2018年黑龙江省大庆市高考一模数学理

2018年黑龙江省大庆市高考一模数学理

2018 年黑龙江省大庆市高考一模数学理 一、选择题：本大题共 12 个小题，每小题 5 分，共 60 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}，则 A∩B 的值为( ) A.{-1，0，1，2} B.{-2，-1，0，1，2} C.{0，1，2} D.{1，2} 解析：分别求出集合 A，B，由此能求出 A∩B. ∵集合 A={-1，0，1，2，3}，B={x||x|≤2}={x|-2≤x≤2}， ∴A∩B={-1，0，1，2}. 答案：A 2.若复数 2 1   iz i ，则 z 在复平面内所对应的点位于的( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 解析：利用复数代数形式的乘除运算化简求得 z 所对应点的坐标得答案. ∵         13 2 212 1 3 1 1 1 2 2         iiiizi i i i ， ∴复数 z 在复平面内所对应的点的坐标为( 1 2 ， 3 2  )，位于第四象限. 答案：D 3.若 x，y 满足 1 1 1      y xy yx ，则 2x+y 的最大值为( ) A.2 B.5 C.6 D.7 解析：作出不等式组对应的平面区域，利用目标函数的几何意义，求最大值. 作出 x，y 满足 1 1 1      y xy yx 对应的平面区域如图：(阴影部分). 由 z=2x+y 得 y=-2x+z， 平移直线 y=-2x+z， 由图象可知当直线 y=-2x+z 经过点 A 时，直线 y=-2x+z 的截距最大， 此时 z 最大. 由 1 1    y yx ，解得 A(2，1)， 代入目标函数 z=2x+y 得 z=2×2+1=5. 即目标函数 z=2x+y 的最大值为 5. 答案：B 4.如图，网格纸上小正方形的边长为 1，粗线画出的是某几何体的三视图，则此几何体的体 积为( ) A.2 B.4 C.8 D.12 解析：由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥 S-ABCD，其中，四边形 ABCD 是边长为 2 的 正方形，PC⊥平面 ABCD，PC=3，由此能求出几何体的体积. 由几何体的三视图得到该几何体是四棱锥 S-ABCD， 其中，四边形 ABCD 是边长为 2 的正方形， PC⊥平面 ABCD，PC=3， ∴几何体的体积： 2 2 3 411 33        正 方 形 ABCDV S PC . 答案：B 5.执行如图所示的程序语句，则输出的 S 的值为( ) A. 2 2 B.1 C. 2 2 +1 D. 2 +1 解 析 ： 模 拟 程 序 框 图 的 运 行 过 程 ， 得 出 该 程 序 运 行 后 输 出 的 是 2 3 50sin sin sin sin 4 4 4 4         S 的值， 2 3 50sin sin sin sin 4 4 4 4 2 3 8 49 50sin sin sin sin sin sin 4 4 4 4 4 4 49 50sin sin 44 sin sin 4 2 1 2 2                                 S 答案：C 6.已知命题 p：直线 l1：ax+y+1=0 与 l2：x+ay+1=0 平行；命题 q：直线 l：x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 相交所得的弦长为 2 ，则命题 p 是 q( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既充分也不必要条件 解析：根据直线平行的等价条件以及直线和圆相交的弦长公式分别进行计算，结合充分条件 和必要条件的定义进行判断即可. 