寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题14 抛物线（解析）x

寒假专题突破练高二数学（文科通用选修1-1、必修3）专题14 抛物线（解析）x

专题14　抛物线 ‎1．抛物线的定义 ‎2．抛物线的标准方程 ‎3．抛物线的几何性质 ‎4．直线与抛物线的位置关系 讨论直线与抛物线的位置关系，一般是将直线方程与抛物线的方程联立成方程组，消去y得关于x的方程ax2＋bx＋c＝0，讨论a及判别式Δ，由ax2＋bx＋c＝0解的情况得到直线与抛物线的位置关系．当a≠0且Δ<0时，直线与抛物线没有公共点；当a≠0且Δ＝0时，直线与抛物线相切，有一个公共点；当a＝0且b≠0时，直线与抛物线相交，有一个公共点，此时直线与抛物线的对称轴平行；当a≠0且Δ>0时，直线与抛物线相交，有两个公共点．‎ 例1　设抛物线C：y2＝2px(p>0)的焦点为F，点M在C上，|MF|＝5，若以MF为直径的圆过点(0,2)，则C的方程为(　　)‎ A．y2＝4x或y2＝8x B．y2＝2x或y2＝8x C．y2＝4x或y2＝16x D．y2＝2x或y2＝16x 变式1　已知点P是抛物线y2＝2x上的一个动点，则点P到点(0,2)的距离与点P到该抛物线准线的距离之和的最小值是(　　)‎ A. B．3 C. D. 例2　已知抛物线C：y2＝8x与点M(－2,2)，过C的焦点且斜率为k的直线与C交于A、B两点．若·＝0，求k的值．‎ 变式2　设F为抛物线C：y2＝4x的焦点，过点P(－1,0)的直线l交抛物线C于A、B两点，点Q为线段AB的中点，若|FQ|＝2，则直线l的斜率等于________．‎ 例3　如图，已知△AOB的一个顶点为抛物线y2＝2x的顶点O，A、B两点都在抛物线上，且∠AOB＝90°.‎ 证明：直线AB必过一定点；‎ 变式3　如图，过抛物线y2＝x上一点A(4，2)作倾斜角互补的两条直线AB、AC交抛物线于B、C两点，求证：直线BC的斜率是定值． ‎ A级 ‎1．已知抛物线y2＝2px(p＞0)的准线经过点(－1,1)，则该抛物线焦点坐标为(　　)‎ A．(－1,0) B．(1,0) C．(0，－1) D．(0,1)‎ ‎2．已知F是抛物线y2＝x的焦点，A，B是该抛物线上的两点，|AF|＋|BF|＝3，则线段AB的中点到y轴的距离为(　　)‎ A. B．1 C. D. ‎3．已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点O，并且经过点M(2，y0)．若点M到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|等于(　　)‎ A．2 B．2 C．4 D．2 ‎4．过点(1,0)作斜率为－2的直线，与抛物线y2＝8x交于A、B两点，则弦AB的长为(　　)‎ A．2 B．2 C．2 D．2 ‎5．若抛物线y2＝4x上的点M到焦点的距离为10，则M到y轴的距离是________．‎ ‎6．设抛物线y2＝8x的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，PA⊥l，A为垂足，如果直线AF的斜率为－，那么|PF|＝________.‎ ‎7．根据下列条件写出抛物线的标准方程：‎ ‎(1)准线方程是y＝3；‎ ‎(2)过点P(－2，4)；‎ ‎(3)焦点到准线的距离为.‎ B级 ‎8．动点到点(3,0)的距离比它到直线x＝－2的距离大1，则动点的轨迹是(　　)‎ A．椭圆 B．双曲线 C．双曲线的一支 D．抛物线 ‎9．已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和的最小值是(　　)‎ A．2 B．3 C. D. ‎10．以抛物线C的顶点为圆心的圆交C于A，B两点，交C的准线于D，E两点．已知|AB|＝4，|DE|＝2，则C的焦点到准线的距离为(　　)‎ A．2 B．4 C．6 D．8‎ ‎11．已知O为坐标原点，F为抛物线y2＝4x的焦点，A是抛物线上一点，若·＝－4，则点A的坐标是________________．‎ ‎12．如图所示是抛物线形拱桥，‎ 当水面在l时，拱顶离水面2 m，水面宽4 m．水位下降1 m后，水面宽________ m.‎ ‎13．