【推荐】专题2-3+双曲线-试题君之K三关2017-2018学年高二数学人教版（选修2-1）x

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‎2.3 双 曲 线 ‎1．双曲线的定义 平面内与两个定点F1，F2的距离的差的绝对值等于________(小于|F1F2|且大于零)的点的轨迹叫做双曲线．‎ 这两个定点叫做双曲线的焦点，两个焦点间的距离叫做双曲线的焦距．‎ 双曲线的集合描述：设点M是双曲线上任意一点，点F1，F2是双曲线的焦点，则由双曲线的定义可知，双曲线就是集合P＝{M｜||MF1|－|MF2||＝2a，0＜2a＜|F1F2|}．‎ ‎2．双曲线的标准方程 双曲线的标准方程有两种形式：‎ ‎（1）焦点在x轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)，焦距为2c，且________，如图1所示；‎ ‎（2）焦点在y轴上的双曲线的标准方程为(a＞0，b＞0)，焦点分别为F1(0，－c)，F2(0，c)，焦距为2c，且________，如图2所示．‎ 图1 图2‎ 注：双曲线方程中a，b的大小关系是不确定的，但必有c＞a＞0，c＞b＞0．‎ ‎3．双曲线(a＞0，b＞0)的简单几何性质 ‎（1）范围：易知，故，即或．故双曲线在不等式与所表示的区域内．‎ ‎（2）对称性：双曲线关于________、________和________都对称．原点为双曲线的对称中心，也称为双曲线的中心．‎ ‎（3）顶点：双曲线与x轴有两个交点，这两个交点即为双曲线与它的对称轴的交点，叫做双曲线的顶点．两个顶点的连线段称为双曲线的实轴，长为2a．‎ 注：双曲线(a＞0，b＞0)与y轴没有交点，我们将两点(0，－b)，(0，b)间的连线段称为双曲线的虚轴，长为2b．‎ ‎（4）渐近线：当双曲线的各支向外延伸时，与两条直线逐渐接近，但永不相交，这两条直线称为双曲线的渐近线．‎ ‎（5）离心率：双曲线的焦距与实轴长的比称为双曲线的离心率．‎ 注：离心率e反映双曲线开口的程度，e越大，双曲线的开口越大；e越小，双曲线的开口越小．‎ ‎4．双曲线，(a＞0，b＞0)的几何性质比较 标准方程 (a＞0，b＞0)‎ (a＞0，b＞0)‎ 图形 范围 ， ， 对称性 对称轴：x轴、y轴；对称中心：原点 焦点 左焦点F1(－c，0)，右焦点F2(c，0)‎ 下焦点F1(0，－c)，上焦点F2(0，c)‎ 顶点 轴 线段A1A2是双曲线的实轴，线段B1B2是双曲线虚轴；实轴长|A1A2|＝2a，虚轴长|B1B2|＝2b 渐近线 离心率e ‎5．等轴双曲线 实轴和虚轴等长的双曲线叫做等轴双曲线．等轴双曲线具有以下性质：‎ ‎（1）方程形式为；‎ ‎（2）渐近线方程为，它们互相垂直，并且平分双曲线实轴和虚轴所成的角；‎ ‎（3）实轴长和虚轴长都等于，离心率________．‎ K知识参考答案：‎ ‎1．常数 2． 3．x轴 y轴 原点 4． 5． K—重点 双曲线的定义、标准方程及简单几何性质 K—难点 双曲线标准方程的应用（以双曲线的标准方程为载体，与其他知识综合）‎ K—易错 易忽略双曲线定义中的限制条件及隐含条件、表示双曲线的条件、对焦点所在位置的讨论、直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况 方程表示双曲线的条件 对于方程 表示焦点在x轴上的双曲线 ‎ 表示焦点在y轴上的双曲线 表示双曲线 对于方程，‎ ‎（1）若该方程表示焦点在x轴上的双曲线，则实数m的取值范围为______________；‎ ‎（2）若该方程表示焦点在y轴上的双曲线，则实数m的取值范围为______________；‎ ‎（3）若该方程表示双曲线，则实数m的取值范围为______________．‎ ‎【答案】（1）(－6，10)；（2）(－∞，－10)；（3）(－6，10)∪(－∞，－10)．