数学（理）卷·2017届四川省成都外国语学校高三12月一诊模拟（2016

数学（理）卷·2017届四川省成都外国语学校高三12月一诊模拟（2016

成都外国语学校高 2014 级一诊模拟 数 学 （理工类） 命题人：李斌 审题人：刘丹 一、选择题 1、复数 的值是（ ） A. B. C. D.1 2、已知集合 ，若 ，则实数 的取值 集合为（ ） A. B. C. D. 3、等比数列 的首项为 ，公比为 ，已知 ，则（ ） A. 或 B. C. 或 D. 或 4、如图，设 是图中边长分别为 1 和 2 的矩形区域， 是 内位于函数 图象下方的区域（阴影部分），从 内随机取一个点 ，则点 取自 内的概率为（ ） A． B． C． D． 5、如图，在平行四边形 中，点 分别是 边的中 点， 分别与对角线 交于 ，有以下命题：① ；② ；③ ；④ 。其中正确的命题个数为（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 6、要得到函数 的图象，应该把函数 的图象做如下变换（ ） 3)2 3 2 1( i+− i− i 1− }73|{},03|{ 2 <≤==−+= xxBxaxxA A B ≠ ∅ a ]0,12 1[− )49 4,12 1[ −− ]0,49 4(− ]0,49 4[− { }na 1a q 3 3 3 9,2 2a S= = 2−=q 1=q 2 1−=q 2 1−=q 1=q 2 1=q 1=q D E D 1 ( 0)y xx = > D M M E ln 2 2 1 ln 2 2 − 1 ln 2 2 + 2 ln 2 2 − ABCD FE, DCAD, BFBE, AC TR, CABACDCRABAR ⋅=⋅+⋅ 2 29 ACATAR =⋅ ACRTRC =+ |||||| AB ABTC AB ABRT AB ABAR ⋅=⋅=⋅ )52sin(2 π+= xy )15 2sin(3)15 2cos( ππ −−−= xxy A B D F C E R T A.将图象上的每一点横坐标缩短到原来的 而纵坐标不变 B.沿 向左平移 个单位，再把得图象上的每一点横坐标伸长到原来的 而纵坐标不变 C.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的 而纵坐标不变，再将所得图象沿 向右平 移 个单位 D.先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的 而纵坐标不变，再将所得图象沿 向左平 移 个单位 7、有如下四个命题：（1）“ ”是“ ”的必要不充分条件；（2）若 都是正实数， 则“ ”是“ ”的充分条件；（3）若 都是正实数，则“ ”是 “ ”的充分不必要条件；（4）“ ”是“ ”的充分不必要条件。其中真命题 的个数是（ ） A.4 B.3 C.2 D.1 8、从某中学甲、乙两个班中各随机抽取 10 名同学，测量他们的身高(单位：cm)后获得身高 数据的茎叶图如图 1，在这 20 人中，记身高在[150,160)，[160,170)，[170,180)，[180,190]的 人数依次为 A1，A2，A3，A4，图 2 是统计样本中身高在一定范围内的人数的程序框图，则下 列说法中正确的是(　　) A．由图 1 可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图 2 输出的 S 的值为 18 B．由图 1 可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图 2 输出的 S 的值为 16 2 1 x 2 π 2 2 1 x 4 π 2 1 x 2 π a b> ba 11 < ba, 122 =−ba 1<−ba ba, 1|| 33 =−ba 1|| <−ba 1> b a | | | |a b> 图 1 C．由图 1 可知甲、乙两班中平均身高较高的是乙班，图 2 输出的 S 的值为 18 D．由图 1 可知甲、乙两班中平均身高较高的是甲班，图 2 输出的 S 的值为 16 9、一个四面体的三视图如右图，在三视图中的三个正方形的边长都是 ，则 该多面体的体积、表面积、外接球面的表面积分别为（） A. B. C. D. 10、已知圆 上存在点 ，直线 上存在点 ，使得 ，则实数 的取值范围为（ ） A. B. C. D. 11、把 3 盆不同的兰花和 4 盆不同的玫瑰花摆放在下图图案中的 1，2，3，4，5，6，7 所示的位置上，其中三盆兰花不能放在一条直线上，则不同的摆放方法为（ ） A．