当 a=0 时，两直线方程分别为 y+1=0，x+1=0，两直线不平行， 当 a≠0 时，若两直线平行，则满足 1 1 1 1 a a ， 由 1 1 a a 得 a2=1，得 a=±1，由 11 1a ，得 a≠1，即 a=-1， 即 p：a=-1， 圆心到直线的距离 2  a d ，半径 r=1， ∵直线 l：x+y+a=0 与圆 x2+y2=1 相交所得的弦长为 2 ， ∴r2=d2+( 2 2 )2， 即 2 1 1 22 a ，得 a2=1，得 a=±1， 则命题 p 是 q 充分不必要条件. 答案：A 7. 数列{an} 为 正 项 递 增 等 比 数 列 ， 满 足 a2+a4=10 ， a3 2=16 ，则 22 10212log log log   a a a 等于( ) A.-45 B.45 C.-90 D.90 解析：运用等比数列的通项公式和性质，求出 q.再结合对数运算公式，求出结果即可. ∵{an}为正项递增等比数列，∴an＞an-1＞0，公比 q＞1. a2+a4=10①，且 a3 2=16=a3·a3=a2·a4②， 由①②解得 a2=2，a4=8.又因为 a4=a2·q2，得 q=2 或 q=-2(舍).则得 a5=16，a6=32， 51 2 10 1 2 1 62 2 2 2 0 2log log log log 5 log      a a a a a a a a 9 2 2 2 25 log 5 log 516 32 2 9 2 2 2log 45 log 90       . 答案：D 8.若 1 ur e ， 2 ur e 是夹角为 60°的两个单位向量，则向量 12 r ur ur a e e ， 122   r ur ur b e e 的夹角为( ) A.30° B.60° C.90° D.120° 解析：根据题意，设 r a 、 r b 的夹角为θ ， 又由 ， 是夹角为 60°的两个单位向量，且 ， ， 则     22 1 2 1 2 1 2 1 222 3 2          r r ur ur ur ur ur ur ur ur gga b e e e e e e e e ， 又由 ，则 11 31    r a ， 由 ，则 14 32    r b ， 则有 1os 2 c   rr g r g r ab ab ， 则θ =60°. 答案：B 9.已知双曲线 22 221xy ab (a＞0，b＞0)的一条渐近线过点(1， 3 )，且双曲线的一个焦点 在抛物线 y2=16x 的准线上，则双曲线的方程为( ) A. 22 1 4 12 xy B. 22 1 12 4 xy C. 22 1 4 20 xy D. 22 1 20 4 xy 解析：双曲线 22 221xy ab (a＞0，b＞0)的渐近线方程为 y=± b a x， 由一条渐近线过点(1， 3 )，可得 3b a ， 双曲线的一个焦点(-c，0)在抛物线 y2=16x 的准线 x=-4 上， 可得 c=4， 即有 a2+b2=16， 解得 a=2，b=2 ， 则双曲线的方程为 . 答案：A 10.已知 f(x)是定义在 R 上的奇函数，当 x∈[0，+∞)时，f′(x)＜0.若 1 2 ln    af ， 2 11ln      bf ee ，c=f(e0.1)，则 a，b，c 的大小关系为( ) A.b＜a＜c B.b＜c＜a C.c＜a＜b D.a＜c＜b 解析：根据条件先判断函数的单调性，结合对数的运算性质进行化简即可. ∵当 x∈[0，+∞)时，f′(x)＜0， ∴当 x∈[0，+∞)时，函数 f(x)单调递减， ∵f(x)是定义在 R 上的奇函数，∴函数在(-∞，+∞)上单调递减，    1 22 2 ln ln ln       a f f f ， 2 1 1 1ln ln 1     ＞ e e e ，又 2 11ln 0 ＜ ee ， 则 2 111 ln 0    ＜ ＜ ee ，e0.1＞1，0＜ln2＜1， 则 0.1 2 111 ln ln 2  ＜ ＜ ＜ e ee ， 则    0.1 2 11 2ln ln    ＞ ＞f f f e ee ， 即 c＜a＜b. 答案：C 11.函数 f(x)=2sin(ω x+φ )(ω ＞0)的图象过点( 9  ，2)，相邻两个对称中心的距离是 3  ， 则下列说法不正确的是( ) A.f(x)的最小正周期为 2 3  B.f(x)的一条对称轴为 x= 4 9  C.f(x)的图象向左平移 个单位所得图象关于 y 轴对称 D.f(x)在[ 9  ， ]上是减函数 解析：求出函数 f(x)的解析式，再判断选项中的命题是否正确即可. 