条件的不同，常采用以下方法：‎ ‎1．直接法：直接根据题目提供的条件列出方程。‎ ‎2．定义法：根据圆、直线等定义列方程。‎ ‎3．几何法：利用圆的几何性质列方程。‎ ‎4．代入法：找到要求点与已知点的关系，代入已知点满足的关系式等。‎ 与圆有关的最值问题 ‎1．形如μ＝的最值问题，可转化为过定点的动直线的斜率的最值问题。‎ ‎2．形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题，也可用三角代换求解。‎ ‎3．形如m＝(x－a)2＋(y－b)2的最值问题，可转化为动点与定点的距离的平方的最值问题。‎ ‎4．与圆相关的最值，若几何意义明显时，可充分利用几何性质，借助几何直观求解。否则可用代数法转化为函数求最值。‎ 直线与圆 的位置关系 ‎1、判断直线与圆的位置关系的常见方法 ‎(1)几何法：利用d与r的关系； (2)代数法：联立方程之后利用Δ判断。‎ ‎2、直线被圆所截得的弦长问题是直线与圆相交时产生的问题，也是直线与圆的位置关系的一个衍生问题。常用的方法有：①根据平面几何知识结合坐标，把弦长用圆的半径和圆心到直线的距离表示；②通过联立直线与圆的方程，利用根与系数的关系，建立弦长与交点坐标的关系来解决问题。‎ 椭圆定义及其几何性质 ‎1．椭圆定义的应用主要有两个方面：一是判定平面内动点与两定点的轨迹是否为椭圆；二是利用定义求焦点三角形的周长、面积、弦长、最值和离心率等。‎ ‎2．椭圆的定义式必须满足2a>|F1F2|。‎ ‎3、求椭圆方程的基本方法是待定系数法，先定形，再定量，即首先确定焦点所在位置，然后根据条件建立关于a，b的方程组，如果焦点位置不确定，可设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，m≠n)，求出m，n的值即可。‎ ‎4．在解关于离心率e的二次方程时，要注意利用椭圆的离心率e∈(0,1)进行根的取舍，否则将产生增根。‎ ‎5．与椭圆有关的最值或取值范围问题的求解方法主要有以下几种：‎ ‎(1)利用数形结合、几何意义，尤其是椭圆的性质，求最值或取值范围。‎ ‎(2)利用函数，尤其是二次函数求最值或取值范围。‎ ‎(3)利用不等式，尤其是基本不等式求最值或取值范围。‎ ‎(4)利用一元二次方程的判别式求最值或取值范围。‎ 双曲线定义及其几何性质 ‎1．“焦点三角形”中常用到的知识点及技巧 ‎(1)常用知识点：在“焦点三角形”中，正弦定理、余弦定理、双曲线的定义经常使用。‎ ‎(2)技巧：经常结合||PF1|－|PF2||＝2a，运用平方的方法，建立它与|PF1|·|PF2|的联系。‎ ‎2．应用双曲线定义需注意的问题 在双曲线的定义中一是不能漏掉“绝对值”，否则轨迹是双曲线的一支；二是“常数”小于|F1F2|，否则轨迹是线段或不存在。‎ ‎(1)利用待定系数法求双曲线标准方程的关键是：设出双曲线方程的标准形式，根据已知条件，列出关于参数a，b，c的方程并求出a，b，c的值；(2)与双曲线－＝1有相同渐近线时可设所求双曲线方程为－＝λ(λ≠0)。‎ ‎3．求双曲线离心率或其取值范围的方法 ‎(1)求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e。‎ ‎(2)列出含有a，b，c的齐次方程(或不等式)，借助于b2＝c2－a2消去b，然后转化成关于e的方程(或不等式)求解。‎ ‎4．与双曲线有关的取值范围问题的解题思路 ‎(1)若条件中存在不等关系，则借助此关系直接变换转化求解。‎ ‎(2)若条件中没有不等关系，要善于发现隐含的不等关系或借助曲线中不等关系来解决。‎ 抛物线定义及其几何性质 ‎1．由抛物线定义，把抛物线上点到焦点距离与到准线距离相互转化。‎ ‎2．注意灵活运用抛物线上一点P(x，y)到焦点F的距离|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋。‎ ‎3．求抛物线的标准方程的方法 ‎(1)先定位：根据焦点或准线的位置。(2)再定形：即根据条件求p。‎ ‎4．抛物线性质的应用技巧 ‎(1)利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线时，关键是将抛物线方程化成标准方程。