2020届长春地区高三理科数学一模试题

2020届长春地区高三理科数学一模试题

长春市 2020 届高三质量监测（一） 理科数学 本试卷共 4 页. 考试结束后，将答题卡交回. 注意事项： 1. 答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘 贴在考生信息条形码粘贴区. 2. 选择题必须使用 2B 铅笔填涂；非选择题必须使用 0.5 毫米黑色字迹的签 字笔书写，字体工整、笔迹清楚. 3. 请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写 的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效. 4. 作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑. 5. 保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、 刮纸刀. 一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的. 1. 已知集合 { || | 2}A x x ≥ ， 2{ | 3 0}B x x x   ， BA则 A.  B. { | 3 2}x x x 或 ≤ C. { | 3 0}x x x 或 D. { | 3 1}x x x 或 2. 复数 2 52z i i  的共轭复数 z 在复平面上对应的点在 A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知 31( )3a  ， 1 33b  ， 1 3 log 3c  ，则 A. cba  B. abc  C. bac  D. acb  4. 已知直线 0x y  与圆 2 2( 1) ( ) 2x y b    相切，则b  A. 3 B. 1 C. 3 或1 D. 5 2 5. 2019 年是新中国成立七十周年，新中国 成立以来，我国文化事业得到了充分发 展，尤其是党的十八大以来，文化事业发 展更加迅速，下图是从 2013 年到 2018 年 六年间我国公共图书馆业机构数（个）与 对应年份编号的散点图（为便于计算，将 2013 年编号为 1，2014 年编号为 2…2018 年编号为 6，把每年的公共图书馆业机构 个数作为因变量，把年份编号从 1 到 6 作 为自变量进行回归分析），得到回归直线  13.743 3095.7y x  ，其相关指数 9817.02 R ，给出下列结论，其中正确的个数是 ①公共图书馆业机构数与年份的正相关性较强 ②公共图书馆业机构数平均每年增加 13.743 个 ③可预测 2019 年公共图书馆业机构数约为 3192 个 A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 6. 中国传统扇文化有着极其深厚的底蕴. 一般情况下，折扇可 看作是从一个圆面中剪下的扇形制作而成，设扇形的面积为 1S ，圆面中剩余部分的面积为 2S ，当 1S 与 2S 的比值为 2 15  时，扇面看上去形状较为美观，那么此时扇形的圆心 角的弧度数为 A. (3 5) B. )15(  C. )15(  D. )25(  7. 已知 , ,a b c 为直线， , ,   平面，则下列说法正确的是 ① , , //a b a b   则 ； ② , ,       则 ； ③ // , // , //a b a b  则 ； ④ // , // , //     则 . A. ①②③ B. ②③④ C. ①③ D. ①④ 8. 已知数列{ }na 为等比数列， nS 为等差数列{ }nb 的前 n 项和，且 2 1a  ， 10 16a  ， 6 6a b ，则 11S  A.44 B. -44 C. 88 D. -88 9. 把函数 ( )y f x 图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍，得到 2sin( )y x   （ 0  ， 2   ）的图象（部分图象如图所示），则 )(xfy  的解析式为 A. )62sin(2)(  xxf B. )6sin(2)(  xxf C. )64sin(2)(  xxf D. )6sin(2)(  xxf 10. 已知函数 ( )y f x 是定义在 R 上的奇函数，且满足 (2 ) ( ) 0f x f x   ，当 [ 2,0]x  时， 2( ) 2f x x x   ，则当 [4,6]x 时， ( )y f x 的最小值为 A. 8 B. 1 C. 0 D. 1 11. 