2680 种 B．4320 种 C．4920 种 D．5140 种 12、定义在 上的可导函数 ，当 时， 恒成立， ， ， ，则 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 二、填空题 13、要将两种大小不同的钢板截成 A、B、C 三种规格，每张钢板可同时截得三种规格的小 钢板的块数如下表所示： 规格类型 钢板类型 A 规格 B 规格 C 规格 2 π4,12,22 π6,34,3 22 π6,6,3 3 π 3 2,32,2 4: 22 =+ yxO P 03: =−+ byxl Q 6 π=∠OQP b )4,4(− ]4,4[− ]8,8[− ]3 38,3 38[− R ( )f x (1, )x∈ +∞ ( 1) ( ) ( ) 0x f x f x′− − > (2)a f= 1 (3)2b f= ( 2 1) ( 2)c f= + , ,a b c bac << acb << bca << abc << 正视图 侧视图 俯视图 第一种钢板 2 1 1 第二种钢板 1 2 3 今需要 A、B、C 三种规格的成品分别为 15、18、27 块，为得到所需 A、B、C 三种规格的成 品，且使所用钢板张数最少，则第一种钢板、第二种钢板分别截___________块， 14、已知 （ ）的展开式中 的系数为 11．则当 的系数取得最小值时， 展开式中 的奇次幂项的系数之和为___________．[] 15、已知等差数列 的前 n 项和为 ，若 ，则下列四个命题中真命题的序号 为 ． ① ； ②公差 ； ③ ； ④ 16、如图，已知双曲线 的左焦点为 ，左准线与 轴的 交于点 ，过点 的直线 与双曲线相交于 两点且满足 ， ，则 的值为___________ 三、解答题 17、（1）已知 的三内角 的对边分别为 ，证明： ； （2）利用（1）的结果解决下面的问题： 如图，一架飞机以 的速度，沿方位角 的航向从 A 地出发向 B 地飞行，飞 行了 后到达 E 地，飞机由于天气原因按命令改飞 C 地，已知 ，且 。问收到命令时 飞机应该沿什么航向飞行，此时 E 地离 C 地的距离是多少？ (方位角：由正北方向沿顺时针方向的旋转角。参考数据： ) nm xxxf )31()1()( +++= ∗∈ Nnm、 x 2x )(xf x }{ na nS 1)1(2017)1(,1)1(2017)1( 3 2016 5 2016 3 2 5 2 −=−+−=−+− aaaa 20172017 =S 0= λλFBAF 62tan −=∠AMB λ ABC∆ CBA ,, cba ,, Abccba cos2222 −+= hkm/600 060 min36 kmBCkmCDkmAD 500,1200,3600 === 00 113,30 =∠=∠ BCDADC 4 337tan 0 = 500km 030 A B km3600 km1200 4 1)(8 3 4 1 8 3 2 )2( 2cos 22 222 222 −+=−+⋅= +−+ =−+= a c c a ac ca ac caca ac bcaB C 0113D 北 E A B F M O x y 18、为了了解某工业园中员工的颈椎疾病与工 作性质是否有关，在工业园内随机的对其中 50 名工作人员是否患有颈椎疾病进行了抽样调 查，得到如右的列联表. 已知在全部 50 人中随机抽取 1 人，抽到患有 颈椎疾病的人的概率为 . （1）请将上面的列联表补充完整，并判断是否有 99.5%的把握认为患颈椎疾病与工作性质 有关？说明你的理由； （2）已知在患有颈椎疾病的 10 名蓝领中，有 3 为工龄在 15 年以上，现在从患有颈椎疾病 的 10 名蓝领中，选出 3 人进行工龄的调查，记选出工龄在 15 年以上的人数为 ，求 的分 布列及数学期望. 参考公式： ，其中 . 下面的临界值表仅供参考： 0.15 0．