已知动圆过定点A(4,0)，且在y轴上截得弦MN的长为8.‎ ‎(1)求动圆圆心的轨迹C的方程；‎ ‎ (2)已知点B(－1,0)，设不垂直于x轴的直线l与轨迹C交于不同的两点P，Q，若x轴是∠PBQ的角平分线，证明：直线l过定点．‎ 详解答案 典型例题 例1　C　[由题意知：F，抛物线的准线方程为x＝－，则由抛物线的定义知，xM＝5－，设以MF为直径的圆的圆心为，所以圆的方程为2＋2＝，又因为圆过点(0,2)，所以yM＝4，又因为点M在C上，所以16＝2p，解得p＝2或p＝8，所以抛物线C的方程为y2＝4x或y2＝16x，故选C.]‎ 变式1　A 例2　解　联立直线与抛物线的方程，消元得一元二次方程并得两根之间的关系，由·＝0进行坐标运算解未知量k.‎ 抛物线C的焦点为F(2,0)，则直线方程为y＝k(x－2)，与抛物线方程联立，‎ 消去y化简得k2x2－(4k2＋8)x＋4k2＝0.‎ 设点A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 则x1＋x2＝4＋，x1x2＝4.‎ 所以y1＋y2＝k(x1＋x2)－4k＝，‎ y1y2＝k2[x1x2－2(x1＋x2)＋4]＝－16.‎ 因为·＝(x1＋2，y1－2)·(x2＋2，y2－2)＝(x1＋2)(x2＋2)＋(y1－2)(y2－2)＝x1x2＋2(x1＋x2)＋y1y2－2(y1＋y2)＋8＝0，将上面各个量代入，化简得k2－4k＋4＝0，所以k＝2.‎ 变式2　±1‎ 解析　设直线l的方程为y＝k(x＋1)，‎ A(x1，y1)、B(x2，y2)、Q(x0，y0)．‎ 解方程组.‎ 化简得：k2x2＋(2k2－4)x＋k2＝0‎ ‎∴x1＋x2＝，y1＋y2＝k(x1＋x2＋2)＝.∴x0＝，y0＝.‎ 由＝2得：‎ 2＋2＝4.‎ ‎∴k＝±1.‎ 例3　证明　方法一　设OA所在直线的方程为y＝kx(k≠0)，‎ 则直线OB的方程为y＝－x，‎ 由解得或 即A点的坐标为(，)．‎ 同理由，‎ 解得B点的坐标为(2k2，－2k)．‎ ‎∴AB所在直线的方程为 y＋2k＝(x－2k2)，‎ 化简并整理，得(－k)y＝x－2.‎ 不论实数k取任何不等于0的实数，当x＝2时，恒有y＝0.故直线过定点P(2,0)．‎ 方法二　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 直线AB的方程为y＝kx＋m，‎ 将x＝代入y2＝2x，消x，‎ 整理得y2－y＋＝0，‎ 则Δ＝(－)2－>0，y1y2＝.‎ 由y＝2x1，y＝2x2，所以x1x2＝，‎ 由∠AOB＝90°，OA⊥OB，故x1x2＋y1y2＝0.‎ 所以＋y1y2＝0，可得y1y2＝－4，‎ 于是－4＝，得m＝－2k，满足Δ>0，‎ 所以y＝kx＋m＝kx－2k＝k(x－2)，直线过(2,0)；当直线AB的方程为x＝2时，由y2＝4，得y＝±2，满足OA⊥OB；故直线AB过定点P(2,0)．‎ 方法三　设A(x1，y1)，B(x2，y2)，‎ 直线AB的方程为y－y1＝(x－x1)，‎ 即y－y1＝(x－x1)，‎ 即y－y1＝(x－)，‎ 即y＝x＋y1－，‎ 即y＝x＋.‎ 由方法二知y1y2＝－4，‎ 代入即得直线AB过定点P(2,0)．‎ 变式3　证明　设kAB＝k (k≠0)，‎ ‎∵直线AB，AC的倾斜角互补，‎ ‎∴kAC＝－k(k≠0)，‎ ‎∵AB的方程是y＝k(x－4)＋2.‎ 由方程组 消去y后，整理得 k2x2＋(－8k2＋4k－1)x＋16k2－16k＋4＝0.‎ ‎∵A(4,2)，B(xB，yB)是上述方程组的解．‎ ‎∴4·xB＝，即xB＝，‎ 以－k代换xB中的k，得xC＝，‎ ‎∴kBC＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝－.所以直线BC的斜率为定值．‎ 强化提高 ‎1．B　[由于抛物线y2＝2px(p＞0)的准线方程为x＝－，由题意得－＝－1，p＝2，焦点坐标为，故选B.]‎ ‎2．C　[∵|AF|＋|BF|＝xA＋xB＋＝3，‎ ‎∴xA＋xB＝.∴线段AB的中点到y轴的距离为＝.]‎ ‎3．B　[由抛物线定义，知＋2＝3，所以p＝2，抛物线方程为y2＝4x.因为点M(2，y0)在抛物线上，所以y＝8，故|OM|＝＝2.]