函数 f(x)=2sin(ω x+φ )图象相邻两个对称中心的距离是 ， ∴ 23 T ，∴ 22 3   T ，解得ω =3； 又 f(x)的图象过点( ，2)， ∴2sin( ω +φ )=2， ∴ 2 92      k ，k∈Z； 解得φ = 6  +2kπ ，k∈Z； 令 k=0，得φ = 6  ， ∴f(x)=2sin(3x+ 6  )； ∴f(x)的最小正周期为 T= 2 3  ，A 正确； 442 sin 3 2 9 9 6                 f 为最小值， ∴f(x)的一条对称轴为 x= 4 9  ，B 正确； f(x)的图象向左平移 9  个单位， 得函数 2 sin 3 2 sin 3 2 cos 3 9 6 2                    y x x x ， 其图象关于 y 轴对称，C 正确； x∈[ 9  ， ]时，3x∈[ 3  ， 3  ]， ∴3x+ 6  ∈[ 6  ， 2  ]时， ∴f(x)=2sin(3x+ )在[ ， ]上是增函数，D 错误. 答案：D 12.已知函数   2 1 2 1 1 4 1 5           ， ，＜ xx fx xx x ，若关于 x 的方程 f(x)-ax=0 有两个解，则实数 a 的取值范围是( ) A.(0， 6 25 ]∪[ 5 2  ，-2) B.(0， )∪[ ，-2] C.(-∞， )∪[ ，+∞)∪{0，-2} D.(-∞， )∪[ ，+∞) 解析：分别作出函数 y=f(x)和 y=ax 的图象，利用方程有两个解，利用数形结合即可得到结 论. 设函数 y=f(x)和 y=ax， 作出函数 f(x)的图象如图： 要使方程 f(x)-ax=0 有 2 两个解， 即函数 y=f(x)和 y=ax 有 2 个不同的交点， ∵f(-2)=5，f(5)=|5+ 1 5 -4|= 6 5 ， 当 y=ax 经过点(5， 6 5 )时，此时 a= 6 25 ， 当过点(-2，5)时，此时 a= 5 2  ， 当直线 y=ax 与 y=x2+1 相切时， ∵y′=2x，设切点为(x0，y0)，-2≤x0≤0， ∴ 2 0 0 0 1 2 x x x ， 解得 x0=-1， 当 x0=-1，此时 a=-2， 结合图象，综上所述 a 的取值范围为[ ，-2)∪(0， ]. 答案：A 二、填空题(本题有 4 标题，每小题 5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上) 13.  3 0 21  x dx . 解析：根据定积分的运算，即可求得答案.     323 0 0 3621 9     x xx xd . 答案：6 14.一个圆柱的轴截面是正方形，在圆柱内有一个球 O，该球与圆柱的上、下底面及母线均 相切.记球 O 的体积为 V1，圆柱内除了球之外的几何体体积记为 V2，则 1 2 V V 的值为 . 解析：设圆柱的底面半径为 r， 则圆柱的高为 2r，球 O 的半径为 r， ∴球 O 的体积 V1= 4 3 π r3， 圆柱内除了球之外的几何体体积： V2=π r2×2r- π r3= 2 3 π r3， ∴ 3 1 32 4 3 3 22    rV V r . 答案：2 15.若 f(x)=exlna+e-xlnb 为奇函数，则 12 ab 的最小值为 . 解析：由奇函数的性质可得 f(0)=0，即有对数的运算性质可得 ab=1，再由基本不等式，即 可得到所求最小值. f(x)=exlna+e-xlnb 为奇函数， 可得 f(0)=0， 即有 e0lna+e0lnb=0， 即有 ln(ab)=0， 可得 ab=1，(a＞0，b＞0)， 则 22212 2 a abb ， 当且仅当 b=2a= 2 时，等号成立， 则 的最小值为 2 . 答案：2 16.已知抛物线 C：y2=4x，过其焦点 F 作一条斜率大于 0 的直线 l，l 与抛物线交于 M，N 两 点，且|MF|=3|NF|，则直线 l 的斜率为 . 