高考理科数学专题复习练习6.3等比数列及其前n项和

高考理科数学专题复习练习6.3等比数列及其前n项和

第六章数列 ‎6.3等比数列及其前n项和 专题3‎ 等比数列前n项和公式 ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理3)公比不为1等比数列{an}的前n项和为Sn,且-3a1,-a2,a3成等差数列,若a1=1,则S4=(　　)‎ ‎　　　　　　　　　　　　　　　　‎ A.-20 B.0 C.7 D.40‎ 解析:设数列的公比为q(q≠1),则∵-3a1,-a2,a3成等差数列,‎ ‎∴-3a1+a3=-2a2,∵a1=1,∴-3+q2+2q=0,‎ ‎∵q≠1,∴q=-3.∴S4=1-3+9-27=-20.故选A.‎ 答案:A ‎■(2015甘肃省兰州市七里河区一中数学模拟,等比数列前n项和公式,选择题,理11)已知函数y=x3在x=ak时的切线和x轴交于ak+1,若a1=1,则数列{an}的前n项和为(　　)‎ A.‎1‎‎3‎‎+‎‎2‎‎3‎n B.‎‎2‎‎3‎n-1‎ C.3-‎2‎‎3‎n D.3-‎‎2‎n‎3‎n-1‎ 解析:∵函数y=x3,∴y'=3x2,∴ak‎3‎‎-0‎ak‎-‎ak+1‎=3ak‎2‎,‎ 即akak‎-‎ak+1‎=3,‎ 化简,得3ak+1=2ak,即ak+1‎ak‎=‎‎2‎‎3‎,‎ 又∵a1=1,∴Sn=‎1-‎‎2‎‎3‎n‎1-‎‎2‎‎3‎=3-‎2‎n‎3‎n-1‎,故选D.‎ 答案:D ‎6.5数列的综合应用 专题1‎ 数列与不等式相结合问题 ‎■(2015甘肃省白银市会宁二中高考数学模拟,数列与不等式相结合问题,填空题,理16)已知数列{an}的前n项和为Sn,且Sn+1=2an,则使不等式a‎1‎‎2‎‎+‎a‎2‎‎2‎+…+an‎2‎<5×2n+1成立的n的最大值为　　　　. ‎ 解析:当n=1时,a1+1=2a1,解得a1=1.‎ 当n≥2时,∵Sn+1=2an,Sn-1+1=2an-1,‎ ‎∴an=2(an-an-1),∴anan-1‎=2.‎ ‎∴数列{an}是以1为首项,2为公比的等比数列.‎ ‎∴an=2n-1,∴an‎2‎=4n-1.‎ ‎∴a‎1‎‎2‎‎+‎a‎2‎‎2‎+…+‎an‎2‎ ‎=1+4+42+…+4n-1=‎4‎n‎-1‎‎4-1‎‎=‎‎1‎‎3‎(4n-1).‎ ‎∴‎1‎‎3‎(4n-1)<5×2n+1.‎ ‎∴2n(2n-30)<1,可知使得此不等式成立的n的最大值为4.‎ 答案:4‎ 专题2‎ 数列与函数相结合问题 ‎■(2015河南省洛阳市高考数学一模,数列与函数相结合问题,解答题,理17)已知{an},{bn}均为等差数列,前n项和分别为Sn,Tn.‎ ‎(1)若平面内三个不共线向量OA‎,OB,‎OC满足OC=a3OA+a15OB,且A,B,C三点共线.是否存在正整数n,使Sn为定值?若存在,请求出此定值;若不存在,请说明理由;‎ ‎(2)若对n∈N+,有SnTn‎=‎‎31n+101‎n+3‎,求使anbn为整数的正整数n的集合.‎ 解:(1)∵A,B,C三点共线.∴∃λ∈R,使AC=λAB‎,OC-‎OA=λ(OB‎-‎OA),‎ 即OC=(1-λ)OA+λOB,‎ 由平面向量的基本定理,得‎1-λ=a‎3‎,‎λ=a‎15‎,‎ 消去λ得到a3+a15=1,‎ ‎∵a3+a15=a1+a17=1,‎ ‎∴S17=‎1‎‎2‎×17×(a1+a17)=‎17‎‎2‎.‎ 即存在n=17时,S17为定值‎17‎‎2‎.‎ ‎(2)由于anbn‎=a‎1‎‎+‎a‎2n-1‎b‎1‎‎+‎b‎2n-1‎=S‎2n-1‎T‎2n-1‎=‎‎31(2n-1)+101‎‎2n-1+3‎=31+‎4‎n+1‎,‎ 根据题意n+1的可能取值为2,4,‎ 所以n的取值为1或3,‎ 即使anbn为整数的正整数n的集合为{1,3}.‎