‎ ‎(2)要结合图形分析，灵活运用平面图形的性质以形助数。‎ ‎5、抛物线焦点弦的4个常用结论 设AB是过抛物线y2＝2px(p＞0)焦点F的弦，若A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ‎(1)x1x2＝，y1y2＝－p2。 (2)弦长|AB|＝x1＋x2＋p＝(α为弦AB的倾斜角)。‎ ‎(3)以弦AB为直径的圆与准线相切。(4)过焦点垂直于对称轴的弦长等于2p。‎ 直线与圆锥曲线位置关系 ‎1．判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的一元二次方程根的判别式来确定，需注意利用判别式的前提是二次项系数不为0。‎ ‎2．依据直线与圆锥曲线的交点个数求参数时，联立方程并消元，得到一元方程，此时注意观察方程的二次项系数是否为0，若为0，则方程为一次方程；若不为0，则将方程解的个数转化为判别式与0的大小关系求解。‎ ‎3、设直线与椭圆的交点坐标为A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则|AB|＝＝(k为直线斜率)。‎ ‎4、最值与范围问题的解题思路 ‎(1)构造关于所求量的函数，通过求函数的值域来获得问题的解。‎ ‎(2)构造关于所求量的不等式，通过解不等式来获得问题的解。在解题过程中，一定要深刻挖掘题目中的隐含条件，如判别式大于零等。‎ ‎5、遇到弦中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解。‎ 在椭圆＋＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝－；在双曲线－＝1中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝；在抛物线y2＝2px(p＞0)中，以P(x0，y0)为中点的弦所在直线的斜率k＝。在使用根与系数关系时，要注意前提条件是Δ≥0。‎ 求轨迹方程的基本方法 ‎1、直接法求轨迹方程的2种常见类型及解题策略 ‎(1)题目给出等量关系，求轨迹方程。可直接代入即可得出方程。‎ ‎(2)题中未明确给出等量关系，求轨迹方程。可利用已知条件寻找等量关系，得出方程。但要注意完备性易忽视。‎ ‎2．定义法求轨迹方程的适用条件：动点与定点、定直线之间的某些关系满足直线、圆、椭圆、双曲线、抛物线的定义，定义法求轨迹方程的关键是理解平面几何图形的定义。‎ ‎3、相关点法求轨迹方程的步骤 ‎(1)明确主动点(已知曲线上的动点)P(x0，y0)，被动点(要求轨迹的动点)M(x，y)。‎ ‎(2)寻求关系式x0＝f(x，y)，y0＝g(x，y)。‎ ‎(3)将x0，y0代入已知曲线方程。‎ ‎(4)整理关于x，y的关系式得M的轨迹方程。‎ 定点、定值、最值问题的求解策略 ‎1、圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是几何方法，即通过利用圆锥曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)变量的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解。‎ ‎2、圆锥曲线中的证明问题常见的有：位置关系方面的，如证明相切、垂直、过定点等；数量关系方面的，如存在定值、恒成立等。在熟悉圆锥曲线的定义和性质的前提下，要多采用直接证明法，但有时也会用到反证法。‎ ‎3、求解直线或圆锥曲线过定点问题的基本思路是：把直线或圆锥曲线方程中的变量x，y看成常数，把方程的一端化为零，将方程转化为以参数为主变量的方程，这个方程对任意参数都成立，这时参数的系数就要全部等于零，这样就得到一个关于x，y的方程组，这个方程组的解所确定的点就是直线或圆锥曲线所过的定点。‎ ‎4、求定值问题常用的方法有两种 ‎(1)从特殊值入手，求出定值，再证明这个值与变量无关。‎ ‎(2)直接计算、推理，并在计算、推理的过程中消去变量，从而得到定值。‎ 考查直线的倾斜角及斜率 ‎【例1】一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为 A．