解析：方法一：由抛物线的定义：|NF|=|DH|=x，|MF|=|CM|=3x，根据相似三角形的性质， 即可求得直线 MN 的倾斜角为 60°，即可求得直线 l 的斜率. 抛物线 C：y2=4x，焦点 F(1，0)，准线为 x=-1， 分别过 M 和 N 作准线的垂线，垂足分别为 C 和 D， 过 NH⊥CM，垂足为 H， 设|NF|=x，则|MF|=3x， 由抛物线的定义可知：|NF|=|DN|=x，|MF|=|CM|=3x， ∴|HM|=2x，由|MN|=4x， ∴∠HMF=60°，则直线 MN 的倾斜角为 60°， 则直线 l 的斜率 k=tan60°= 3 . 方法二：设直线 MN 的方程 y=k(x-1)，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算， 即可求得 k 的值. 抛物线 C：y2=4x，焦点 F(1，0)， 准线为 x=-1， 设直线 MN 的斜率为 k，则直线 MN 的方程 y=k(x-1)， 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，   2 4 1     yx y k x ， 整理得：k2x2-2(k2+2)x+k2=0，则  2 12 2 22  k xx k ，x1x2=1， 由|MF|=3|NF|， 3 uuu ur uur M FNF ，即(1-x1，-y1)=3(x2-1，y2)， x1+3x2=4，整理得：3x2-4x2+1=0，解得：x2= 1 3 ，或 x2=1(舍去)， 则 x1=3，解得：k=± 3 ， 由 k＞0，则 k= 3 . 方法三：设直线 MN 的方程 x=mx+1，代入抛物线方程，利用韦达定理及向量的坐标运算即可 求得 m 的值，则直线 l 的斜率为 1 m . 抛物线 C：y2=4x，焦点 F(1，0)，准线为 x=-1， 设直线 MN 的方程 x=mx+1，设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， 2 1 4    x m y yx ，整理得：y2-4my-4=0，则 y1+y2=4m，y1y2=-4， 由|MF|=3|NF|， 3 uuu ur uur M FNF ，即(1-x1，-y1)=3(x2-1，y2)， -y1=3y2，即 y1=-3y2，解得：y2= 23 3  ，y1=2 3 ， ∴4m= 43 3 ，则 m= 3 3 ， ∴直线 l 的斜率为 3 . 答案： 3 三、解答题(本大题共 6 小题，共 70 分，第 17~21 题为必考题，每小题 12 分，第 22、23 题为选考题，有 10 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17.设函数 y=f(x)的图象由 y=2sin2x+1 的图象向左平移 12  个单位得到. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 解析：(1)通过函数的图象的变换，求出函数的解析式，然后求解函数的周期以及函数的单 调区间. 答案：(1)y=2sin2x+1 的图象向左平移 个单位得到 y=2sin(2x+ 6  )+1 的图象， 即 f(x)=2sin(2x+ 6  )+1. 函数最小正周期 T=π . 令 2 2 2 2 6 2        k x k (k∈Z)， 则 2 2 2 2 33     k x k (k∈Z)， 解得 36     k x k (k∈Z)， 所以 y=f(x)的单调增区间是[ 3  k ， 6   k ](k∈Z). (2)在△ABC 中，a，b，c 分别是角 A，B，C 的对边，且 f(A)=2，b=1，S△ABC= 3 ，求 a 的值. 解析：(2)利用已知条件求出 A，然后利用图象定理，以及三角形的面积求解 a 即可. 答案：(2)由题意得：f(A)=2sin(2A+ 6  )+1=2，则有 sin(2A+ 6  )= 1 2 . 因为 0＜A＜π ，所以 52 66 A ，A= 3  . 由 1 sin 3 2 V ABC bc AS 及 b=1 得，c=4. 根据余弦定理，a2=b2+c2-2bccosA=1+16-2×1×4× 1 2 =13， 所以 a= 13 . 