2017-2018学年河南师范大学附属中学高二4月月考数学（文）试题（解析版）

2017-2018学年河南师范大学附属中学高二4月月考数学（文）试题（解析版）

‎2017-2018学年河南师范大学附属中学高二4月月考数学（文）试题 一、单选题 ‎1．复数的虚部是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析： ,所以该复数的虚部为，故选C.‎ ‎【考点】1.复数相关的概念；2.复数的运算.‎ ‎2．若集合，集合，则等于（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】A={x|x2﹣2x﹣3＜0}={x|﹣1＜x＜3}，集合B={x|x＜1}，‎ 则A∩B={x|﹣1＜x＜1}=（﹣1，1），‎ 故选：C．‎ ‎3．已知，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】是定义域上的增函数， ‎ 是定义域上的减函数，‎ 是定义域上的减函数，‎ 故选 ‎4．某四棱锥的三视图如图所示，则该四棱锥的最长棱的长度为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】由三视图还原原几何体如图，‎ 四棱锥A﹣BCDE，其中AE⊥平面BCDE，‎ 底面BCDE为正方形，则AD=AB=2，AC=．‎ ‎∴该四棱锥的最长棱的长度为．‎ 故选： ．‎ ‎5．圆的圆心到直线的距离为，则 A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由配方得，所以圆心为，因为圆的圆心到直线的距离为1，所以，解得，故选A.‎ ‎【考点】 圆的方程，点到直线的距离公式 ‎【名师点睛】直线与圆的位置关系有三种情况：相交、相切和相离.‎ ‎ 已知直线与圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离d与半径r的大小关系，以此来确定参数的值或取值范围．‎ ‎6．从分别写有1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】数n=5×5=25，‎ 抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数包含的基本事件有：‎ ‎（2，1），（3，1），（3，2），（4，1），（4，2），（4，3），（5，1），（5，2），（5，3），（5，4），共有m=10个基本事件，‎ ‎∴抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率p==．‎ 故选：D．‎ 点睛：有关古典概型的概率问题，关键是正确求出基本事件总数和所求事件包含的基本事件数：1．基本事件总数较少时，用列举法把所有基本事件一一列出时，要做到不重复、不遗漏，可借助“树状图”列举；2．注意区分排列与组合，以及计数原理的正确使用．‎ ‎7．阅读如图所示的程序框图，运行相应的程序，则输出的结果为( )‎ A. 2 B. 1 C. 0 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】程序在执行过程中的值依次为： 程序结束，输出，故选C．‎ ‎8．已知且，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】试题分析：根据题意，由诱导公式解得：‎ ‎，又因为：且 ‎，解得：，所以：，所以答案为B．‎ ‎【考点】1．诱导公式；2．同角三角函数的基本关系．‎ ‎9．过双曲线 的右焦点作圆的切线（切点为），交轴于点.若为线段的中点，则双曲线的离心率是（ ）‎ A. B. C. 2 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：∵，且,∴，∴,∴，即,∴,故选A．‎ ‎【考点】双曲线的简单性质．‎ ‎10．下列说法错误的是( )‎ A. 命题“若，则”的逆否命题是：“若，则”‎ B. “”是“”的充分不必要条件 C. 若且为假命题，则、为假命题 D. 命题“使得”，则“，均有”‎ ‎【答案】C ‎【解析】逆否命题是对条件结论都否定，然后原条件作结论，原结论作条件，则A是正确的；‎ x>1时，|x|>0成立，但|x|>0时，x>1不一定成立，故x>1是|x|>0的充分不必要条件，故B是正确的；‎ p且q为假命题，则p和q至少有一个是假命题，故C不正确；‎ 特称命题的否定是全称命题，故D是正确的。