或 B．或 C．或 D．或 ‎【答案】D ‎【解析】关于轴对称点的坐标为，设反射光线所在直线为，即，则，，解得或．‎ ‎【例2】过点P的直线与圆有公共点，则直线的倾斜角的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设直线的倾斜角为，由题意可知．‎ 考查两条直线的位置关系：‎ ‎【例1】设，则“”是“直线：与直线：平行”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 ‎【答案】A ‎【解析】“直线：与直线：平行”的充要条件是，解得，或，所以是充分不必要条件。‎ ‎【例2】已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程是( )‎ A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】直线过点，斜率为，所以直线的方程为．‎ 考查与直线有关的最值：‎ ‎【例1】设，过定点的动直线和过定点的动直线交于点，则的取值范围是 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】易知直线过定点，直线过定点，且两条直线相互垂 直，故点在以为直径的圆上运动，故 ‎．故选B．‎ ‎【例2】在平面直角坐标系中，记为点到直线的距离，当，变化时，的最大值为 A．1 B．2 C．3 D．4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意可得 ‎(其中，)，∵,‎ ‎∴，，‎ ‎∴当时，取得最大值3，故选C． ‎ 考查圆的方程：‎ ‎【例1】以抛物线的焦点为圆心,且过坐标原点的圆的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为已知抛物线的焦点坐标为，即所求圆的圆心，又圆过原点，所以圆的半径为，故所求圆的方程为，即，选D．‎ ‎【例2】若圆心在轴上、半径为的圆位于轴左侧，且与直线 相切，则圆的方程是 ‎ A． B．‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】设圆心，则，即，解得，所以圆的方程为．‎ 考查圆与圆的位置关系：‎ ‎【例1】已知圆，圆，分别是圆上的动点，为轴上的动点，则的最小值为 A． B． C． D． ‎ ‎【答案】A ‎【解析】圆C1，C2的圆心分别为C1，C2，由题意知|PM|≥|PC1|－1，|PN|≥|PC2|－3，∴|PM|＋|PN|≥|PC1|＋|PC2‎ ‎－4，故所求值为|PC1|＋|PC2|－4的最小值．又C1关于x轴对称的点为C3(2，－3)，所以|PC1|＋|PC2|－4的 最小值为|C3C2|－4＝，故选A．‎ ‎【例2】若圆与圆外切，则 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由题意得，，，所以．‎ 考查直线与圆的位置关系：‎ ‎【例1】已知点在圆外, 则直线与圆O的位置关系是 A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定 ‎【答案】B ‎【解析】点M(a, b)在圆外，∴．圆到直线距离=圆的半径，故直线与圆相交．所以选B．‎ ‎【例2】过三点，，的圆交于轴于、两点，则=‎ A．2 B．8 C．4 D．10‎ ‎【答案】C ‎【解析】设过三点的圆的方程为，则，解得，所求圆的方程为，令，得，‎ 设，，则，，所以．‎ ‎【例3】若曲线：与曲线：有四个不同的交点，则实数m 的取值范围是 ‎ A．(，) B．(，0)(0，)‎ ‎ C．[，] D．(，) (，+)‎ ‎【答案】B ‎【解析】，表示两条直线即轴和直线：，显然 轴与有两个交点，由题意与相交，所以的圆心到的距离，解得，又当时，直线与轴重合，此时只有两个交点，不符合题意．故选B．‎ 考查与圆有关的最值问题：‎ ‎【例1】已知圆和两点，，若圆上存在点，使得，则的最大值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为圆的圆心为，半径为1，，所以以原点为圆心、以为半径与圆有公共点的最大圆的半径为6，所以的最大值为6，故选B．