18.已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)在曲线 2 51 2 2 y x x 上，数列{bn}满足 bn+bn+2=2bn+1，b4=11，{bn}的前 5 项和为 45. (1)求{an}，{bn}的通项公式. 解析：(1)利用已知条件求出{an}的通项公式，判断数列是等差数列求解{bn}的通项公式. 答案：(1)由已知得： 21 2 5 2 nS n n ， 当 n=1 时， 11 1 5 2 3 2    aS ， 当 n≥2 时，    22 1 511 2 51 1 2 222         n n na S S n n n n n ， 当 n=1 时，符合上式. 所以 an=n+2. 因为数列{bn}满足 bn+bn+2=2bn+1，所以{bn}为等差数列.设其公差为 d. 则   41 31 3 11 5 5 2 45        b b d b b d ，解得 1 5 2    b d ， 所以 bn=2n+3. (2)设     1 2 3 2 8  n nn c ab ，数列{cn}的前 n 项和为 Tn，求使不等式 Tn＞ 54 k 恒成立的最 大正整数 k 的值. 解析：(2)化简数列的通项公式，利用裂项相消法求解数列的和即可. 答案：(2)由(1)得，             1 1 1 1 1 2 3 2 8 2 1 4 2 2 2 1 41 2 1 2 1 2 1               n nn c a b n n n n n n ， 1 1 1 111 5 2 1 2 1 2 1 1 1 1 4 3 3 4 1                  nT n n n ， 因为    1 1 1 1 0 2 1 2 3 2 2 1 24 3 1         ＞nnTT n n n n ， 所以{Tn}是递增数列. 所以 Tn≥T1= 1 6 ， 故 Tn＞ 54 k 恒成立只要 1 1 6 54  ＞T k 恒成立. 所以 k＜9，最大正整数 k 的值为 8. 19.已知四棱锥 P-ABCD 的底面 ABCD 为正方形，PA⊥底面 ABCD 且 PA=AB=2.E 为 PA 的中点. (1)求证：PC∥面 BDE. 解析：(1)连接 CA 交 BD 于 O，连接 OE，证明 OE∥PC，即可推出 PC∥面 BDE. 答案：(1)连接 CA 交 BD 于 O，连接 OE， 因为 ABCD 为正方形且 AC，BD 为对角线， 所以 O 为 CA 的中点， 又 E 为 PA 的中点， 故 OE 为△PAC 的中位线， 所以 OE∥PC， 而 OE  面 BDE，PC  面 BDE， 故 PC∥面 BDE. (2)求直线 DE 与平面 PBC 所成角的余弦值. 解析：(2)以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz. 求出平面 PBC 的法向量 r n =(x，y，z)，设直线 DE 与平面 PBC 所成角为θ ，利用向量的数量 积求解即可. 答案：(2)以 A 为原点，AB，AD，AP 所在直线分别为 x，y，z 轴建立空间直角坐标系 A-xyz. 则 B(2，0，0)，D(0，2，0)，C(2，2，0)，E(0，0，1)，P(0，0，2)， 所以 uuur DE =(0，-2，1)， uur BP =(-2，0，2)， uuur BC =(0，2，0)， 设平面 PBC 的法向量 =(x，y，z)，则 0 0     g g r uur r uuur n BP n BC ，即 0 0    xz y ， 令 z=1，则法向量 r n =(1，0，1)， 设直线 DE 与平面 PBC 所成角为θ ， 则 10sin cos 10     g r uuur r uuur r uuur g ， n D E n D E n D E ， 故直线 DE 与平面 PBC 所成角的余弦值 3 10 10 . 20.已知椭圆 C： 22 221xy ab (a＞b＞0)，其焦距为 2，离心率为 2 2 . (1)求椭圆 C 的方程. 解析：(1)由 2c=2，可得 c=1，由 2 2 c a ，可得 a= 2 ，从而 b2=a2-c2=1，即可求出椭圆方 程. 