10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 患有颈椎疾病 没有患颈椎疾病 合计 白领 5 蓝领 10 合计 50 3 5 ξ ξ 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bck a b c d a c b d −= + + + + n a b c d= + + + 2 0( )P K k≥ 0k 19、如图所示，平面 平面 ， 是等边三角形， 是矩形， 是 的中点， 是 的中点， 是 的中点， 与平面 成 角． （1）求证： 平面 ； （2）求证： 平面 ； （3）若 ，求三棱锥 的体积 20、（本小题满分 12 分）已知动圆 与圆 相切，且与圆 相内切，记圆心 的轨迹为曲线 ；设 为曲线 上的一个不在 轴 上的动点， 为坐标原点，过点 作 的平行线交曲线 于 两个不同的点．（1） 求曲线 的方程； （2）试探究 和 的比值能否为一个常数？若能，求出这个常数，若不能，请说明 理由； （3）记 的面积为 ， 的面积为 ，令 ，求 的最大值． 21、已知 为实常数，函数 . （1）若 在 是减函数，求实数 的取值范围； （2）当 时函数 有两个不同的零点 ，求证： 且 .（注： 为自然对数的底数）； EAD ⊥ ABCD ADE∆ ABCD F AB G AD H CE EC ABCD 30° EG ⊥ ABCD //HF EAD 4=AD CEFD − P ( )2 2 1 : 3 81F x y+ + = ( )2 2 2 : 3 1F x y− + = P C Q C x O 2F OQ C ,M N C MN 2OQ 2QF M∆ 1S 2OF N∆ 2S 1 2S S S= + S a ( ) ln 1f x x ax= − + )(xf ),1( +∞ a 10 << a ( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 1 1 1xe < < 1 2 2x x+ > e H G F E D B C A （3）证明 选做题 22 、 已 知 曲 线 的 参 数 方 程 为 为 参 数 ），曲 线 的 极 方 程 为 ． （1）分别求曲线 和曲线 的普通方程； （2）若点 ，求 的最小值． [] 23、设 ． （1）求 的解集； （2）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围． M αα α (sin22 ,cos2    += = y x N 8)3sin( =+ πθρ M N NBMA ∈∈ , AB |1||1|)( ++−= xxxf 2)( +≤ xxf || |12||1|)( a aaxf −−+≥ 0≠a x )2*,(41 ln 5 4ln 4 3ln 3 2ln 2 ≥∈−<+++++ nNnnn n n  成都外国语学校 2017 届一诊考前模拟试题 理科数学 命题人：李斌 审题人：刘丹 二、选择题 1、D 2、A【解析】根据题意，则关于 的方程 在区间 有解，则 的取值集 合为函数 在定义域 上的值域，令 ， ，显然值域为 A 3、C【解析】要利用等比数列的求和公式必须分 和 讨论：当 显然符合题意； 当 时，根据已知有 ，解得 4、C 【解析】矩形面积为 ， ，因此 阴 影 部 分 的 面 积 为 ， 所 以 所 求 概 率 为 ．故选 C． 5、A【解析】设 ，则 ，因 三点共线，且 为 之中 点，则 且 ，又 三 点共线， 则 ，由平面向量基本定理则有 ，所以 ，同理可得 ，所以 为 的两个三等分点，易得四个命题都正确，选 A 6、C【解析】先将 化为 再化为 x 032 =−+ xax )7,3[ a 2 3 x xy +−= )7,3[ ]3 1,7 1(1 ∈= xt tty −= 23 1=q 1≠q 1=q 1≠q       =− − = 2 9 1 )1( 2 3 3 1 2 1 q qa qa 2 1−=q 1 2 2S = × = 1 11 2 11(2 ) (2 ln ) 1 ln 21 2 S dx x xx = − = − = −∫ 1' 2 2 (1 ln 2) 1 ln 2S S= − = − − = + ' 1 ln 2 2 SP S += = bADaAB == , baAC += ERB ,, E AD baAEABAR 2 µλµλ +=+= 1=+ µλ CRA ,, bmamACmAR +== 3 1132, =⇒=⇒== mmmm µλ ACAR 3 1= CACT 3 1= TR, AC )15 2sin(3)15 2cos( ππ −−−= xxy )5cos(2 π+= xy A B D F C E R T ，最后进行图象变换。