高二数学下第一次月考试题文

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1 / 14 【2019 最新】精选高二数学下第一次月考试题文 高二文科数学试题 注意事项： 1．答题前在答题卡、答案纸上填写好自己的姓名、班级、考号等信 息 2．请将第 I 卷（选择题）答案用 2B 铅笔正确填写在答题卡上；请将 第 II 卷（非选择题）答案黑色中性笔正确填写在答案纸上。 第 I 卷（选择题 60 分） 一．选择题（本题有 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。） 1.按照图 1—图 3 的规律，第 10 个图中圆点的个数为（ ） A．36 B．40 C．44 D．52 2.下列推理正确的是（　　） A.如果不买彩票，那么就不能中奖．因为你买了彩票，所以你一定中 奖 B.因为 a＞b，a＞c，所以 a﹣b＞a﹣c C.若 a＞0，b＞0，则 lga+lgb≥2 D.若 a＞0，b＜0，则+=﹣（+）≤﹣2=﹣2 2 / 14 3.化简 的结果是（ ） A.2+i B.﹣2+i C.2﹣i D.﹣2﹣i 4.已知 i 为虚数单位，复数 z= ， 则复数 z 的虚部是（　　） A.I B. C.-I D.- 5.已知回归直线的斜率的估计值为 1.23，样本点的中心为（4，5）， 则回归直线方程为（　　） A.=1.23x+4 B.=1.23x+5 C.=1.23x+0.08 D.=0.08x+1.23 6.已知复数 z 在复平面内对应的点为（3，4），复数 z 的共轭复数 为 ，那么 z• 等于（ ） A.5 B.﹣7 C.12 D.25 7.已知是虚数单位，复数的共轭复数与复平面内的点对应，则复数对 应的点在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第 四象限 i Z ( )2 1， 1 2i Z − 3 / 14 8.已知是虚数单位，则 ( ) A. 1 B. C. 2 D. 9.用反证法证明命题“三角形的内角至多有一个钝角”时，假设正确 的是（ ） A. 假设至少有一个钝角 B. 假设没有一个钝角 C. 假设至少有两个钝角 D. 假设没有一个钝角或至少有两个钝角 10.已知表示正整数的所有因数中最大的奇数，例如：12 的因数有 1,2,3,4,6,12，则；21 的因数有 1,3,7,21，则，那么的值为（ ） A. 2488 B. 2495 C. 2498 D. 2500 11.设大于 0，则 3 个数的值 A. 至多有一个不大于 1 B. 都大于 1 C. 至少有一个不大于 1 D. 都小于 1 12.对某校高二年级某班 63 名同学，在一次期末考试中的英语成绩作 统计，得到如下的列联表： 附： ，参照附表 ，得到的正确结论是（ ） A. 在犯错误的概率不超过 0.01 的前提下认为“该班学生英语成绩优 , ,a b c , ,a b c b c a ( ) ( )( )( )( ) 2 2 n ad bcK a b c d a c b d −= + + + + 4 / 14 秀与性别有关” B. 在犯错误的概率不超过 0.05 的前提下认为“该班学生英语成绩优 秀与性别有关” C. 没有 90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关” D. 有 90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关” 第 II 卷（选择题 90 分） 二、填空题(共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.若复数 z 满足 z+i= ，其中 i 为虚数单位，则|z|= ． 14.我国古代数学名著《张邱建算经》有“分钱问题”：今有与人钱， 初一人与三钱，次一人与四钱，次一人与五钱，以次与之，转多一钱， 与讫，还敛聚与均分之，人得一百钱，问人几何？