‎ ‎【例2】在平面直角坐标系中，分别是轴和轴上的动点，若以为直径的圆与直线相切，则圆面积的最小值为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】A ‎【解析】由题意可知以线段为直径的圆C过原点，要使圆的面积最小，只需圆的半径或直径最小．又圆与直线相切，所以由平面几何知识，知圆的直径的最小值为点到直线的距离，此时，得，圆的面积的最小值为．‎ 考查圆锥曲线的方程：‎ ‎【例1】设分别是椭圆的左、右焦点，过点的直线交椭圆于两点，若轴，则椭圆的方程为_____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意得通径，∴点B坐标为，将点B坐标带入椭圆方程得，又，解得∴椭圆方程为．‎ ‎【例2】已知双曲线的离心率为2，过右焦点且垂直于轴的直线与双曲线交于，两点．设，到双曲线同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】C ‎【解析】由得双曲线的右焦点到渐近线的距离为3，所以．因为的 离心率为2，所以，所以，所以，解得，所以双曲线的方程为．‎ ‎【例3】已知双曲线：的离心率为2．若抛物线的焦点到双曲线的渐近线的距离为2，则抛物线的方程为 A． 　 B．　 C．　　 D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为双曲线：的离心率为2,所以又渐近线方程为 所以双曲线的渐近线，方程为而抛物的焦点坐标为 所以有.故选D．‎ 考查椭圆、双曲线离心率：‎ ‎【例1】已知，是椭圆的左，右焦点，是的左顶点，点在过且斜率为的直线上，为等腰三角形，，则的离心率为 A． ‎ B． C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】由题意可得椭圆的焦点在轴上，如图所示，设，所以为等腰三角形，且，∴，∵，∴点坐标为，即点．∵点在过点，且斜率为的直线上，∴，解得．∴，故选D．‎ ‎【例2】设，是双曲线：的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为 A． B．2 C． D． ‎ ‎【答案】C ‎【解析】不妨设一条渐近线的方程为，则到的距离，在中，‎ ‎，所以，所以，又，所以在与中，根据余弦定 理得，即，得．所以 ‎．故选C．‎ 考查焦点弦问题：‎ ‎【例1】椭圆的左、右焦点分别为，焦距为．若直线与椭圆的一个交点满足，则该椭圆的离心率等于 ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】由题意可知，中，，‎ 所以有，整理得，故答案为．‎ ‎【例2】已知双曲线：，为坐标原点，为的右焦点，过的直线与的两条渐近线的交点分别为、．若为直角三角形，则=‎ A． B．3 C． D．4‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为双曲线的渐近线方程为，所以．不妨设过点的直线 与直线交于点，由为直角三角形，不妨设，则，又直线 过点，所以直线的方程为，由，得，所以 ‎，所以，所以．故选B．‎ ‎【例3】已知点和抛物线：，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则______．‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】法一 由题意知抛物线的焦点为，则过的焦点且斜率为的直线方程为 ‎，由，消去得，即，设，，‎ 则，．由，消去得，即，则 ‎，，由，得 ‎，将，与，代入，得．‎ 解法二 设抛物线的焦点为，，，则，所以，则，取的中点，分别过点，做准线的垂线，垂足分别为，，又，点在准线上，所以．‎ 又为的中点，所以平行于轴，且，所以，所以．‎ 考查中点弦问题：‎ ‎【例1】过点作斜率为的直线与椭圆：相交于两点，若是线段的中点，则椭圆的离心率等于 ．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】设，，分别代入椭圆方程相减得，根据题意有，且，所以，得，整理，‎ 所以．