若先沿 轴方向平移再伸缩：沿 向右平移 个单位，再把得图象上的每一点横坐标缩短到原来的 而纵坐标不变；若先伸缩再沿 轴 方向平移：先把图象上的每一点横坐标缩短到原来的 而纵坐标不变，再将所得图象沿 向右平移 个单位。所以该选 C 7 、 B 【 解 析 】（ 1 ） 显 然 错 误 ； 对 于 （ 2 ） ： 假 设 ， 又 是 正 数 ， 则 ，于是有 与已知 矛盾，所以 假设不成立，于是（2）正确；对于（3）：由于 都是正实数，则 ， 反 过 来 令 ， 则 不 成 立 ， 于 是 （ 3 ） 正 确 ； 对 于 （ 4 ） ： 由 ，反过来，令 ，则 不成立，于是（4）正确， 所以选 B 8、C 解析　由茎叶图可知，甲班学生身高的平均数为 170.4，乙班学生身高的平均数为 170.7，故乙班学生的平均身高较高．由题意可知，A1＝2，A2＝7，A3＝9，A4＝2， 由程序框图易知，最后输出的结果为 S＝7＋9＋2＝18. 9、B【解析】根据三视图知，此多面体是由棱长为 的正方体截去四个角而得到 的棱长为 的正四面体，于是选 B 10、C【解析】因点 在圆 上，原点 到直线 的最大距离为 ，而 ，则 的最大距离为 ，则原点 到直线 才能保证在圆 11、B【解析】 个点可组成的三角形有 ，∵三盆兰花不能放在一条直线上， ∴可放入三角形三个角上，有 中放法，再放 盆不同的玫瑰花，没有限制， 放在剩余 个位置，有 种放法，∴不同的摆放方法为 种．故 选 B. )25sin(2 ππ ++= xy x x 2 π 2 1 x 2 1 x 4 π 1≥−ba ba, 111 >+⇒>+> baba 1))((22 >−+=− bababa 122 =−ba ba, 1|||||2|||||||||1 3222233 <−⇒−=+−⋅−>++⋅−=−= bababababababababa 1== ba 1|| 33 =−ba ||||1|| ||1 bab a b a >⇒>⇒> 1,2 =−= ba 1> b a 2 2 P O O PQ 2 6 π=∠OQP OQ 4 O 03: =−+ byxl 42 || ≤= bd O 7 3053 7 =−C 1803 3 1 30 =AC 4 4 244 4 =A 432024180 =× 正视图 侧视图 俯视图 12、A【解析】构造函数 ，当 时 ， 即函数 单调递增， ∴ ， ∴ ，即 ，故选 A． 二、填空题 13、答案：3、9 或 4、8 【解析】设所需第一种钢板 张，第二种钢板 张，共需截这两种钢板 张， 根据题意，得约束条件为 ，则目标函数为 解方程组 ，得点 把 变形为 ，当直线 经过可行域上的点 时截距 最小， 此时 ，当 时直线 经过可行域内的点 它们是最优解。 答：要截得所需三种规格的钢板，且使所截两种钢板数最小的方法有两种：第一种截法 是第一种钢板 3 张，第二种钢板 9 张；第二种截法是第一种钢板 4 张，第二种钢板 8 张。两 种截法都最少要两种钢板 12 张。 14、【答案】 【解析】由题意得： ，即：m+3n=11．x2 的系数为： 当 n=2 时，x2 的系数的最小值为 19，此时 m=5 ，则 f（x）=（1+x）5+（1+3x）2 113 11 =+ nm CC 1 )()( −= x xfxg ),1( +∞∈x 0)1( )()1)((')(' 2 >− −−= x xfxxfxg )(xg )2( 12 )2()2()12(),3(13 )3()3(2 1),2(12 )2()2( gffcgffbgffa = − =+==−===−== )3()2()2( ggg << c a b< < x y z 2 15 2 18 3 27 0, 0, x y x y x y x x Z y y Z + ≥  + ≥ + ≥  ≥ ∈ ≥ ∈ z x y= + 3 27 2 15 x y x y + =  + = 18 39( , )5 5M z x y= + y x z= − + y x z= − + M z 18 39 11.45 5z = + = 12z = 12y x= − + (3,9), (4,8)B C 22 O x y 18 39( , )5 5M 19)2(9 55369 2 )1(9 2 )310)(311( 2 )1(9 2 )1(3 2 2 222 +−= +−= −+−−= −+−=+ n nn nnnn nnmmCC nm 19)2(9 55369 2 )1(9 2 )310)(311( 2 )1(9 2 )1(3 