已知椭圆 2 2 14 3 x y  的右焦点 F 是抛物线 2 2y px （ 0p  ）的焦点，则过 F 做 倾斜角为 60 的直线分别交抛物线于 ,A B （ A 在 x 轴上方）两点，则 | | | | AF BF 的值为 A. 3 B. 2 C. 3 D. 4 12. 已知函数 12 )2()(  xexxxf ，若当 1 , ( ) 1 0x f x mx m    ≤时 有解，则 m 的 取值范围为 A. 1m ≤ B. 1m   C. 1m   D. 1m ≥ x y 1 2 o 11 12  二、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分. 13. 3 81(2 )x x  展开式中常数项为___________. 14. 边长为 2 正三角形 ABC 中，点 P 满足 1 ( )3AP AB AC    ，则 BP BC   _________. 15. 平行四边形 ABCD 中， ABD△ 是腰长为 2 的等腰直角三角形， 90ABD   ，现将 ABD△ 沿 BD 折起，使二面角 A BD C  大小为 2 3  ，若 , , ,A B C D 四点在同一球 面上，则该球的表面积为________. 16. 已知数列 na 的前项 n 和为 nS ，满足 nnaaa nn 2 2,2 1 211  且 （ n N ），则 2nS __________， na __________. 三、解答题：共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第 17~21 题为必考 题，每个试题考生都必须作答. 第 22~23 题为选考题，考生根据要求作答. （一）必考题：共 60 分. 17. （本小题满分 12 分） ABC 的内角 CBA ,, 的对边分别为 cba ,, ， tan ( )a b A a b  . （Ⅰ）求证： ABC 是直角三角形； （Ⅱ）若 10c ，求 ABC 的周长的取值范围. 18. （本小题满分 12 分） 如图，在四棱锥 ABCDP  中，PA  底面 ABCD ， //AB CD ， AD DC ， 2 2AB AD DC   ， E 为 PB 中点. （Ⅰ）求证： //CE 平面 PAD ； （Ⅱ）若 4PA  ，求平面CDE 与平面 ABCD 所成锐二面角 的大小. 19. （本小题满分 12 分） 某次数学测验共有 10 道选择题，每道题共有四个选项，且其中只有一个选项是正确 的，评分标准规定：每选对 1 道题得 5 分；不选或选错得 0 分. 某考生每道题都选 并能确定其中有 6 道题能选对，其余 4 道题无法确定正确选项，但这 4 道题中有 2 道题能排除两个错误选项，另 2 道只能排除一个错误选项，于是该生做这 4 道题时 每道题都从不能排除的选项中随机选一个选项作答，且各题作答互不影响． （Ⅰ）求该考生本次测验选择题得 50 分的概率； （Ⅱ）求该考生本次测验选择题所得分数的分布列和数学期望. 20.（本小题满分 12 分） 已知点 )0,1(),0,1( NM  若点 ),( yxP 满足| | | | 4PM PN  . （Ⅰ）求点 P 的轨迹方程； （Ⅱ）过点 )0,3(Q 的直线 l 与（Ⅰ）中曲线相交于 BA, 两点， O 为坐标原点， 求 AOB 面积的最大值及此时直线l 的方程. 21.（本小题满分 12 分） 已知函数 3( ) ( 1)ln , ( ) lnf x x x g x x x e      （Ⅰ）求函数 )(xf 的单调区间； （Ⅱ）令 ( ) ( ) ( )h x mf x g x  （ 0m  ）两个零点 1 2,x x （ 1 2x x ）， 证明： 1 2 1x e x e    . （二）选考题：共 10 分，请考生在 22、23 题中任选一题作答，如果多做则按所做的第 一题计分. 22. （本小题满分 10 分）选修 4-4 坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中，直线l 的参数方程为 21 ,2 22 2 x t y t       （t 为参数），以坐标 原点O 为极点， x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，圆 的C 极坐标方程为 3cos42   . （Ⅰ）求直线l 的普通方程和圆C 的直角坐标方程； （Ⅱ）直线l 与圆C 交于 BA, 两点，点 )2,1(P ，求| | | |PA PB 的值. 23. （本小题满分 10 分）选修 4-5 不等式选讲 已知函数 ( ) | 3| | 1|f x x x    . （Ⅰ）解关于 x 的不等式 ( ) 1f x x ≥ ； （Ⅱ）若函数 )(xf 的最大值为 M ，设 0,0  ba ，且 Mba  )1)(1( ，求 ba  的最小值.