答案：(1)因为椭圆焦距为 2，即 2c=2，所以 c=1， ，所以 a= ， 从而 b2=a2-c2=1， 所以，椭圆的方程为 2 2 1 2 x y . (2)设椭圆的右焦点为 F，K 为 x 轴上一点，满足 2 uuu ur uur O OFK ，过点 K 作斜率不为 0 的直线 l 交椭圆于 P，Q 两点，求△FPQ 面积 S 的最大值. 解析：(2)设直线 MN 的方程为 y=k(x-2)(k≠0).代入椭圆方程得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0.设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，由判别式△＞0 解得 k 范围.利用弦长公式、三角形面积计算公式、 二次函数的单调性即可得出. 答案：(2)椭圆右焦点 F(1，0)，由 2 uuu ur uur O OFK 可知 K(2，0)， 直线 l 过点 K(2，0)，设直线 l 的方程为 y=k(x-2)，k≠0， 将直线方程与椭圆方程联立得(1+2k2)x2-8k2x+8k2-2=0. 设 P(x1，y1)，Q(x2，y2)，则 2 12 2 8 12   kxx k ， 2 12 2 82 12   kxx k ， 由判别式△=(-8k2)2-4(2k2+1)(8k2-2)＞0 解得 k2＜ 1 2 . 点 F(1，0)到直线 l 的距离为 h，则 22 2 11    k k k h kk ，   42 22 12 2 2222 64 8 2111 1 1 2 4 222 1112 1          g g g g kkkkS PQ h k x x k kkkk     222 22 2 122 1 2 2 21 2 12 2 1    ggg kkkk k k ， 令 t=1+2k2，则 1＜t＜2， 则 22 2 3 2 1 1 2 322 4 16         g ttS tt ， 当1 3 4  t 时，S 取得最大值. 此时 k2= 1 6 ，k=± 6 6 ， S 取得最大值 2 4 . 21.已知函数 f(x)=1-ax+lnx (1)若不等式 f(x)≤0 恒成立，则实数 a 的取值范围. 解析：(1)分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围. 答案：(1)由题意知，1-ax+lnx≤0 恒成立.变形得： ln 1 xa x . 设   ln 1 xhx x ，则 a≥h(x)max. 由   2 ln   xhx x 可知，h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，+∞)上单调递减， h(x)在 x=1 处取得最大值，且 h(x)max=h(1)=1. 所以 a≥h(x)max=1， 实数 a 的取值范围是[1，+∞). (2)在(1)中，a 取最小值时，设函数 g(x)=x(1-f(x))-k(x+2)+2.若函数 g(x)在区间[ 1 2 ，8] 上恰有两个零点，求实数 k 的取值范围. 解析：(2)问题转化为即关于 x 的方程 x2-xlnx-k(x+2)+2=0 在区间[ ，8]上恰有两个实数 根，再分离参数，构造函数，利用导数求出函数的最值即可求出参数的取值范围. 答案：(2)由(1)可知，a≥1，当 a=1 时，f(x)=1-x+lnx， g(x)=x(x-lnx)-k(x+2)+2=x2-xlnx-k(x+2)+2， g(x)在区间[ ，8]上恰有两个零点， 即关于 x 的方程 x2-xlnx-k(x+2)+2=0 在区间[ ，8]上恰有两个实数根. 整理方程得， 2 ln 2 2   x x xk x ， 令   2 ln 2 2   x x xsx x ，x∈[ ，8]，     2 2 3 2 ln 4 2     x x xsx x . 令φ (x)=x2+3x-2lnx-4，x∈[ ，8]， 则      2 1 2    xx x x ，x∈[ ，8]， 于是φ ′(x)≥0，φ (x)在[ ，8]上单调递增. 