‎ 故选C.‎ ‎11．已知，，，则的最小值是（ ）‎ A. 2 B. C. 4 D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】试题分析：因为，所以，所以＝‎ ‎＝，当且仅当，即时等号成立，故选C．‎ ‎【考点】1、对数的运算；2、基本不等式．‎ ‎12．已知，若对任意两个不等的正实数，都有恒成立，则实数的取值范围是（ ）‎ A． B． ‎ C． D．‎ ‎【答案】D ‎【解析】试题分析：根据可知函数的导数大于或等于，所以，分离参数得，而当时，最大值为，故.‎ ‎【考点】函数导数与不等式，恒成立问题．‎ 二、填空题 ‎13．比较大小： __________（用“”或“”符号填空）．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】∵（+）2=3+5+2 =8+2 ，（ +）2=2+6+2 =8+2 ，‎ 又∵＜， +＞0， +＞0，‎ ‎∴＜+，‎ 故答案为：＞．‎ ‎14．已知向量， ，则__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】向量=（2，﹣1），=（0，1），则|+2|=|（2，1）|=．‎ 故答案为： ．‎ ‎15．甲、乙、丙三位同学被问到是否去过， ， 三个城市时，‎ 甲说：我去过的城市比乙多，但没有去过城市；‎ 乙说：我没去过城市；‎ 丙说：我们三人去过同一城市．‎ 由此可判断乙去过的城市为__________．‎ ‎【答案】A ‎【解析】试题分析：由乙说：我没去过C城市，则乙可能去过A城市或B城市，但甲说：我去过的城市比乙多，但没去过B城市，则乙只能是去过A，B中的任一个，再由丙说：我们三人去过同一城市，则由此可判断乙去过的城市为A ‎【考点】进行简单的合情推理 ‎16．曲线与直线有两个交点，则实数的取值范围是____．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】直线l过A（2，4），B（﹣2，1），‎ 又曲线图象为以（0，1）为圆心，2为半径的半圆，‎ 当直线l与半圆相切，C为切点时，圆心到直线l的距离d=r，即=2，‎ 解得：k=；‎ 当直线l过B点时，直线l的斜率为=，‎ 则直线l与半圆有两个不同的交点时，实数k的范围为．‎ 故答案为： ．‎ 点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路 ‎(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；‎ ‎(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；‎ ‎(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．‎ 三、解答题 ‎17．在中，角的对边分别为，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，且，求和的值.‎ ‎【答案】(1) ；(2) .‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据正弦定理将边化角得，即可求出的值；（2）根据向量数量积的公式将转化为，结合的值及余弦定理即可求出和的值.‎ 试题解析：（1）由正弦定理得，‎ 则，‎ 所以 所以 由此可得，‎ 又因为在中，所以；‎ ‎（2）由得，‎ 由（1）知，所以，‎ 又由余弦定理，‎ 于是有，解得，‎ 所以.‎ ‎18．在等差数列中， ， ．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设数列是首项为1，公比为2等比数列，求数列的前项和．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）依题意 a3+a8﹣（a2+a7）=2d=﹣6，从而d=﹣3．由此能求出数列{an}的通项公式．‎ ‎（2）由数列{an+bn}是首项为1，公比为2的等比数列，求出=3n﹣2+2n﹣1，再分组求和即可 试题解析：‎ ‎（1）设等差数列的公差是，‎ 依题意，从而，‎ 所以，解得，‎ 所以数列的通项公式为．‎ ‎（2）由数列是首项为1，公比为2的等比数列，‎ 得，即，‎ 所以，‎ 所以 ，‎ 故．‎ ‎19．某重点中学100位学生在市统考中的理科综合分数，以， ， ， ， ， ， 分组的频率分布直方图如图．