‎ ‎【解析】（1）由题意可知，解得，故实数m的取值范围为(－6，10)．‎ ‎（2）由题意可知，解得，故实数m的取值范围为(－∞，－10)．‎ ‎（3）由题意可知，解得或，‎ 故实数m的取值范围为(－6，10)∪(－∞，－10)．‎ ‎【名师点睛】对于形如：Ax2＋By2＝1(AB＜0)的双曲线的方程，其包含焦点在x轴上和在y轴上两种情况，当B＜0时，表示焦点在x轴上的双曲线；当A＜0时，表示焦点在y轴上的双曲线．‎ 双曲线的定义及其标准方程的应用 求双曲线上一点到某一焦点的距离时，若已知该点的横、纵坐标，则根据两点间距离公式可求结果；若已知该点到另一焦点的距离，则根据求解，注意对所求结果进行必要的验证(负数应该舍去，且所求距离应该不小于)．‎ 如图，若F1，F2是双曲线的两个焦点．‎ ‎（1）若双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，求点M到另一个焦点的距离； ‎ ‎（2）若P是双曲线左支上的点，且|PF1||PF2|＝32，试求的面积．‎ ‎【答案】（1）10或22；（2）．‎ ‎【解析】双曲线的标准方程为，故，，．‎ ‎（1）由双曲线的定义得||MF1|－|MF2||＝2a＝6，‎ 又双曲线上一点M到它的一个焦点的距离等于16，‎ 假设点M到另一个焦点的距离等于x，‎ 则，解得或．‎ 由于，，，‎ 故点M到另一个焦点的距离为10或22．‎ ‎（2）将两边平方，得，‎ 所以，‎ 在中，由余弦定理得，‎ 所以，的面积．‎ ‎【名师点睛】在解决双曲线中与焦点三角形有关的问题时，首先要注意定义中的条件的应用；其次是利用正弦定理、余弦定理、勾股定理等知识进行运算，在运算中要注意整体思想和一些变形技巧的应用．‎ 由双曲线的标准方程研究简单几何性质 求双曲线的半实轴长、半虚轴长、焦点坐标、离心率、渐近线方程，并画出该双曲线的草图．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】将双曲线方程化成标准方程，可知半实轴长，半虚轴长，‎ 于是有，所以焦点坐标(，0)，离心率为，渐近线方程为，即．‎ 首先在坐标系中画出渐近线，顶点(，0)，然后算出双曲线在第一象限内一点的坐标，比如取，算出 ‎，可知点(0.94，±1)在双曲线上，将三点(0.94，－1)，(，0)，(0.94，1)依次连成光滑曲线并让它逐步接近渐近线，画出第一、四象限内双曲线的一支，最后由对称性可画出位于第二、三象限内的另一支，得双曲线的草图如下图所示．‎ ‎【名师点睛】已知双曲线的方程讨论其几何性质时，需先看所给方程是否为标准方程，若不是，需先把方程化为标准方程，然后由标准方程确定焦点所在的坐标轴，找准a和b，才能正确地写出焦点坐标、顶点坐标等．注意与椭圆的相关几何性质进行比较．‎ 求双曲线的标准方程 ‎（1）一般情况下，求双曲线的标准方程关键是确定a，b的值和焦点所在的坐标轴，若给出双曲线的顶点坐标或焦点坐标，则焦点所在的坐标轴易得．再结合及列关于a，b的方程(组)，解方程(组)可得双曲线的标准方程．‎ ‎（2）已知双曲线的渐近线方程，而不知焦点所在的坐标轴时，双曲线的方程有两个，为避免分类讨论，可设双曲线方程为．‎ 因此，与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程为；与双曲线(a＞0，b＞0)有共同渐近线的双曲线方程为．‎ 求满足下列条件的双曲线的标准方程：‎ ‎（1）焦点分别为，，且经过点；‎ ‎（2），且经过点；‎ ‎（3）经过点，；‎ ‎（4）焦点在x轴上，虚轴长为8，且离心率；‎ ‎（5）一条渐近线方程为，且与椭圆有相同的焦点；‎ ‎（6）经过点，且与双曲线有共同的渐近线．‎ ‎【答案】（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．