意思是：将钱分给 若干人，第一人给 3 钱，第二人给 4 钱，第三人给 5 钱，以此类推， 每人比前一人多给 1 钱，分完后，再把钱收回平均分给各人，结果每 人分得 100 钱，问有多少人？则题中的人数是 ． 15.若复数 ，且，则 的值为 _______________． 16.若（为虚数单位），则的值为__________． 三、解答题(共 6 小题 ,共 70 分) 17. (10 分) 复数 z1= +（10﹣a2）i，z2= +（2a﹣5）i，若 +z2 是实数，求实数 a 的值． 18. (10 分)在“新零售”模式的背景下，某大型零售公司咪推广线下 分店，计划在市的区开设分店，为了确定在该区开设分店的个数，该 ( )( )1 2 5a bi i+ − = , ,a b R i∈ a b+ 5 / 14 公司对该市已开设分店听其他区的数据作了初步处理后得到下列表 格．记表示在各区开设分店的个数， 表示这个个分店的年收入之 和． （个） 2 3 4 5 6 （百万元） 2.5 3 4 4.5 6 （1）该公司已经过初步判断，可用线性回归模型拟合与的关系，求 关于的线性回归方程； （2）假设该公司在区获得的总年利润（单位：百万元）与之间的关 系为，请结合（1）中的线性回归方程，估算该公司应在区开设多少 个 分 店 时 ， 才 能 使 区 平 均 每 个 分 店 的 年 利 润 最 大 ？ （参考公式： ，其中） 19. (12 分)已知复数. （1）实数为何值时，复数 z 为纯虚数； （2）若，计算复数. 20.某校为评估新教改对教学的影响，挑选了水平相当的两个平行班进行对比实验．甲班采 用创新教法，乙班仍采用传统教法，一段时间后进行水平测试，成绩结果全部落在[60，100] 区间内（满分 100 分），并绘制频率分布直方图如图，两个班人数均为 60 人，成绩 80 分及 S A x y x x y y x y x ˆy bx a= + A z ,x y 20.05 1.4z y x= − − A A ˆy bx a= + ( )( ) ( ) 1 1 22 2 1 1 ˆ , ˆ n n i i i ii i n n i ii i x y nxy x x y y b a y bx x nx x x = = = = − − − = = = − − − ∑ ∑ ∑ ∑ 6 / 14 以上为优良． （1）根据以上信息填好 2×2 联表，并判断出有多大的把握认为学生 （2）成绩优良与班级有关？ （3）以班级分层抽样，抽取成绩优良的 5 人参加座谈，现从 5 人中 随机选 3 人来作书面发言，求发言人至少有 2 人来自甲班的概 率．（以下临界值及公式仅供参考） P（k2≥k0）0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001 k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 k2= ，n=a+b+c+d． 21. (14 分)设为三角形的三边，求证： 22. (12 分)设 Sn＝＋…＋，写出 S1，S2，S3，S4 的值，归纳并猜想 出结果，并给出证明． , ,a b c ABC 1 1 1 a b c a b c + >+ + + 1 1 1 1 2 2 3 3 4× × ×＋ ＋ ( ) 1 1n n＋ 7 / 14 参考答案解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 B D C B C D D D B D C D 1.B【解析】因为根据图形，第一个图有个点，第二个图有个点，第 三个图有个点，…，所以第个图有个点，故选 B． 2.D【解析】如果不买彩票，那么就不能中奖． 即使你买了彩票，你也不一定中奖，故 A 错误； 因为 a＞b，a＞c，但是 a﹣b 不一定大于 a﹣c，故 B 错误； 因为 lga+lgb≥2 成立的条件是 a＞1，b＞1，故 C 错误； 若 a＞0，b＜0， 则由均值定理，得+=﹣（+）≤﹣2=﹣2，故 D 正确． A 中，即使你买了彩票，你也不一定中奖；B 中，a﹣b 不一定大于 a﹣c；C 中，lga+lgb≥2 成立的条件是 a＞1，b＞1；由均值定理知 D 正确。 