‎ ‎（1）求直方图中的值；‎ ‎（2）求理科综合分数的众数和中位数；‎ ‎（3）在理科综合分数为， ， ， 的四组学生中，用分层抽样的方法抽取11名学生，则理科综合分数在的学生中应抽取多少人？‎ ‎【答案】(1) (2)230， （3）5人 ‎【解析】试题分析：（1）根据直方图求出x的值即可；‎ ‎（2）根据直方图求出众数，设中位数为a，得到关于a的方程，解出即可；‎ ‎（3）分别求出[220，240），[240，260），[260，280），[280，300]的用户数，根据分层抽样求出满足条件的概率即可．‎ 试题解析：‎ ‎（1）由，‎ 解得，∴直方图中的值为．‎ ‎（2）理科综合分数的众数是，‎ ‎∵，‎ ‎∴理科综合分数的中位数在内，设中位数为，‎ 则，‎ 解得，即中位数为．‎ ‎（3）理科综合分数在的学生有（位），‎ 同理可求理科综合分数为， ， 的用户分别有15位、10位、5位，‎ 故抽取比为，‎ ‎∴从理科综合分数在的学生中应抽取人．‎ 点睛：利用频率分布直方图求众数、中位数与平均数时，易出错，应注意区分这三者．在频率分布直方图中：‎ ‎(1)最高的小长方形底边中点的横坐标即是众数；‎ ‎(2)中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；‎ ‎(3)平均数是频率分布直方图的“重心”，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积乘以小长方形底边中点的横坐标之和．‎ ‎20．20．如图，在四棱锥中，底面是直角梯形， ， ， ， ， 平面， .‎ ‎（1）求证： 平面；‎ ‎（2）求证： 平面；‎ ‎（3）若是的中点，求三棱锥的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据线面平行的判定，只需证明直线与平面上的某一条直线平行即可，而条件中直接给出了，因此结合线面平行的判定，可直接证明平面；（2）首先根据条件中给出的数据易得，从而根据勾股定理可得，再由条件平面可得 ‎，从而根据线面垂直的判定即可证得平面；（3）由是即可得到面的距离是到面距离的一半，从而.‎ 试题解析：（1）∵，且平面，平面，∴平面； 4分 ‎（2）在直角梯形中，过作于点，则四边形为矩形，‎ ‎∴，又∵，∴，在中，，‎ ‎∴，，∴，则，‎ ‎∴，∴， 8分 又∵平面，∴，，∴平面； 10分 ‎（3）∵是中点，∴到面的距离是到面距离的一半，‎ ‎∴. 14分 ‎【考点】利用导数考查函数的单调性.‎ ‎21．已知椭圆的中心在原点，焦点在轴上，左、右焦点分别为， ，且，点在椭圆上．‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）过的直线与椭圆相交于， 两点，且的面积为，求直线的方程．‎ ‎【答案】(1) (2) ‎ ‎【解析】试题分析：（1）由题意可设椭圆的标准方程，并求出椭圆两个焦点的坐标，又点在椭圆上，利用椭圆定义可求出长轴长，从而求出椭圆的方程； （2）为避免讨论可设过的直线，和椭圆方程联立后化为关于的一元二次方程，利用根与系数的关系求出直线和椭圆两个交点纵坐标的和与积， ‎ 的面积就是，由此求出的值，则直线的方程可求．‎ 试题解析：‎ ‎：(1) ‎ ‎(2)设代入，得 ‎，∴，∴‎ ‎，故所求直线方程为： ‎ ‎【点睛】本题考查利用定义求椭圆的标准方程，直线与圆锥曲线的位置关系，解题时注意设而不求的数学方法的应用，特别注意该题把直线的方程设为，避免了讨论直线斜率存在和不存在的情况．‎ ‎22．已知， .‎ ‎（1）若函数的单调递减区间为，求函数的图象在点处的切线方程；‎ ‎（2）若不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】试题分析: (1)求出函数g(x)的导函数,令导函数小于0,根据不等式的解集得到相应方程的两个根,将根代入求出a值,再根据g(x)的导数在x=-1的值即曲线的切线斜率,利用点斜式求出切线方程;(2)求出不等式,分离出参数a,构造函数h(x),利用导数求出最大值,求出a的范围.‎ 试题解析:‎ ‎（1），由题意，知的解集是，‎ 即方程的两根分别是．（由韦达定理有∴a=-1）‎ 将或代入方程，得，‎ ‎∴， ，∴，‎ ‎∴的图像在点处的切线斜率，‎ ‎∴函数的图像在点处的切线方程为： ，即；‎ ‎（2）∵恒成立，‎ 即对一切恒成立，‎ 整理可得对一切恒成立，‎ 设，则，‎ 令，得（舍），‎ 当时， 单调递增；当时， 单调递减，‎ ‎∴当时， 取得最大值，∴．‎ 故实数的取值范围是．‎