‎ ‎【解析】（1）由题易知焦点在y轴上，且，，‎ 则，，所以所求双曲线的标准方程为．‎ ‎（2）当焦点在x轴上时，设双曲线方程为(b＞0)，‎ 又双曲线经过点，所以，则，不符合题意；‎ 当焦点在y轴上时，设双曲线方程为(b＞0)，‎ 又双曲线经过点，所以，解得，‎ 所以所求双曲线的标准方程为．‎ ‎（3）设所求双曲线的方程为Ax2＋By2＝1(AB＜0)，‎ 由题意得，解得，，所以所求双曲线的标准方程为 ．‎ ‎（4）由题意可设双曲线的方程为．由，及，可得，，‎ 所以所求双曲线的标准方程为．‎ ‎（5）方法1：椭圆方程可化为，焦点坐标为，故可设双曲线的方程为，‎ 其渐近线方程为，则，结合，解得，，‎ 所以所求双曲线的标准方程为．‎ 方法2：由于双曲线的一条渐近线方程为，则另一条渐近线方程为．‎ 故可设双曲线的方程为，即，因为双曲线与椭圆共焦点，‎ 所以，解得，所以所求双曲线的标准方程为．‎ ‎（6）由题意可设所求双曲线方程为，将点的坐标代入，得，解得，所以所求双曲线的标准方程为．‎ ‎【名师点睛】（1）若给出的条件是双曲线的渐近线、离心率，则需根据题意确定焦点所在的坐标轴，若不能确定，则双曲线的方程可能有两种形式，需分类讨论．同时应 注意渐近线的方程是还是．（2）若已知两点坐标，利用Ax2＋By2＝1(AB＜0)可避免讨论．‎ 求双曲线的渐近线方程 由双曲线的标准方程求渐近线方程，关键是求出a，b的值．‎ 也可把标准方程中的“1”用“0”替换，得出两条直线方程，对于双曲线(a＞0，b＞0)，令可得渐近线方程，即；对于双曲线(a＞0，b＞0)，令可得渐近线方程，即．‎ ‎（1）双曲线的离心率为，则其渐近线方程为________________；‎ ‎（2）已知双曲线与椭圆有相同的焦点，且双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，则双曲线的渐近线方程为________________．‎ ‎【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）双曲线的渐近线方程为，由题意可得，即，即，即，即，故渐近线方程为．‎ ‎（2）椭圆的焦点为(0，－3)，(0，3)，由题意可设双曲线的方程为，‎ 由于双曲线与椭圆的一个交点的纵坐标为4，将代入椭圆方程可得双曲线与椭圆的一个交点为(，4)，因为点(，4)在双曲线上，所以，结合，解得，，‎ 故双曲线的渐近线方程为，即．‎ ‎【名师点睛】应注意焦点在x轴上、焦点在y轴上的双曲线的渐近线方程的区别，避免混淆．‎ 求双曲线的离心率或离心率的取值范围 ‎（1）求解双曲线的离心率一般有两种方法： ‎ 方法一 直接求出a，c的值，或由条件寻找a，c所满足的等式（或不等式），常用的公式变形为，其中a＞0，b＞0．‎ 方法二 依据条件列出含a，c的齐次方程，利用转化为含e或e2的方程，解方程即可，注意依据e＞1对解进行取舍．‎ ‎（2）求双曲线离心率的范围，关键是根据题目条件得到不等关系，并想方设法转化为关于a，b，c的不等关系，结合和得到关于e的不等式，然后求解即可．‎ ‎（1）已知点(2，3)在双曲线C：(a＞0，b＞0)上，若双曲线C的焦距为4，则它的离心率_______________；‎ ‎（2）设双曲线的一个焦点为F，虚轴的一个端点为B，如果直线FB与该双曲线的一条渐近线垂直，那么此双曲线的离心率_______________；‎ ‎（3）已知双曲线(a＞0，b＞0)的左、右焦点分别为F1(－c，0)，F2(c，0)．若双曲线上存在点P使得，则该双曲线的离心率的取值范围是_______________．‎ ‎【答案】（1）2；（2）；（3）．‎ ‎【解析】（1）由点(2，3)在双曲线C：上，可得 ①．又焦距为 ‎4，所以 ②，联立①②及，解得，，所以双曲线C的离心率．‎ ‎（2）当焦点在x轴上时，由题意可得，即；当焦点在y轴上时，由题意可得，即．