人教A版理科数学课时试题及解析（66）合情推理与演绎推理
课时作业(六十六) [第66讲 合情推理与演绎推理]
[时间：45分钟 分值：100分]
1． 在等差数列{an}中，若an>0，公差d>0，则有a4·a6>a3·a7，类比上述性质，在等比数列{bn}中，若bn>0，公比q>1，则b4，b5，b7，b8的一个不等关系是( )
A．b4＋b8>b5＋b7
B．b4＋b8
b5＋b8
D．b4＋b70，n∈N*)，bm＝a，bn＝b(m≠n，m、n∈N*)，若类比上述结论，则可得到bm＋n＝( )
A. B.
C. D.
4．有下列推理：
①A，B为定点，动点P满足|PA|＋|PB|＝2a>|AB|，则P的轨迹为椭圆；
②由a1＝1，an＝3n－1，求出S1，S2，S3，猜想出数列的前n项和Sn的表达式；
③由圆x2＋y2＝r2的面积S＝πr2，猜想出椭圆＋＝1的面积S＝πab；
④科学家利用鱼的沉浮原理制造潜艇．
以上推理不是归纳推理的序号是________．
(把所有你认为正确的序号都填上)
5．设f0(x)＝sinx，f1(x)＝f0′(x)，f2(x)＝f1′(x)，…，fn(x)＝fn－1′(x)，n∈N，则f2 013(x)＝( )
A．sinx B．－sinx
C．cosx D．－cosx
6．下面几种推理过程是演绎推理的是( )
A．两条直线平行，同旁内角互补，由此若∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，则∠A＋∠B＝180°
B．某校高三(1)班有55人，高三(2)班有54人，高三(3)班有52人，由此得出高三所有班人数超过50人
C．由平面正三角形的性质，推测空间四面体的性质
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，由此归纳出{an}的通项公式
7．我们把平面内与直线垂直的非零向量称为直线的法向量，在平面直角坐标系中，
利用求动点轨迹方程的方法，可以求出过点A(－3,4)，且法向量为n＝(1，－2)的直线(点法式)方程为：1×(x＋3)＋(－2)×(y－4)＝0，化简得x－2y＋11＝0.类比以上方法，在空间直角坐标系中，经过点A(1,2,3)且法向量为n＝(－1，－2,1)的平面的方程为( )
A．x＋2y－z－2＝0 B．x－2y－z－2＝0
C．x＋2y＋z－2＝0 D．x＋2y＋z＋2＝0
8．“因为指数函数y＝ax是增函数(大前提)，而y＝x是指数函数(小前提)，所以y＝x是增函数(结论)”，上面推理的错误是( )
A．大前提错导致结论错
B．小前提错导致结论错
C．推理形式错导致结论错
D．大前提和小前提错都导致结论错
9．把正整数按一定的规则排成了如下所示的三角形数表．设aij(i，j∈N*)是位于这个三角形数表中从上往下数第i行、从左往右数第j个数，如a42＝8.若aij＝2 009，则i与j的和为( )
A．105 B．106 C．107 D．108
10．对于命题：
若O是线段AB上一点，则有||·＋||·＝0.
将它类比到平面的情形是：
若O是△ABC内一点，则有S△OBC·＋S△OCA·＋S△OAB·＝0.
将它类比到空间的情形应该是：
若O是四面体ABCD内一点，则有________．
11．半径为r的圆的面积S(r)＝πr2，周长C(r)＝2πr，若将r看做(0，＋∞)上的变量，则(πr2)′＝2πr①，①式可以用语言叙述为：圆的面积函数的导数等于圆的周长函数．
对于半径为R的球，若将R看做(0，＋∞)上的变量，请你写出类似于①的式子：________________②，②式可以用语言叙述为：________________.
12． 在计算“＋＋…＋(n∈N*)”时，某同学学到了如下一种方法：
先改写第k项：＝－，
由此得＝－，＝－，…，＝－，
相加，得＋＋…＋＝1－＝.
类比上述方法，请你计算“＋＋…＋(n∈N*)”，其结果为________．
13．如图K66－1，将一个边长为1的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图(2)，如此继续下去，得图(3)……
图K66－1
试用n表示出第n个图形的边数an＝________.
14．(10分)蜜蜂被认为是自然界中最杰出的建筑师，单个蜂巢可以近似地看作是一个正六边形，如图K66－2为一组蜂巢的截面图．其中第一个图有1个蜂巢，第二个图有7个蜂巢，第三个图有19个蜂巢，按此规律，以f(n)表示第n个图的蜂巢总数．
(1)试给出f(4)，f(5)的值，并求f(n)的表达式(不要求证明)；
(2)证明：＋＋＋…＋<.
图K66－2
15．(13分) 某少数民族的刺绣有着悠久的历史，如图K66－3为她们刺绣最简单的四个图案，这些图案都是由小正方形构成，小正方形数越多刺绣越漂亮．现按同样的规律刺绣(小正方形的摆放规律相同)，设第n个图形包含f(n)个小正方形．
(1)求出f(5)的值；
(2)利用合情推理的“归纳推理思想”，归纳出f(n＋1)与f(n)之间的关系式，并根据你得到的关系式求出f(n)的表达式；
(3)求＋＋＋…＋的值．
图K66－3
16．(12分)规定C＝，其中x∈R，m是正整数，且C＝1，这是组合数C(m，n是正整数，且m≤n的一种推广)．
(1)求C的值；
(2)组合数的两个性质：①C＝C.②C＋C＝C.是否都能推广到C(x∈R，m是正整然)的情形？若能推广，请写出推广的形式，并给出证明；若不能，则说明理由．
(3)已知组合数C是正整数，证明：当x∈Z，m是正整数时，C∈Z.