因为φ (1)=0，当 x∈[ ，1)时，φ (x)＜0，从而 s′(x)＜0，s(x)单调递减， 当 x∈(1，8]时，φ (x)＞0，从而 s′(x)＞0，s(x)单调递增，    9 ln 2 33 12 ln 21 1 8 10 52 5 1       ， ，s s s ， 因为   57 26 ln 280 1 1 02   ＞ss ， 所以实数 k 的取值范围是(1， 9 ln 2 10 5  ]. (3)证明不等式：2ln(2×3×4×…×n)＞ 2 21nn n (n∈N*且 n≥2). 解析：(3)由(1)可得 x-1≥lnx，当且仅当 x=1 时取等号，令 x= 2 1 k ，则有 22 111 ln kk ， 其中 k∈N*，k≥2，利用放缩裂项，累加求和即可证明. 答案：(3)证明：由(1)可知，当 a=1 时，有 x-1≥lnx， 当且仅当 x=1 时取等号. 令 x= ，则有 ，其中 k∈N*，k≥2. 整理得：  2 1 1 1 1 12 ln 1 1 1 1 11         gg ＞k k k k k k k k ， 当 k=2，3，…，n 时， 12 ln 2 1 21 1 2   ＞ ， 12 ln 3 1 31 1 3   ＞ ，…， 112 ln 1 1   ＞n nn ， 上面 n-1 个式子累加得：2ln(2×3×…×n)＞n-1-1+ 1 n .n∈N*且 n≥2， 即 2ln(2×3×…×n)＞ 2 21nn n .命题得证. 请考生在 22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分. [选修 4-4：坐标系与参数方程] 22.在平面直角坐标系 xOy 中，以原点 O 为极点，x 轴正半轴为极轴，取相同的单位长度建 立极坐标系，已知曲线 C1：x2+y2=1，直线 l：ρ (cosθ -sinθ )=4. (1)将曲线 C1 上所有点的横坐标、纵坐标分别伸长为原来的 2 倍、 3 倍后得到曲线 C2，请 写出直线 l，和曲线 C2 的直角坐标方程. 解析：(1)直接把参数方程和极坐标方程与直角坐标方程进行转化. 答案：(1)因为 l：ρ (cosθ -sinθ )=4，转化为直角坐标方程为：x-y=4； 设曲线 C2 上任一点坐标为(x′，y′)， 则 3 2   xx yy ， 所以 3 2       xx yy ， 代入 C1 方程得： 22 1 23           xy， 所以 C2 的方程为 22 1 43 xy . (2)若直线 l1 经过点 P(1，2)且 l1∥l，l1 与曲线 C2 交于点 M，N，求|PM|·|PN|的值. 解析：(2)利用直线哈曲线建立方程组，利用一元二次方程根和系数的关系求出结果. 答案：(2)直线 l：x-y=4 倾斜角为 4  ，由题意可知， 直线 l1 的参数方程为 2 2 1 2 2 2      xt yt (t 为参数)， 联立直线 l1 和曲线 C2 的方程得， 27 11 7 0 2 2  tt. 设方程的两根为 t1，t2， 则 t1t2=2. 由直线参数 t 的几何意义可知，|PM|·|PN|=|t1t2|=2. [选修 4-5：不等式选讲] 23.已知 a，b 是任意非零实数. (1)求 3 2 3 2  a b a b a 的最小值. 解析：(1)根据绝对值三角不等式得出结论. 答案：(1)因为|3a+2b|+|3a-2b|≥|3a+2b+3a-2b|=6|a|， 当且仅当(3a+2b)(3a-2b)≥0 时取等号， 的最小值为 6. (2)若不等式|3a+2b|+|3a-2b|≥|a|(|2+x|+|2-x|)恒成立，求实数 x 取值范围. 解析：(2)根据(1)的结论可得：|2+x|+|2-x|≤6，再讨论 x 的符号解出 x 的范围. 答案：(2)由题意得： 3 2 3 2 22        a b a b xx a 恒成立， 结合(1)得：|2+x|+|2-x|≤6. 当 x≤-2 时，-x-2+2-x≤6，解得-3≤x≤-2； 当-2＜x≤2 时，x+2+2-x≤6 成立，所以-2＜x≤2； 当 x＞2 时，x+2+x-2≤6，解得 2＜x≤3. 综上，实数 x 的取值范围是[-3，3].