又，故，两边同时除以，得，解得(负值舍去)．‎ ‎（3）在中，由正弦定理可得，即，由可得点P在双曲线的右支上．又，则，即，因为点P不在x轴上，所以，即，即，结合解得．‎ ‎【名师点睛】（1）双曲线的离心率常以双曲线的渐近线为载体进行命题，应注意二者参数之间关系的转化；（2）在建立不等式求e时，经常用到如下结论：双曲线上一点到相应焦点的距离的最小值为．‎ 与双曲线有关的轨迹问题 求解与双曲线有关的轨迹问题，常见的方法有两种：（1）列出等量关系，化简得到方程；（2）寻找几何关系，得到双曲线的定义，从而得出对应的轨迹方程．‎ 如图，在中，已知，且三内角A，B，C满足，以AB边所在的直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系，求顶点C的轨迹方程．‎ ‎【答案】．‎ ‎【解析】由题意可得，．‎ 因为，由正弦定理可得，‎ 故，‎ 由双曲线的定义知，点C的轨迹为双曲线的右支(除去与x轴的交点)．‎ 由题意，设所求轨迹方程为，‎ 因为，，所以，故所求轨迹方程为．‎ ‎【名师点睛】求解与双曲线有关的轨迹问题时要特别注意：（1）双曲线的焦点所在的坐标轴；（2）检验所求的轨迹对应的是双曲线的一支还是两支．‎ 直线与双曲线的位置关系 直线与双曲线有三种位置关系：‎ ‎（1）无公共点，此时直线有可能为双曲线的渐近线．‎ ‎（2）有一个公共点，分两种情况：①直线是双曲线的切线，特别地，直线过双曲线一个顶点，且垂直于实轴；②直线与双曲线的一条渐近线平行，与双曲线的一支有一个公共点．‎ ‎（3）有两个公共点，可能都在双曲线一支上，也可能两支上各有一点．‎ 已知直线与双曲线．当k为何值时，直线与双曲线：‎ ‎（1）有两个公共点；（2）有一个公共点；（3）没有公共点．‎ ‎【答案】见解析．‎ ‎【解析】由消去y得 ①，‎ 当，即时，方程①无解；‎ 当时，，‎ 当，即时，方程①有两解；‎ 当，即或时，方程①无解；‎ 当，且时，这样的k值不存在．‎ 综上所述，（1）当时，直线与双曲线有两个公共点；‎ ‎（2）不存在使直线与双曲线有一个公共点的k值；‎ ‎（3）当或时，直线与双曲线没有公共点．‎ ‎【名师点睛】研究直线与双曲线位置关系的一般思路仍然是联立二者的方程，解方程组或者转化为一元二次方程，依据根的判别式和根与系数的关系求解．要注意讨论转化以后的方程的二次项系数，即若二次项系数为0，则直线与双曲线的渐近线平行或重合；若二次项系数不为0，则进一步研究二次方程的根的判别式，得到直线与双曲线的交点个数．‎ 直线与双曲线相交于A，B两点．‎ ‎（1）当时，求线段AB的长；‎ ‎（2）若以AB为直径的圆经过坐标原点，求实数a的值．‎ ‎【答案】（1）；（2）或．‎ ‎【解析】由消去y得．‎ 设，，则，．‎ ‎（1） ‎ ．‎ 当时，．‎ ‎（2）由题意知，OA⊥OB，则，即，‎ 即，即，解得．‎ 所以当以AB为直径的圆经过坐标原点时，a的值为或．‎ ‎【名师点睛】对于直线与双曲线相交的问题，通常用设而不求和整体代入的方法求解，应重点掌握．‎ 忽略双曲线定义中的限制条件导致错误 已知F1(－5，0)，F2(5，0)，动点P满足|PF1|－|PF2|＝2a，当a为3和5时，点P的轨迹分别为 A．双曲线和一条直线 B．双曲线和一条射线 C．双曲线的一支和一条直线 D．双曲线的一支和一条射线 ‎【错解】依题意得，当时，，故点P的轨迹为双曲线；当时，，故点P的轨迹为一条射线．故选B．‎ ‎【错因分析】错解中忽略了双曲线定义中的限制条件“差的绝对值”，从而导致错误．‎ ‎【正解】依题意得，当时，，且，点P的轨迹为双曲线的右支；当时，，故点P的轨迹为一条射线．故选D．‎ ‎【名师点睛】在求解与双曲线有关的轨迹问题时，准确理解双曲线的定义，才能正确解题．