2 2 222 +−= +−= −+−−= −+−=+ n nn nnnn nnmmCC nm 19)2(9 55369 2 )1(9 2 )310)(311( 2 )1(9 2 )1(3 2 2 222 +−= +−= −+−−= −+−=+ n nn nnnn nnmmCC nm 19)2(9 55369 2 )1(9 2 )310)(311( 2 )1(9 2 )1(3 2 2 222 +−= +−= −+−−= −+−=+ n nn nnnn nnmmCC nm 设 f（x）的展开式为 f（x）=a0+a1x+a2x2+…+a5x5 令 x=1,则 f（1）=a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5 令 x=-1,则 f（-1）=a0－a1＋a2－a3＋a4－a5 则 a1+a3+a5= =22,所求系数之和为 22 考点：（1）二项式定理指定项或指定项系数；（2）赋值法求奇数项系数和． 15、答案：①②【解析】构造函数 ，则 是 单调递增的奇函数， 由已知有： ，利用 的单调性及奇偶性得： 对于①： ，则①正确； 对于②：由于 是等差数列，又 ，则公差 ，则②正确； 对于③： ，则③错误； 对于 ④： ， 显然 ，这与 矛盾，则④错误 16、答案： 或 【解析】由双曲线的方程知离心率 ，分别过点 作左准线的垂线，垂足分别为 ，又过点 作 轴的垂线，垂足为 且交 于点 。设直线 的倾斜角为 。由双 曲线的第二定义及直角三角形中三角函数的定义知： 同理可得 ，则 平分 ， 由 得 ，于是 当 为锐角时如图，由 设 ， 由双曲线的第二定义知， ，在 中， 2 )1()1( −− ff 35 2017)( xxxf += )(xf R 1)1(,1)1( 20162 −=−=− afaf )(xf 2201620162 1,2 aaaa <<=+ 20172 )(2017 2 )(2017 2016220171 2017 =+=+= aaaaS }{ na 22016 aa < 0−⇒+<−−=−= aaaaaSS 1)1( 2 >−af 1)1( 2 =−af 223−=λ 223+ 2=e BA, CD, A x H BC E l α αsin2|| ||2 || ||tan ===∠ AF AH AD AHAMF αsin2tan =∠BMF MF AMB∠ 62tan −=∠AMB 2 6tan =∠AMF 2 3sin =α α )0( >= λλFBAF 1||,|| == BFAF λ 2 1|| λ−=BE ABERt∆ A B F M O x y D’ C H E A B F M O x y ，解之得 ， 当 为钝角时可得 四、解答题 17、【解析】（1）证明：利用向量证明： 在 中，以 为基向量，由已知得 与 的夹 角为 又 ，则 ，所以 …………………………4 分 （2）解：如图，连接 ，在 中由余弦定理，得： ， 则 ， 则 ，即 是直角三角形，且 ， 又 ，则 ，…………6 分 在 中，由余弦定理，则有： ，则 ……6 分 又 则 是等腰三角形，且 ， 由已知有 ， 在 中，由余弦定理，有 ………………9 分 又 ，则 。 由飞机出发时的方位角为 ，则飞机由 E 地改飞 C 地的方位角为： ………………………………………………………………………1 1 分 答：收到命令时飞机应该沿方位角 的航向飞行，E 地离 C 地 。………………12 分 2 1 )1(2 1 || ||cos = + −== λ λα AB BE 223−=λ α 223+=λ ABC∆ ACAB, ABaBCbACcAB ,||,||,|| === AC A ABACBC −= ABACABACABACBC ⋅−+=−= 2)( 2222 Abccba cos2222 −+= CEAC, ACD∆ 3600002 31200360021200)3600( 222 =⋅⋅⋅−+=AC 600=AC 222 ACADCD += ACD∆ 060=∠ACD 0113=∠BCD 053=∠ACB ABC∆ 2222 5005 35006002500600 =⋅⋅⋅−+=AB 500=AB 500=BC ABC∆ 053=∠BAC 36060 36600 =⋅=AE ACE∆ 4805 36003602600360 22 =⋅⋅⋅−+=CE 222 CEAEAC += 090=∠AEC 060 0000 