‎ ‎【例2】已知双曲线的中心为原点，是的焦点，过的直线与相交于，两点，且的中点为,则的方程式为 A． B． C． D．‎ ‎【答案】B ‎【解析】由双曲线的中心为原点，是的焦点可设双曲线的方程为，设，即 ，则，则，故的方程式为.应选B．‎ ‎【例3】设椭圆C: 过点(0，4)，离心率为 ‎(Ⅰ)求C的方程；(Ⅱ)求过点(3，0)且斜率为的直线被C所截线段的中点坐标．‎ ‎【解析】(Ⅰ)将(0，4)代入C的方程得， ∴=4，又 得 即，∴a=5，∴C的方程为．‎ ‎( Ⅱ)过点且斜率为的直线方程为，设直线与Ｃ的交点为，，‎ 将直线方程代入的方程，得，即，解得，，的中点坐标，，即中点为．‎ 考查定值、定点问题：‎ ‎【例1】已知椭圆：，四点，，，中恰有三点在椭圆上．‎ ‎(1)求的方程；‎ ‎(2)设直线不经过点且与相交于，两点．若直线与直线的斜率的和为，证明：过定点．‎ ‎【解析】(1)由于，两点关于y轴对称，故由题设知C经过，两点．又由知，C不经过点，所以点在C上．因此，解得．故C的方程为．‎ ‎(2)设直线与直线的斜率分别为，，如果与轴垂直，设：，由题设知，且，可得A，B的坐标分别为(t，)，(t，)．则，得，不符合题设．从而可设：()．将代入得 ‎，由题设可知．‎ 设，，则，．‎ 而．‎ 由题设，故．即．‎ 解得．当且仅当时，，欲使：，即，‎ 所以过定点(2，)‎ ‎【例2】已知椭圆：的离心率为，，，，的面积为1．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)设是椭圆上一点，直线与轴交于点，直线与轴交于点．‎ 求证：为定值．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题意得解得.所以椭圆的方程为.‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，，设，则.‎ 当时，直线的方程为.‎ 令，得.从而.‎ 直线的方程为.令，得.从而.‎ 所以.‎ 当时，，所以.‎ 综上，为定值.‎ 考查最值范围问题：‎ ‎【例1】在平面直角坐标系中，椭圆的离心率为，直线被椭圆截得的线段长为．‎ ‎(Ｉ)求椭圆的方程；‎ ‎(Ⅱ)过原点的直线与椭圆C交于A，B两点(A，B不是椭圆C的顶点)．点D在椭圆C上，且，直线BD与轴、轴分别交于M，N两点．‎ ‎(ⅰ)设直线BD，AM的斜率分别为，证明存在常数使得，并求出的值；‎ ‎(ⅱ)求面积的最大值．‎ ‎【解析】(Ｉ)由，可得.椭圆C的方程可化简为.将代入可得，因此，可得.因此，所以椭圆C的方程为.‎ ‎(Ⅱ)(ⅰ)设，则，因为直线AB的斜率，‎ 又，所以直线AD的斜率，设直线AD的方程为，由题意知，‎ 由，可得.所以，‎ 因此，由题意知，，所以，‎ 所以直线BD的方程为，令，得，即．可得．‎ 所以，即．因此存在常数使得结论成立.‎ ‎(ⅱ)直线BD的方程，令，得，即，由(ⅰ)知 ‎，可得的面积，因为，当且仅当时等号成立，此时S取得最大值，所以的面积的最大值为.‎ ‎【例2】如图，已知抛物线．点，，抛物线上的点，过点作直线的垂线，垂足为．‎ ‎(Ⅰ)求直线斜率的取值范围；‎ ‎(Ⅱ)求的最大值．‎ ‎【解析】(Ⅰ)设直线AP的斜率为，，因为，所以直线AP斜率的取值范围是。‎ ‎(Ⅱ)联立直线AP与BQ的方程，解得点Q的横坐标是 ‎ 因为==，= =，‎ 所以=，令，因为，‎ 所以在区间上单调递增，上单调递减，因此当时，取得最大值．‎ 考查证明、探索问题：‎ ‎【例1】已知斜率为的直线与椭圆：交于，两点，线段的中点为．‎ ‎(1)证明：；‎ ‎(2)设为的右焦点，为上一点，且．证明：，，成等差数列，并求该数列的公差．‎ ‎【解析】(1)设，，则，．两式相减，并由得．由题设知，，于是．①由题设得，故．‎ ‎(2)由题意得，设，则．由(1)及题设得，．又点在上，所以，从而，．‎ 于是．同理．‎ 所以．故，即，，成等差数列．‎ 设该数列的公差为，则．②‎ 将代入①得．所以的方程为，代入的方程，并整理得．‎ 故，，代入②解得．所以该数列的公差为或．