当||MF1|－|MF2||＝2a＜|F1F2|(a＞0)，即|MF1|－|MF2|＝±2a，0＜2a＜|F1F2|时，点M的轨迹是双曲线，其中取正号时为双曲线的右(上)支，取负号时为双曲线的左(下)支；当||MF1|－|MF2||＝2a＝|F1F2|(a＞0)时，点M的轨迹是以点F1，F2为端点的两条射线；当||MF1|－|MF2||＝2a＞|F1F2|(a＞0)时，点M的轨迹不存在．‎ 忽略双曲线中的隐含条件导致错误 已知M是双曲线上一点，F1，F2是双曲线的左、右焦点，且，则_____________．‎ ‎【错解】由双曲线的定义可知，，因为，所以或．‎ ‎【错因分析】错解忽略了双曲线中的一个隐含条件，即双曲线上的点到任一焦点的距离都大于等于c－a，从而两解中要舍去不满足要求的那个．‎ ‎【正解】由双曲线方程可得，，，‎ 由双曲线的图形可得点M到右焦点F2的距离．‎ 因为，，所以(舍去)或．‎ ‎【名师点睛】在求解双曲线上的点到焦点的距离d时，一定要注意这一隐含条件．‎ 忽略方程表示双曲线的条件导致错误 若方程表示双曲线，则实数m的取值范围为_____________．‎ ‎【错解】由，解得．故实数m的取值范围为．‎ ‎【错因分析】错解中只考虑了双曲线的焦点在x轴上的情况，忽略了焦点在y轴上的情况．‎ ‎【正解】由题可得或，解得或．‎ 故实数m的取值范围为．‎ ‎【名师点睛】在求解有关双曲线标准方程的问题时，一定要明确焦点所在的位置，若不能确定，则需要分类讨论或者使用一般方程．‎ 忽略双曲线的焦点所在位置的讨论导致错误 已知双曲线的渐近线方程是，焦距为，求双曲线的标准方程．‎ ‎【错解】由题意知，且，两式联立解得，，所以所求双曲线的标准方程为．‎ ‎【错因分析】错解的原因是未审清题目条件，而误认为焦点一定在x轴上，从而导致漏解．‎ ‎【正解】当双曲线的焦点在x轴上时，由且，两式联立解得，，所以所求双曲线的标准方程为；‎ 当双曲线的焦点在y轴上时，由且，两式联立解得，，所以所求双曲线的标准方程为．‎ 综上，所求双曲线的标准方程为或．‎ ‎【名师点睛】当没有明确双曲线的焦点所在的坐标轴时，应分两种情况来讨论，‎ 同时注意两种情况下渐近线方程是不同的：焦点在x轴上，渐近线方程为；焦点在y轴上，渐近线方程为．‎ 忽略直线与双曲线只有一个公共点的特殊情况导致错误 若过点且斜率为k的直线与双曲线只有一个公共点，则___________．‎ ‎【错解】由题意可得，代入双曲线方程得．‎ 由题意可知，解得．‎ ‎【错因分析】错解中忽略了直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线只有一个公共点．‎ ‎【正解】由题意可得，代入双曲线方程得．‎ 当，即时，直线l与双曲线的渐近线平行，直线与双曲线只有一个公共点；‎ 当时，则，解得．‎ 综上，当或时，直线与双曲线只有一个公共点．‎ ‎【名师点睛】解决直线与双曲线的位置关系的题目时，要注意讨论联立直线与双曲线的方程消元后得到的方程是否为一元一次方程，即二次项系数是否为0，因为直线与双曲线有一个公共点包含直线与双曲线的渐近线平行的情况．‎ ‎1．双曲线的焦点坐标是 A． B． C． D． ‎2．双曲线的渐近线方程是 A． B． C． D． ‎3．已知双曲线的一条渐近线方程为，则双曲线的离心率为 A． B． C． D． ‎4．若双曲线的左、右焦点分别为，点在双曲线上，且，则等于 A．11 B．9‎ C．5 D．3‎ ‎5．下列曲线中焦点坐标为的是 A． B． C． D． ‎6．设双曲线的左，右焦点分别为，直线与双曲线的其中一条渐近线交于点，则的面积是 A． B． C． D． ‎7．双曲线与椭圆的离心率互为倒数，那么以为边长的三角形一定是 A．锐角三角形 B．钝角三角形 C．直角三角形 D．等腰三角形 ‎8．设为常数，若点是双曲线的一个焦点，则_______________．‎ ‎9．双曲线的离心率为_______________．‎ ‎10．已知双曲线，点，为其两个焦点，点为双曲线上一点，若，则_______________．‎ ‎11．