150)6090(180 =−− 0150 km480 500km 030 A B km3600 km1200 4 1)(8 3 4 1 8 3 2 )2( 2cos 22 222 222 −+=−+⋅= +−+ =−+= a c c a ac ca ac caca ac bcaB C 0113D 北 E 18、【答案】（1）我们有 99.5%的把握认为患 颈椎疾病是与工作性质有关系的；（2） 【解析】解：（Ⅰ）根据在全部 50 人中随机 抽取 1 人患颈椎疾病的概率为 ， 可得患颈椎疾病的为 30 人，故可得列联 表如右： 因为 ， 即 ， 所以 ， 又 ， 所以，我们有 99.5%的把握认为患颈椎疾病是与工作性质有关系的． （Ⅱ）现在从患颈椎疾病的 10 名蓝领中，选出 3 名进行工龄的调查， 记选出工龄在 15 年以上的人数为 ，则 ． 故 ， ， ， ， 则 的分布列为： 0 1 2 3 P 则 ． 考点：1.独立性检验；2.分布列. 19、（1）证明： 是等边三角形，且 是 的中点 ， 又 平 面 平 面 ， 平 面 平 面 ， 平面 平面 患有颈椎疾病 没有患颈椎疾病 合计 白领 5 蓝领 10 合计 50 患有颈椎疾病 没有患颈椎疾病 合计 白领 20 5 25 蓝领 10 15 25 合计 30 20 50 0.9 3 5 2 2 ( ) ( )( )( )( ) n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 2 2 50(20 15 5 10) 25 25 25 30 20 3K × − ×= =× × × 2 8.333K ≈ 2( 7.879) 0.005 0.5P K = = %≥ ξ 0 1 2 3ξ = ，， ， 3 7 3 10 C 7( 0) C 24P ξ = = = 2 1 7 3 3 10 C C 21( 1) C 40P ξ ⋅= = = 1 2 7 3 3 10 C C 7( 2) C 40P ξ ⋅= = = 3 3 3 10 C 1( 3) C 120P ξ = = = ξ ξ 7 24 21 40 7 40 1 120 7 21 7 1( ) 0 1 2 3 0.924 40 40 120E ξ = × + × + × + × =  ADE∆ G AD ADEG ⊥∴ EAD ⊥ ABCD EAD ABCD AD= ⊂EG EAD ∴ EG ⊥ ABCD H G F E D B C A I H G F E D B C A （2）证明：取 的中点 ，连 ， 是 的中点 是矩形， 是 的中点 ，则 是平行四边形 ，则 平面 平面 平面 （3）解：连 ，由（1）知 平面 ，则 是 与平面 成角， 即 ， 且 而 是 等 边 三 角 形 ， 当 时 ， 在 中，又 ，则 又 是矩形，且 是 的中点，则 所以三棱锥 的体积为 20、 ED I AIHI,  H CE CDHICDHI 2 1,// =∴  ABCD F AB CDAFCDAF 2 1,// =∴ CDAFCDAF =∴ ,// AFHI AIFH //∴ ⊂AI ⊄FHEAD, EAD ∴ //HF EAD CG EG ⊥ ABCD ECG∠ EC ABCD 030=∠ECG CGEG ⊥ ADE∆ 4=AD ,32=EG CEGRt∆  030=∠ECG 63 == EGCG ABCD G AD 24,2 22 =−== DGCGCDDG 282 1 =⋅=∴ ∆ ADCDS CDF 3 616 3 1 =⋅==∴ ∆−− EGSVV CDFCDFECEFD CEFD − 3 616 （2）设 ，直线 ，则直线 ， 由 可得： ，∴ ， ∴ 由 可得： ，∴ ， ∴ ． ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3, , , , ,M x y N x y Q x y :OQ x my= : 3MN x my= + 2 2 116 7 x my x y = + = 2 2 2 2 2 112 7 16 112 7 16 mx m y m  = +  = + 2 2 3 2 2 3 2 112 7 16 112 7 16 mx m y m  = +  = + ( )22 2 2 2 3 3 2 2 2 112 1112 112 7 16 7 16 7 16 mmOQ x y m m m + = + = + =+ + + 2 2 3 116 7 x my x y = + + = ( )2 27 16 42 49 0m y my+ + − = 1 2 12 2 42 49,7 16 7 16 my y y ym m + = − = −+ + ( ) ( ) ( ) ( ) ( )22 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 13 3 1MN x x y y my my y y m y y= − + − = + − + + − = + −   ( ) ( )22 22 2 1 2 1 2 2 2 2 56 142 491 4 1 47 16 7 16 7 16 mmm y y y y m m m m +   = + + − = + − − − =   + + +    ∴ ∴ 和 的比值为一个常数，这个常数为 ． 21、【解析】（1）因 ，则 ，又 在 是 减函数 所以 在 时恒成立，则实数 的取值范围为 （ 2 ） 因 当 时 函 数 有 两 个 不 同 的 零 点 ， 则 有 ， 则有 .设 . . 当 时， ；当 时， ； 所以 在 上是增函数，在 上是减函数. 最大值为 . 由于 ，且 ，所以 ，又 ，所以 . ( ) ( ) 2 2 2 2 2 56 1 17 16 2112 1 7 16 m MN m mOQ m + += = + + MN 2OQ 1 2 ( ) ln 1f x x ax= − + x axaxxf −=−= 11)(' )(xf ),1( +∞ 01 ≤− ax ),1( +∞∈x a ),1[ +∞ 10 << a ( )f x 1 2 1 2, ( )x x x x< 01ln1ln 2211 =+−=+− axxaxx 1 2 1 2 1 ln 1 lnx xa x x + += = 1 ln( ) ( 0)xg x xx += > 2 ln'( ) xg x x = − 0 1x< < '( ) 0g x > 1x > '( ) 0g x < ( )g x (0,1) (1, )+∞ ( )g x (1) 1g = 1 2( ) ( )g x g x= 0 1a< < 1 2 1 2 1 ln 1 ln0 1x x x x + +< = < 21 xx < 1 1 1xe < < 下面证明：当 时， .设 ， 则 . 在 上是增函数， 所以当 时， .即当 时， .. 由 得 .所以 . 所以 ，即 ， ， . 又 ，所以 ， . 所以 . 而 ，则有 . 由（1）知 ，则 在 内单调递增，在 内单调递减， 由 ，得 .所以 ， . ②证法二： 由（II）①可知函数 在 是增函数，在 是减函数. 所以 .故 第二部分:分析:因为 ,所以 .只要证明: 就可以得出结 论 下 面 给 出 证 明 ： 构 造 函 数 ： 则： 所以函数 在区间 上为减函数. ,则 ,又 0 1x< < 2 2 1ln 1 xx x −< + 2 2 1(x) ln ( 0)1 xh x xx −= − >+ 2 2 2 2 ( 1)'( ) 0( 1) xh x x x −= >+ ( )h x (0,1] 0 1x< < ( ) (1) 0h x h< = 0 1x< < 2 2 1ln 1 xx x −< + 10 1x< < 1( ) 0h x < 2 1 1 2 1 1ln 1 xx x −< + 1 1 2 1 1 1 ln 2 1 x x x x + < + 1 2 1 2 1 xa x < + 1 1 2( ) 1x xa − > 1 1 2ln ln( ) 0x xa + − > 1 11 lnax x= + 1 1 21 ln( ) 0ax xa − + − > 1 1 2ln( ) 1ax xa + − > 1 1 1 1 1 2 2 2 2( ) ln( ) ( ) 1 ln( ) 1 0f x x a x x axa a a a − = − − − + = − + − > 0)( 2 =xf 1 2 2( ) ( )f x f xa − > x axaxxf −=−= 11)(' )(xf )1,0( a ),1( +∞ a 1 2 10 x xa < < < 1 2 1xa a − > 1 2 2 x xa − < 1 2 2 2x x a + > > ( )f x 1(0, )a 1( , )a +∞ .1ln)( +−= axxxf 01)1(,011)1( >−=<−=+−−= afe a e a ef 1 1 1xe < < ax 10 1 << axa 12 1 >− 0)2( 1 >− xaf )10).