‎ ‎【例2】在直角坐标系中，曲线：与直线交与，两点，‎ ‎(Ⅰ)当时，分别求在点和处的切线方程；‎ ‎(Ⅱ)轴上是否存在点，使得当变动时，总有？说明理由．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由题设可得，，或，.∵，故 在=处的导数值为，在处的切线方程为，即.故在处的导数值为，在处的切线方程为，即.故所求切线方程为或. ‎ ‎(Ⅱ)存在符合题意的点，证明如下：设为符合题意的点，，，直线，的斜率分别为.将代入的方程整理得.∴.∴==.当时，有=0，则直线的倾斜角与直线的倾斜角互补，故∠=∠，所以符合题意．‎ 考查轨迹方程问题 ‎【例1】如图，在平面直角坐标系中，已知椭圆的离心率为，且右焦点到左准线的距离为3．‎ ‎(1)求椭圆的标准方程；‎ ‎(2)过的直线与椭圆交于两点，线段的垂直平分线分别交直线和于点，若，求直线的方程．‎ ‎【解析】(1)由题意得且，解得，，所以椭圆的标准方程为．‎ ‎(2)当轴时，，又，不合题意．‎ 当与轴不垂直时，设直线的方程为，，，将的方程代入椭圆方程，得，则，的坐标为 ‎，且．‎ 若，则线段的垂直平分线为轴，与左准线平行，不合题意．从而，故直线的方程为，则点的坐标为，从而．因为，所以，解得．‎ 此时直线方程为或．‎ ‎【例2】已知椭圆的一个焦点为，离心率为，‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的标准方程；‎ ‎(Ⅱ)若动点为椭圆外一点，且点P到椭圆C的两条切线相互垂直，求点P的轨迹方程．‎ ‎【解析】(Ⅰ)可知，又，，，椭圆C的标准方程为；‎ ‎(Ⅱ)设两切线为，‎ ‎①当轴或轴时，对应轴或轴，可知 ‎②当与轴不垂直且不平行时，，设的斜率为，则，的斜率为，的方程为，联立，得，‎ 因为直线与椭圆相切，所以，得，‎ ‎，‎ 所以是方程的一个根，‎ 同理是方程的另一个根，‎ ‎，得，其中，所以点P的轨迹方程为()，‎ 因为满足上式，综上知：点P的轨迹方程为．‎ ‎【例3】已知椭圆C：的两个焦点分别为，，且椭圆C经过点．‎ ‎(Ⅰ)求椭圆C的离心率 ‎(Ⅱ)设过点的直线与椭圆C交于M，N两点，点Q是MN上的点，且 ‎，求点Q的轨迹方程．‎ ‎【解析】(Ⅰ)由椭圆定义知，2a＝|PF1|＋|PF2|＝，‎ 所以．又由已知，c＝1.所以椭圆C的离心率．‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)知，椭圆C的方程为＋y2＝1．设点Q的坐标为(x，y)．‎ ‎(ⅰ)当直线l与x轴垂直时，直线l与椭圆C交于(0,1)，(0，－1)两点，此时点Q的坐标为．‎ ‎(ⅱ)当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为y＝kx＋2．因为M，N在直线l上，‎ 可设点M，N的坐标分别为(，k＋2)，(，k＋2)，‎ 则|AM|2＝(1＋k2)，|AN|2＝(1＋k2)．又|AQ|2＝x2＋(y－2)2＝(1＋k2)．‎ 由，得，‎ 即.①将y＝kx＋2代入＋y2＝1中，得 ‎(2k2＋1)x2＋8kx＋6＝0.②由Δ＝(8k)2－4×(2k2＋1)×6＞0，得k2＞.‎ 由②可知，＝，＝，代入①中并化简，得.③‎ 因为点Q在直线y＝kx＋2上，所以，代入③中并化简，得10(y－2)2－3x2＝18.‎ 由③及k2＞，可知0＜x2＜，即x∈∪.‎ 又满足10(y－2)2－3x2＝18，故x∈.‎ 由题意，Q(x，y)在椭圆C内，所以－1≤y≤1.‎ 又由10(y－2)2＝18＋3x2有(y－2)2∈且－1≤y≤1，则y∈.‎ 所以，点Q的轨迹方程为10(y－2)2－3x2＝18，其中x∈，y∈‎ 圆锥曲线中的最值问题 基本不等式型的最值问题 ‎【例1】已知直线l过点M(2，1)，且分别与x轴的正半轴、y轴的正半轴交于A，B两点，O为原点，当|MA|·|MB|取得最小值时，直线l的方程为________________。‎ ‎【答案】x＋y－3＝0。‎ ‎【解析】因为|MA|＝，|MB|＝，所以|MA|·|MB|＝·＝2≥‎ ‎2×2＝4，当且仅当k2＝，即k＝－1时取等号，故直线方程为x＋y－3＝0。‎ ‎【例2】已知圆C1：(x－a)2＋(y＋2)2＝4与圆C2：(x＋b)2＋(y＋2)2＝1外切，则ab的最大值为_____________。