‎ ‎4．B　[不妨设A，B两点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1>x2.‎ 由直线AB斜率为－2，且过点(1,0)得直线AB的方程为y＝－2(x－1)，‎ 代入抛物线方程y2＝8x得4(x－1)2＝8x，‎ 整理得x2－4x＋1＝0，‎ 解得x1＝2＋，x2＝2－，‎ 代入直线AB方程得 y1＝－2－2，y2＝2－2.‎ 故A(2＋，－2－2)，B(2－，2－2)．‎ ‎|AB|＝＝2.]‎ ‎5．9‎ ‎6．8‎ 解析　如图所示，直线AF的方程为y＝－·(x－2)，与准线方程x＝－2联立得A(－2，4)．‎ 设P(x0,4)，‎ 代入抛物线y2＝8x，‎ 得8x0＝48，‎ ‎∴x0＝6，‎ ‎∴|PF|＝x0＋2＝8.‎ ‎7．解　(1)由准线方程为y＝3知抛物线的焦点在y轴负半轴上，且＝3，则p＝6，‎ 故所求抛物线的标准方程为x2＝－12y.‎ ‎(2)∵点P(－2，4)在第二象限，‎ ‎∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝2py(p>0)，‎ 将点P(－2，4)代入y2＝－2px，得p＝2，‎ 代入x2＝2py，得p＝1.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－4x或x2＝2y.‎ ‎(3)由焦点到准线的距离为，得p＝，‎ 故所求抛物线的标准方程为y2＝2x，y2＝－2x，x2＝2y或x2＝－2y.‎ ‎8．D ‎9．A　[直线l2：x＝－1为抛物线y2＝4x的准线，由抛物线的定义知，P到l2的距离等于P到抛物线的焦点F(1,0)的距离，故本题转化为在抛物线y2＝4x上找一个点P使得P到点F(1,0)和直线l1的距离之和最小，最小值为F(1,0)到直线l1：4x－3y＋6＝0的距离，即dmin＝＝2，故选A.]‎ ‎10．B　[不妨设抛物线C：y2＝2px(p>0)，则圆的方程可设为x2＋y2＝r2(r>0)，如图，‎ 又可设A(x0,2)，‎ D，‎ 点A(x0,2)在抛物线y2＝2px上，‎ ‎∴8＝2px0，①‎ 点A(x0,2)在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴x＋8＝r2，②‎ 点D在圆x2＋y2＝r2上，‎ ‎∴5＋2＝r2，③‎ 联立①②③，解得p＝4，即C的焦点到准线的距离为p＝4，故选B.]‎ ‎11．(1,2)或(1，－2)‎ 解析　∵抛物线的焦点为F(1,0)，‎ 设A(，y0)，‎ 则＝(，y0)，＝(1－，－y0)，‎ 由·＝－4，‎ 得y0＝±2，‎ ‎∴点A的坐标是(1,2)或(1，－2)．‎ ‎12．2 解析　(数形结合法)‎ 建立如图所示的平面直角坐标系，设抛物线方程为x2＝－2py(p>0)，‎ 则A(2，－2)，将其坐标代入x2＝－2py得p＝1.∴x2＝－2y.‎ 当水面下降1 m时，得D(x0，－3)(x0>0)，‎ 将其坐标代入x2＝－2y得x＝6，‎ ‎∴x0＝.∴水面宽|CD|＝2 m.‎ ‎13．(1)解　如图，设动圆圆心为O1(x，y)，由题意，‎ 得|O1A|＝|O1M|，‎ 当O1不在y轴上时，过O1作O1H⊥MN交MN于H，则H是MN的中点，‎ ‎∴|O1M|＝，‎ 又|O1A|＝，‎ ‎∴＝，化简得y2＝8x(x≠0)．‎ 又当O1在y轴上时，O1与O重合，点O1的坐标为(0,0)也满足方程y2＝8x，‎ ‎∴动圆圆心的轨迹C的方程为y2＝8x.‎ ‎(2)证明　由题意，设直线l的方程为y＝kx＋b(k≠0)，‎ P(x1，y1)，Q(x2，y2)，将y＝kx＋b代入y2＝8x中，‎ 得k2x2＋(2bk－8)x＋b2＝0.‎ 其中Δ＝－32kb＋64>0.‎ 由根与系数的关系得，x1＋x2＝，①‎ x1x2＝，②‎ 因为x轴是∠PBQ的角平分线，‎ 所以＝－，‎ 即y1(x2＋1)＋y2(x1＋1)＝0，‎ ‎(kx1＋b)(x2＋1)＋(kx2＋b)(x1＋1)＝0，‎ ‎2kx1x2＋(b＋k)(x1＋x2)＋2b＝0③‎ 将①，②代入③得2kb2＋(k＋b)(8－2bk)＋2k2b＝0，‎ ‎∴k＝－b，此时Δ>0，‎ ‎∴直线l的方程为y＝k(x－1)，即直线l过定点(1,0)．‎