课时作业(六十六)
【基础热身】
1．A [解析] 在等差数列{an}中，由于4＋6＝3＋7时有a4·a6>a3·a7，所以在等比数列{bn}中，由于4＋8＝5＋7，所以应有b4＋b8>b5＋b7或b4＋b81，bn>0，∴b4＋b8>b5＋b7.故选A.
2．D [解析] 显然每5秒前进一个单位，且P(1)＝1，P(2)＝2，P(3)＝3，P(4)＝2，P(5)＝1，
∴P(2 007)＝P(5×401＋2)＝401＋2＝403，
P(2 008)＝404，P(2 009)＝403，P(2 010)＝402，故选D.
3．B [解析] 等差数列中的bn和am可以类比等比数列中的bn和am，等差数列中的bn－am可以类比等比数列中的，等差数列中的可以类比等比数列中的.故bm＋n＝.
4．①③④ [解析] ①为演绎推理，②为归纳推理，③④为类比推理．
【能力提升】
5．C [解析] f1(x)＝(sinx)′＝cosx，
f2(x)＝(cosx)′＝－sinx，
f3(x)＝(－sinx)′＝－cosx，
f4(x)＝(－cosx)′＝sinx，
f5(x)＝(sinx)′＝cosx＝f1(x)，
f6(x)＝(cosx)′＝－sinx＝f2(x)，
fn＋4(x)＝…＝…＝fn(x)，
故可猜测fn(x)以4为周期，有
f4n＋1(x)＝f1(x)＝cosx，f4n＋2(x)＝f2(x)＝－sinx，
f4n＋3(x)＝f3(x)＝－cosx，f4n＋4(x)＝f4(x)＝sinx，
所以f2 013(x)＝f503×4＋1(x)＝f1(x)＝cosx，故选C.
6．A [解析] 两条直线平行，同旁内角互补——大前提，
∠A，∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角——小前提，
∠A＋∠B＝180°——结论．
故A是演绎推理，而B、D是归纳推理，C是类比推理．故选A.
7．A [解析] 类比直线方程求法得平面方程为(－1)×(x－1)＋(－2)×(y－2)＋1×(z－3)＝0即x＋2y－z－2＝0.
8．A [解析] y＝ax是增函数这个大前提是错误的，从而导致结论错．
9．C [解析] 由三角形数表可以看出其奇数行为奇数列，偶数行为偶数列，2 009＝2×1005－1，所以2 009为第1 005个奇数，又前31个奇数行内数的个数的和为961，前32个奇数行内数的个数的和为1 024，故2 009在第32个奇数行内，所以i＝63，因为第63行的第一个数为2×962－1＝1 923,2 009＝1923＋2(m－1)，所以m＝44，即j＝44，所以i＋j＝107.
10．VO－BCD·＋VO－ACD·＋VO－ABD·＋VO－ABC·＝0 [解析] 平面上的线段长度类比到平面上就是图形的面积，类比到空间就是几何体的体积．
11.′＝4πR2 球的体积函数的导数等于球的表面积函数
12. [解析] ∵＝，依次裂项，求和得
.
13．3×4n－1 [解析] a1＝3，a2＝12，a3＝48，可知an＝3×4n－1.
14．[解答] (1)f(4)＝37，f(5)＝61.
由于f(2)－f(1)＝7－1＝6，f(3)－f(2)＝19－7＝2×6，f(4)－f(3)＝37－19＝3×6，f(5)－f(4)＝61－37＝4×6，…
因此，当n≥2时，有f(n)－f(n－1)＝6(n－1)，
所以f(n)＝[f(n)－f(n－1)]＋[f(n－1)－f(n－2)]＋…＋[f(2)－f(1)]＋f(1)
＝6[(n－1)＋(n－2)＋…＋2＋1]＋1＝3n2－3n＋1.
又f(1)＝1＝3×12－3×1＋1，所以f(n)＝3n2－3n＋1.
(2)证明：当k≥2时，＝<＝.
所以＋＋＋…＋<1＋
＝1＋<1＋＝.
15．[解答] (1)f(5)＝41.
(2)由题图可得f(2)－f(1)＝4＝4×1，
f(3)－f(2)＝8＝4×2，
f(4)－f(3)＝12＝4×3，
f(5)－f(4)＝16＝4×4.
由上式规律，可得f(n＋1)－f(n)＝4n.
因为f(n＋1)－f(n)＝4n，所以f(n＋1)＝f(n)＋4n，
所以f(n)＝f(n－1)＋4(n－1)
＝f(n－2)＋4(n－1)＋4(n－2)
＝f(n－3)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)
…
＝f(1)＋4(n－1)＋4(n－2)＋4(n－3)＋…＋4
＝2n2－2n＋1.
(3)当n≥2时，
＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＋＋＋…＋
＝＋×
＝1＋×
＝1＋＝－.
【难点突破】
16．[解答] (1)根据新规定直接进行演算即可C＝＝－11 628.
(2)性质①不能推广．反例：当x＝，m＝1时，C有意义，但C无意义．性质②能推广，且推广形式不变：C＋C＝C(x∈R，m是正整数)．
证明如下：C＋C＝＋
＝·(x＋1)＝
·(x＋1)[(x＋1)－1][(x＋1)－2]…[(x＋1)－m＋1]＝C.
(3)需要就x与m的大小做出逻辑划分并进行严密的论证．
当x≥m时，x，m都是正整数，C就是组合数，结论显然成立；
当0≤x0，∴C是正整数，
故C＝(－1)mC∈Z.
综上所述，当x∈Z，m是正整数时，C∈Z.