((ln)2()2ln()()2()( axaxxxaaxaxfxafxg ≤<−−−−−=−−= 0 )2( )1(2 21 2 1)( 2 < − − =+− − =′ axx axa ax ax xg )(xg ]1,0( a ax 10 1 << 0)1()( 1 => agxg 0)( 1 =xf 于是 . 又 由(1)可知 .即 （3）由（1）知当 时， 在 上是减函数，且 所以当 时恒有 ，即 当 时，有 ，即 ，累加得： （ ） 考点：1.利用导数研究函数的单调性；2.利用函数求函数最值；3.构造函数法；4.放缩法. 选做题 22 、 已 知 曲 线 的 参 数 方 程 为 为 参 数 ），曲 线 的 极 方 程 为 ． （1）分别求曲线 和曲线 的普通方程； （2）若点 ，求 的最小值． 【答案】（1） ， ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）参数方程利用平方法消参得到 ；极坐标方程利用两角和 的正弦公式展开后利用 化为普通方程 ；（2）圆 的圆心 ，半径为 ，点 到直线 的距离为 ，故 的最小值为 ． 试题解析： （1）曲线 的普通方程为 ， 由 有 ， M αα α (sin22 ,cos2    += = y x N 8)3sin( =+ πθρ M N NBMA ∈∈ , AB 4)2( 22 =−+ yx 0163 =−+ yx 5 4)2( 22 =−+ yx    = = ,sin ,cos θρ θρ y x 0163 =−+ yx M )2,0(M 2=r M N 7 13 162 = + −=d AB 527 =−=− rd M 4)2( 22 =−+ yx 8)3sin( =+ πθρ 83sincos3cossin =+ πθρπθρ 0)()(1)2()2ln()2( 11111 >=−+−−−=− xgxfxaaxaxaf 0)( 2 =xf 12 2 xax −> 22 21 >>+ axx 1=a 1ln)( +−= xxxf ),1( +∞ 0)1( =f ),1( +∞∈x 01ln <+− xx 1ln −< xx 2*, ≥∈ nNn 1ln 22 −< nn 2 1 1 ln −<+ n n n 4)]1(21[2 1 1 ln 4 3ln 3 2ln 2 nnnn n −=−+++<++++  2*, ≥∈ nNn 又 ∴曲线 的普通方程为 ． （2）圆 的圆心 ，半径为 ，点 到直线 的距离为 ， 故 的最小值为 ． 考点：坐标系与参数方程． 23、设 ． （1）求 的解集； （2）若不等式 对任意实数 恒成立，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 试题分析：（1）分类讨论解不等式；（2）利用绝对值三角不等式求出 的 最大值,恒成立等价为 ,去掉绝对值,求出 的范围． 试题解析：（1）由 得： 或 或 解得 ∴ 的解集为 ． （2） 当且仅当 时，取等号． 由不等式 对任意实数 恒成立，可得 ，    = = ,sin ,cos θρ θρ y x N 0163 =−+ yx M )2,0(M 2=r M N 7 13 162 = + −=d AB 527 =−=− rd |1||1|)( ++−= xxxf 2)( +≤ xxf || |12||1|)( a aaxf −−+≥ 0≠a x }20|{ ≤≤ xx ),2 3[]2 3,( +∞−−∞  | 1| | 2 1| | | a a a + − − ( ) 3f x ≥ x 2)( +≤ xxf    +≤−−− −≤ ≥+ 211 1 02 xxx x x    +≤++− <<− ≥+ 211 11 02 xxx x x    +≤++− ≥ ≥+ 211 1 02 xxx x x 20 ≤≤ x 2)( +≤ xxf }20|{ ≤≤ xx 312111211|| |12||1| =−++≤−−+=−−+ aaaaa aa 0)12)(11( ≤−+ aa || |12||1|)( a aaxf −−+≥ 0≠a 3|1||1| ≥++− xx 解得： 或 ． 故实数 的取值范围是 ． 考点：1．绝对值不等式的解法；2．绝对值三角不等式；3．恒成立等价转化． 2 3−≤x 2 3≥x x ),2 3[]2 3,( +∞−−∞ 