求以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点的双曲线的方程为_______________．‎ ‎12．已知中心在原点，焦点在轴上的双曲线的离心率，其焦点到渐近线的距离为，则此双曲线的方程为_______________．‎ ‎13．已知命题：方程表示焦点在轴上的双曲线．命题：曲线与轴交于不同的两点，若为假命题，为真命题，求实数的取值范围．‎ ‎14．已知双曲线的离心率为，虚轴长为．‎ ‎（1）求双曲线的标准方程；‎ ‎（2）过点，倾斜角为的直线与双曲线相交于，两点，为坐标原点，求的面积．‎ ‎15．已知双曲线的顶点为椭圆长轴的端点，且双曲线的离心率与椭圆的离心率的乘积等于，则双曲线的方程是 A． B． C． D． ‎16．已知双曲线的右焦点为，若过点且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且仅有一个交点，则此双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D． ‎17．过双曲线的左焦点有一条弦交左支于、点，若，是双曲线的右焦点，则的周长是 A． B． C． D． ‎18．椭圆与双曲线有相同的焦点、，是这两条曲线的一个交点，则的面积是 A． B． C． D． ‎19．已知点为双曲线右支上一点，分别为双曲线的左，右焦点，且，为的内心，若成立，则的值为 A． B． C． D． ‎20．已知点分别是双曲线的左，右焦点，过且垂直于轴的直线与双曲线交于两点，若是锐角三角形，则该双曲线的离心率的取值范围是 A． B． C． D． ‎21．若动圆与圆：外切，且与圆：内切，则动圆圆心的轨迹方程_______________．‎ ‎22．过原点的直线与双曲线交于两点，是双曲线上异于，的一点，若直线与直线的斜率都存在且乘积为，则双曲线的离心率为_______________．‎ ‎23．设、分别为双曲线的左、右项点，双曲线的实轴长为，焦点到渐近线的距离为．‎ ‎（1）求双曲线的方程；‎ ‎（2）已知直线与双曲线的右支交于、两点，且在双曲线的右支上存在点使，求的值及点的坐标．‎ ‎24．（2017天津理）已知双曲线的左焦点为，离心率为．若经过和两点的直线平行于双曲线的一条渐近线，则双曲线的方程为 A． B． C． D． ‎25．（2017新课标全国I）已知F是双曲线C：的右焦点，P是C上一点，且PF与x轴垂直，点A的坐标是(1，3)，则△APF的面积为 A． B． C． D． ‎26．（2017新课标全国II理）若双曲线（，）的一条渐近线被圆所截得的弦长为2，则的离心率为 A．2 B． C． D． ‎27．（2017新课标全国III理）已知双曲线C：(a＞0，b＞0)的一条渐近线方程为，且与椭圆有公共焦点，则C的方程为 A． B． C． D． ‎28．（2017北京理）若双曲线的离心率为，则实数m=_______________．‎ ‎29．（2017山东理）在平面直角坐标系中，双曲线的右支与焦点为的抛物线交于A，B两点，若，则该双曲线的渐近线方程为__________．‎ ‎30．（2017江苏）在平面直角坐标系中，双曲线的右准线与它的两条渐近线分别交于点，，其焦点是，则四边形的面积是_______________．‎ ‎31．（2017新课标全国I理）已知双曲线C：（a>0，b>0）的右顶点为A，以A为圆心，b为半径作圆A，圆A与双曲线C的一条渐近线交于M，N两点．若∠MAN=60°，则C的离心率为_______________．‎ ‎32．（2016上海理）双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，直线过且与双曲线交于两点．‎ ‎（1）若的倾斜角为，是等边三角形，求双曲线的渐近线方程；‎ ‎（2）设，若的斜率存在，且，求的斜率．‎ ‎1．