3.C【解析】 = ， 故选 C 4 8 12 10 10 4=40× 8 / 14 4.B【解析】∵i， 故复数 z 的虚部是 ， 故选 B． 5.C【解析】法一： 由回归直线的斜率的估计值为 1.23，可排除 D 由线性回归直线方程样本点的中心为（4，5）， 将 x=4 分别代入 A、B、C，其值依次为 8.92、9.92、5，排除 A、B 法二： 因为回归直线方程一定过样本中心点， 将样本点的中心（4，5）分别代入各个选项，只有 C 满足， 故选 C 6.D【解析】由题意，z=3+4i， 则 z• = ． 故选：D． 7.D 【解析】由题复数与复平面内的点对应，， Z )1,2( − i2 −=∴Z ∴ 1-2 1 2 (1 2 )(2 ) 2 (2 )(2 ) i i i i Z i i i − − += =− − + 9 / 14 ，复数对应的点的坐标是，复数对应的点在第四象限，故选 D． 8.D【解析】由题意得，故选 D. 9.B【解析】由于命题“三角形的内角至多有一个钝角”的否定为“三 角形的内角至少有两个钝角”，故用反证法证明命题“三角形的内角 至多有一个钝角”时，应假设至少有两个钝角，选 C. 10.D【解析】由 的定义知 ，且若 为奇数则 则 选 D 11.C【解析】由题意，若个数的值均大于，则，显然矛盾，若个数的 值均小于，则，显然矛盾， 若个数的值至少有一个不大于，故选 C. 12.C【解析】由题意计算可得： ， 则没有 90%以上的把握认为“该班学生英语成绩优秀与性别有关”. 本题选择 C 选项. 13. 【解析】由 z+i= ， 得 ， 则|z|= ．故答案为： ． 14.195 4 3 5 5 i= − ∴ ），（ 5 3-5 4 ∴ 3 , ,a b c b c a 1 , ,a b b c c a> > > 3 , ,a b c b c a 1 , ,a b b c c a< < < ∴ 3 , ,a b c b c a 1 ( )2 2 63 12 19 11 21 0.0006 2.70623 40 30 33k × × − ×= ≈ <× × × 10 / 14 【解析】设共有 n 人，根据题意得； 3n+ =100n， 解得 n=195； ∴一共有 195 人．故答案为：195． 15. 【解析】由题意可得： . 16. 【解析】16. 因为，根据复数相等则， ，解得，所以，故填. 17.解：∵z1= +（10﹣a2）i，z2= +（2a﹣5）i， ∴ +z2 是=[ +（a2﹣10）i]+[ +（2a﹣5）i] =（ + ）+（a2﹣10+2a﹣5）i = +（a2+2a﹣15）i， ∵ +z2 是实数， ∴a2+2a﹣15=0，解得 a=﹣5 或 a=3． 又分母 a+5≠0， ∴a≠﹣5， 故 a=3． 3 ( )( ) ( )1 2 2 2 5a bi i a b b a i+ − = + + − = 2 5a b+ = 2 0b a− = 1, 2a b= = 3a b+ = 3 11 / 14 【解析】可求得 +z2= +（a2+2a﹣15）i，利用其虚部为 0 即 可求得实数 a 的值． 18.(1) ;(2) 该公司应开设 4 个分店时，在该区的每个分店的平均利 润最大. 【解析】 （1）根据所给数据，按照公式计算回归方程中的系数即可； （2）利用（1）得利润与分店数之间的估计值，计算，由基本不等式 可得最大值． 试题解析： （1）由表中数据和参考数据得： ， ， ∴，∴， ∴． （2 ）由题意，可知总收入的预报值与之间的关系为： ， 设该区每个分店的平均利润为，则， 故 的 预 报 值 与 之 间 的 关 系 为 ， 0.85 0.6y x= + z x z x 4, 4x y= = ( ) ( )( )5 52 1 1 10, 8.5i i i i i x x x x y y = = − = − − =∑ ∑ ( )( ) ( ) 1 2 1 8.5 0.851 ˆ 0 n i ii n ii x x y y b x x = = − − = = = − ∑ ∑ 4 4 0.85 0.6ˆˆa y bx= − = − × = 0.85 0.6y x= + ˆz x 20.05 0.85 0.