【推荐】专题12+导数的应用-2019年高三数学（理）二轮必刷题

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专题12 导数的应用 ‎1．已知函数．‎ 若，，试证明：当时，；‎ 若对任意，均有两个极值点，‎ 试求b应满足的条件；‎ 当时，证明：．‎ ‎【答案】（1）见解析（2），.见解析 则，‎ 故在递减，‎ ‎2．己知函数.‎ ‎（1)若f（x）有两个极值点，求实数m的取值范围：‎ ‎ (2)若函数有且只有三个不同的零点，分别记为x1，x2，x3，设x1＜x2＜x3，且的最大值是e2，求x1x3的最大值．‎ ‎【答案】(1) (0，)；（2）.‎ ‎【解析】‎ 令，则．‎ 所以在区间上单调递增，即>．所以，即在区间上单调递增，即 ‎≤=，所以，即x1x3≤.‎ 所以x1x3的最大值为．‎ ‎3．已知函数.‎ ‎（1）若，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若函数在区间上不单调，求实数的取值范围；‎ ‎（3）求证：或是函数在上有三个不同零点的必要不充分条件.‎ ‎【答案】（1）函数的单调递增区间为，没有单调递减区间. （2） （3）见解析 ‎ ‎ ‎4．已知函数，记在点处的切线为.‎ ‎（1）当时，求证：函数的图像（除切点外）均为切线的下方；‎ ‎（2）当时，求的最小值.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎，，即，在上单调递增，‎ ‎①当，即，，在上单调递增.‎ ‎5．设函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）当时，若函数与函数的图像总有两个交点，设两个交点的横坐标分别为，. ‎ ‎①求的取值范围； ‎ ‎②求证：.‎ ‎【答案】（Ⅰ）当时，单调递增区间是；单调递减区间是.‎ ‎（Ⅱ）①，②见解析 ‎【解析】‎ ‎（Ⅰ）由已知得，，‎ 所以，只需证明.‎ 令，则 ‎∴‎ ‎∵，∴，即 所以，，即在上为增函数，所以，，‎ ‎∴成立，所以，.‎ ‎6．已知函数，其中.‎ ‎（1）当时，求曲线在点处的切线方程；‎ ‎（2）记的导函数为，若不等式在区间上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（3）设函数，是的导函数，若存在两个极值点，且满足，求的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）‎ 即对任意实数恒成立. ‎ 即. （※）‎ ‎7．已知函数，.‎ ‎（1）讨论的单调性；‎ ‎（2）若函数存在两个零点，，使，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）当时，在单调递增；当时，在单调递增，在单调递减；（2）2.‎ ‎【解析】‎ ‎（1）函数的定义域为，.‎ 当时，，在单调递增；‎ 当时，令，得，‎ 当时，；当时，.‎ 所以在单调递增，在单调递减.‎ 当时，在单调递减，因为，，‎ 所以存在，使得 当时，，；当时，，，‎ 所以在上递增，在上递减.‎ 当时，都有，‎ 所以在不恒成立.‎ 综上所述，的取值范围是，所以的最大值为2.‎ ‎8．已知函数.‎ ‎（Ⅰ）当时，求函数的极值；‎ ‎（Ⅱ）若，且方程在区间内有解，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ) 极小值为，极大值为. (Ⅱ) ‎ ‎9．已知 ‎（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；‎ ‎（2）函数有几个零点？‎ ‎【答案】（1） (2)见解析 ‎【解析】‎ ‎（1）∵，‎ ‎∴‎ ‎∴①当时，函数没有零点，‎ ‎②当时，函数有四个零点，‎ ‎③当时，函数有两个零点，‎ ‎④当时，函数有三个零点，‎ ‎⑤当时，函数有两个零点.‎ ‎10．已知函数.‎ ‎（1）讨论在上的单调性；‎ ‎（2），，总有成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）当时，函数在上单调递增；当时，在区间上单调递减，在区间上单调递增；（2）.‎ 整理得，‎ 当时，，在区间上单调递增；‎ 当时，，在区间上单调递减，‎ 所以，‎ 所以 ， 即，‎ 故实数的取值范围为.‎ ‎11．已知 (，且为常数).‎ ‎(1)求的单调区间；‎ ‎(2)若在区间内，存在且时，使不等式成立，求的取值范围.‎ ‎【答案】 (1) 时，单调递增区间为，单调递减区间为;时，函数单调递增区间为，单调递减区间为.(2) ‎ ‎∴有解，即，∴有解，令，则，由得，当时，，单调递增；当时，，单调递减，∴，故.‎ ‎12．已知函数，其中为大于零的常数 ‎（Ⅰ）讨论的单调区间；‎ ‎（Ⅱ）若存在两个极值点，，且不等式恒成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（Ⅰ）见解析; （Ⅱ）.‎ 所以 ‎ 设，‎ 令 当时，‎ 故在上单调递减，所以 综上所述，时，恒成立.‎ ‎13．已知常数，函数．‎ ‎（1）讨论函数在区间上的单调性；‎ ‎（2）若存在两个极值点，且，求的取值范围． ‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎ 14．已知函数.‎ ‎（1）当时,求的单调递增区间；‎ ‎（2）证明：当时，有两个零点；‎ ‎（3）若，函数在处取得最小值，证明：.‎ ‎【答案】（1）（2）见证明；（3）见证明；‎ 因为，所以.‎ ‎15．已知函数 ‎（1）当时，求的单调区间；‎ ‎（2）当时，的图象恒在的图象上方，求a的取值范围.‎ ‎【答案】(Ⅰ)详见解析(Ⅱ)‎ ‎16．已知函数.‎ ‎(1)若，求的最小值； ‎ ‎(2)若,求的单调区间；‎ ‎(3)试比较与的大小,并证明你的结论.‎ ‎【答案】(1)0；(2)见解析；(3)见证明.‎ ‎【解析】‎ ‎(1) 当时,， 在上是递增.‎ 当时, ,.在上是递减.‎ 故时, 的增区间为,减区间为,.‎ ‎(2) ①若,‎ 当时, , ,则在区间上是递增的;‎ 故：+ .‎ ‎17．已知函数，且在处的切线的斜率为．‎ ‎（Ⅰ）求的表达式，并求出函数的最大值；‎ ‎（Ⅱ）设，试问函数与函数的图象有几个交点？‎ ‎【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）当时，函数与函数的图象没有交点；当时，函数与函数的图象有一个交点；当时，函数与函数的图象有两个交点．‎ ‎18．已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数在处的切线方程；‎ ‎（2）当时，求证：.‎ ‎【答案】（1）（2）见解析 ‎19．已知函数（e是自然对数的底数）．‎ ‎（1）求证：；‎ ‎（2）若不等式在]上恒成立，求正数a的取值范围．‎ ‎【答案】（1）将解析； （2）.‎ ‎20．已知函数．‎ ‎(1)若，证明：当；‎ ‎(2)设，若函数上有2个不同的零点，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）‎ 由（1）知，当时，，‎