【答案】A ‎【解析】双曲线可化为，所以，，所以，，故焦点坐标为，故选A．‎ ‎2．【答案】B ‎【解析】由抛物线方程可知，，所以，，渐近线方程为．故选B．‎ ‎4．【答案】B ‎【解析】由双曲线定义得，即，解得，故选B．‎ ‎5．【答案】A ‎【解析】双曲线中，，，故，焦点为，符合题意；椭圆中，焦点为，不符合题意；双曲线中，焦点为，不符合题意；椭圆中，焦点为，不符合题意．故选A．‎ ‎6．【答案】A ‎【解析】渐近线与直线的交点坐标为，双曲线的焦点，‎ 则的面积为，故选A．‎ ‎7．【答案】C ‎【解析】因为双曲线和椭圆的离心率互为倒数，‎ 所以，所以，即，‎ 故以为边长的三角形是直角三角形．故选C．‎ ‎8．【答案】 ‎【解析】由点是双曲线的一个焦点及可得，，解得．‎ ‎9．【答案】 ‎【解析】由双曲线方程可知离心率为．‎ ‎11．【答案】 ‎【解析】由椭圆的方程为可知，则，又双曲线以椭圆的焦点为顶点，以椭圆的顶点为焦点，所以双曲线中，则双曲线的方程为．‎ ‎12．【答案】 ‎【解析】由题意设双曲线的方程为，则离心率，‎ 所以，焦点到渐近线的距离为，所以，‎ 所以双曲线的方程为．‎ ‎13．【答案】．‎ ‎14．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）依题意可得，解得，‎ ‎∴双曲线的标准方程为．‎ ‎（2）由题可得直线的方程为，设、，‎ 由可得，由根与系数关系可得，，‎ 则．‎ 原点到直线的距离为，于是，‎ ‎∴的面积为．‎ ‎15．【答案】D ‎【解析】由题意设双曲线的方程为，离心率为，椭圆长轴的端点是，所以．∵椭圆的离心率为，∴双曲线的离心率，∴，则双曲线的方程是故选D．‎ ‎17．【答案】C ‎【解析】由双曲线方程可知，，根据双曲线的定义，得，，∴，，相加可得，∵，∴，因此的周长，故选C．‎ ‎18．【答案】C ‎【解析】联立两方程得，解得，由题意可知，所以 ．故选C．‎ ‎19．【答案】C ‎【解析】设的内切圆半径为，由双曲线的定义得，‎ ，，．‎ 由题意得：，∴，‎ 又，∴，∴，故选C．‎ ‎20．【答案】D ‎【解析】在双曲线方程中，令，得，所以两点的纵坐标分别为，又为锐角三角形，所以，所以，又，所以，即，解得，又，所以，故选D．‎ ‎21．【答案】 ‎∵，，∴，∴点的轨迹方程是．‎ ‎22．【答案】 ‎【解析】由双曲线的对称性知，可设，则，‎ 由，得，即，即．‎ 又均在双曲线上，所以，，‎ 所以，所以双曲线的离心率为．‎ ‎23．【答案】（1）；（2）．‎ ‎【解析】（1）由实轴长为，得，渐近线方程为，即，‎ 因为焦点到渐近线的距离为，所以，‎ 又，所以双曲线的方程为．‎ ‎（2）设，则，‎ 由，‎ 所以，所以，‎ 又，所以，‎ 所以，所以．‎ ‎24．【答案】B ‎【解析】由题意得，故选B．‎ ‎26．【答案】A ‎【解析】由几何关系可得，双曲线的渐近线方程为，‎ 圆心到渐近线距离为，‎ 则点到直线的距离为，即，‎ 整理可得，双曲线的离心率．故选A．‎ ‎27．【答案】B ‎【解析】双曲线C：(a＞0，b＞0)的渐近线方程为，‎ 在椭圆中：，，故双曲线C的焦点坐标为，‎ 据此可得双曲线中的方程组：，解得，‎ 则双曲线的方程为．故选B．‎ ‎29．【答案】 ‎【解析】试题分析：由抛物线定义可得：，‎ 因为，所以渐近线方程为．‎ ‎30．【答案】 ‎【解析】右准线方程为，渐近线方程为，‎ 设，则，，，则．‎ ‎31．【答案】 ‎【解析】如图所示，作，‎ 因为圆A与双曲线C的一条渐近线交于M、N两点，‎ 则为双曲线的渐近线上的点，且，，‎ 而，所以，‎ 点到直线的距离，‎ 在中，，代入计算得，即，‎ 由得，所以．‎ ‎32．【答案】（1）；（2）．‎ ‎（2）由已知，，．‎ 设，，直线，显然．‎ 将代入，得．‎ 因为与双曲线交于两点，所以，且．‎ 设的中点为，‎ 由，即，知，故．‎ 而， ，，‎ 所以，得，故的斜率为．‎ ‎ ‎ ‎ ‎