ˆ 8z x x= − + − t zt x = t ˆt x 12 / 14 则当时， 取到最大值， 故该公司应开设 4 个分店时，在该区的每个分店的平均利润最大． 19.（1）m=0 ;（2） . 【解析】(1)利用题意得到关于实数 m 的方程，解方程即可求得 m=0； (2)利用复数的运算法则结合题意计算可得= . 试题解析： （1）欲使 z 为纯虚数，则须且，所以得 m=0 . （ 2 ） 当 m=2 时 ， z=2+,=2- , 故 所 求 式 子 等 于 = . 20. 解： （1）根据题意，计算甲班优良人数为 60×10×（ + ）=30， 乙班优良人数为 60×10×（ + ）=20， 填好 2×2 联表如下： 优良 不优良 总计 甲班 30 30 60 乙班 20 40 60 总计 50 70 120 0.8 800.05 0.85 0.ˆ 01 5 0.85t x xx x  = − − + = − + +   4x = ˆt 1 1 2 2 i− 1 zz i − + 1 1 2 2 i− 1FC AB∴ ⊥ ( )2 2 2 4 1 2 2 2 2 2 3 • 0 c a c bFC BF a c a c + ∴ = − =+ +   ( ) ( )22 2 2 2 23 0c a c a c+ − − = 2 2 2 1 55 , ,5 5c a e e= = = i 22 1 ii i +− − + 1 1 2 2 i− 13 / 14 （2）由（1）中表格的数据知，计算 K2= ≈3.429， ∵K2≈3.429≥2.706，∴有 90%的把握认为学生成绩优良与班级之间 有关系 （3）解：根据分层抽样知甲班抽取 3 人，记作 A1，A2，A3， 乙班抽取 2 人，记作 B1，B2； 从中任意抽取 3 人，有 A1A2A3，A1A2B1，A1A2B2，A1A3B1， A1A3B2，A1B1B2，A2A3B1，A2A3B2， A2B1B2，A3B1B210 种情形， 其中至少有 2 人来自甲班的有 7 种情形， 则至少有 2 人来自甲班的概率为 P= 【解析】（1）根据题意，计算甲班、乙班优良人数，填好 2×2 联表； （2）由（1）中表格的数据计算 K2，对照临界值即可得出结论； （3）根据分层抽样方法，利用列举法求出基本事件数，计算所求的 概率值． 21.见解析 14 / 14 【解析】本题用直接法不易找到证明思路，用分析法，要证该不等式 成立，因为，所以，只需证该不等式两边同乘以转化成的等价不等式 a(1+b)(1+c)+b(1+a)(1+c)>c(1+a)(1+b)成立，用不等式性质整理为 a+2ab+b+abc>c 成立，用不等式性质及三角不等式很容易证明此不等 式成立. 试题解析：要证明： 需证明： a(1+b)(1+c)+ b(1+a)(1+c)> c(1+a)(1+b) 需 证 明 :a(1+b+c+bc)+ b(1+a+c+ac)> c(1+a+b+ab) 需 证 明 a+2ab+b+abc>c ∵a,b,c 是的三边 ∴a>0,b>0,c>0 且 a+b>c,abc>0,2ab>0 ∴a+2ab+b+abc>c ∴成立。 22.Sn＝ 【解析】n＝1,2,3,4 时，S1＝，S2＝，S3＝，S4＝. 猜想：Sn＝. 证明如下： ， ∴Sn＝. 0, 0, 0a b c> > > 1 0,1 0,1 0a b c+ > + > + > (1 )(1 )(1 )a b c+ + + c c b b a a +>+++ 111 ABC∆ c c b b a a +>+++ 111 1 n n＋ 1 2 2 3 3 4 4 5 1 n n＋ ( ) 1 1 1 1 1n n n n = －＋ ＋ 1 1 1 1 1 1 1 11 12 2 3 3 4 1 1 1 n n n n n        …              － ＋ － ＋ － ＋ ＋ － ＝－ ＝＋ ＋ ＋