‎ ‎【答案】 ‎【解析】由两圆外切可得圆心(a，－2)，(－b，－2)之间的距离等于两圆半径之和，即(a＋b)2＝(2＋1)2，‎ 即9＝a2＋b2＋2ab≥4ab，所以ab≤，当且仅当a＝b时取等号，即ab的最大值是。‎ ‎【例3】已知F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过F作两条互相垂直的直线l1，l2，直线l1与C交于A，B两点，直线l2与C交于D，E两点，则|AB|＋|DE|的最小值为(　　)‎ A．16　　　　　 B．14　‎ C．12　 D．10‎ ‎【答案】A ‎【解析】设直线AB：y＝k(x－1)(k≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，由得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，所以x1＋x2＝＝2＋。根据抛物线的定义，得|AB|＝x1＋x2＋2＝4＋；因为AB⊥DE，同理可得|DE|＝4＋＝4＋4k2，所以|AB|＋|DE|＝4＋＋4＋4k2＝8＋＋4k2＝8＋4≥8＋4×2＝16，当且仅当k＝±1时取等号，故选A。‎ 斜率型的最值问题 ‎【例4】已知实数x，y满足y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)，试求的最大值和最小值。‎ ‎【答案】最大值是8，最小值是。‎ ‎【解析】如图，作出y＝x2－2x＋2(－1≤x≤1)的图象——曲线段AB，则表示定点P(－2，－3)和曲线段AB上任一点(x，y)的连线的斜率k，连接PA，PB，则kPA≤k≤kPB。‎ 易得A(1,1)，B(－1,5)，所以kPA＝＝，kPB＝＝8，所以≤k≤8，故的最大值是8，最小值是。‎ ‎【例5】　已知实数x，y满足方程x2＋y2－4x＋1＝0，则的最大值为_____________，最小值为__________。‎ ‎【答案】最大值是，最小值是－。‎ ‎【解析】法一：如图，方程x2＋y2－4x＋1＝0表示以点(2,0)为圆心，以为半径的圆。‎ 设＝k，即y＝kx，当圆心(2,0)到直线y＝kx的距离为半径时，即直线与圆相切， ‎ 斜率取得最大、最小值。由＝得k2＝3，所以kmax＝，kmin＝－。‎ 法二：由平面几何知识，得OC＝2，CP＝，∠POC＝60°，直线OP的倾斜角 为60°，直线OP′的倾斜角为120°。所以kmax＝，kmin＝－。‎ 函数型的最值问题 ‎【例6】　已知点P在圆x2＋y2＝1上，点A的坐标为(－2,0)，O为原点，则·的最大值为_____________。‎ ‎【答案】6‎ ‎【解析】法一：由题意知，＝(2,0)，令P(cosα，sinα)，则＝(cosα＋2，sinα)，·＝‎ ‎(2,0)·(cosα＋2，sinα)＝2cosα＋4≤6，故·的最大值为6。‎ 法二：由题意知，＝(2,0)，令P(x，y)，－1≤x≤1，则·＝(2,0)·(x＋2，y)＝2x＋4≤6，‎ 故·的最大值为6。‎ ‎【例7】如图，圆O与离心率为的椭圆T：＋＝1(a>b>0)相切于点M(0,1)，过点M引两条互相垂直的直线l1，l2，两直线与两曲线分别交于点A，C与点B，D(均不重合)。若P为椭圆上任一点，记点P到两直线的距离分别为d1，d2，则d＋d的最大值是(　　) ‎ A．4　 B．5‎ C．　 D． ‎【答案】C ‎【解析】易知椭圆C的方程为＋y2＝1，圆O的方程为x2＋y2＝1，设P(x0，y0)，因为l1⊥l2，则d＋d＝|PM|2＝x＋(y0－1)2，因为＋y＝1，所以d＋d＝4－4y＋(y0－1)2＝－32＋，因为－1≤y0≤1，所以当y0＝－时，d＋d取得最大值，此时点P。故选C。‎ ‎【例8】如图，已知抛物线x2＝y，点A，B，抛物线上的点P(x，y)。过点B作直线AP的垂线，垂足为点Q。‎ ② 求直线AP斜率的取值范围。‎ ‎②求|PA|·|PQ|的最大值。‎ ‎【解析】①设直线AP的斜率为k，k＝＝x－。‎ 因为－

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